✅ L'essentiel

Inégalité triangulaire : AB < BC + CA, BC < AB + CA, CA < AB + BC.
La somme des angles d'un triangle vaut toujours 180°.
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire passant par son milieu.
Les trois médiatrices d'un triangle se coupent au centre du cercle circonscrit.
Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.
Propriétés : rectangle (4 angles droits), losange (4 côtés égaux), carré (les deux).
Aire d'un parallélogramme = base \times hauteur (la hauteur est perpendiculaire à la base, ce n'est pas le côté oblique).
Dans un triangle, une hauteur passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé ; une médiane joint un sommet au milieu du côté opposé. Les trois hauteurs sont concourantes, les trois médianes aussi.

📖 Médiatrice & cercle circonscrit

La médiatrice d'un segment $[AB]$ est la droite perpendiculaire à $[AB]$ passant par son milieu ; c'est aussi l'ensemble des points situés à égale distance de $A$ et de $B$ .

Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes : elles se coupent en un même point $O$ , situé à égale distance des trois sommets. $O$ est le centre du cercle circonscrit au triangle, le cercle qui passe par $A$ , $B$ et $C$ .

🔢 Méthode — Vérifier l'inégalité triangulaire

Trier les trois longueurs par ordre croissant : a \leq b \leq c.
Vérifier uniquement : a + b > c (la grande inégalité suffit).
Si a + b \leq c : impossible de former un triangle.
Exemple : 3, 4, 8 → 3 + 4 = 7 < 8 : NON.

🔢 Méthode — Propriétés du parallélogramme

Deux paires de côtés parallèles et égaux : AB \parallel DC et AB = DC.
Les diagonales se coupent en leur milieu : milieu de [AC] = milieu de [BD].
Rectangle : parallélogramme avec un angle droit (donc 4 angles droits).
Losange : parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux (donc 4 côtés égaux).
Carré : losange rectangle.

✏️ Exemple — Centre du cercle circonscrit

📖 Hauteurs et médianes d'un triangle

Une hauteur d'un triangle est la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Une médiane est la droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé.

Un triangle a trois hauteurs et trois médianes. Les trois hauteurs se coupent en un même point ; les trois médianes aussi.

Une médiane partage le triangle en deux triangles de même aire : les deux morceaux ont la même hauteur (issue du sommet) et des bases de même longueur (le milieu coupe le côté en deux parts égales), donc $\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$ donne le même résultat pour chacun.

⚠️

L'inégalité triangulaire est stricte ( $<$ et non $\leq$ ) : trois segments de longueurs $2$ , $3$ , $5$ ne forment pas un triangle car $2 + 3 = 5$ , on obtiendrait un segment aplati.

Pour les parallélogrammes, retiens : les diagonales se coupent en leur milieu. C'est LA propriété clé qui permet de résoudre presque tous les exercices.

🎯 Mini-quiz

1. Peut-on construire un triangle avec 5 cm, 7 cm et 13 cm ?

2. Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en…

3. Quelle est la somme des angles d'un triangle ?

Triangles & parallélogrammes — 5ème

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