Nombres relatifs — 5ème

Il fait $3$ °C et la température baisse de $5$ °C. Combien fait-il ? Avec les nombres étudiés jusqu'en 6ème, on ne pouvait pas exprimer le résultat de $3 - 5$ : il n'y avait rien « en dessous de zéro ». On invente donc de nouveaux nombres, les nombres négatifs : il fait $-2$ °C.

On les rencontre partout où une grandeur peut passer sous zéro : une température de $-4$ °C, une altitude de $-120$ m (sous le niveau de la mer), un solde de $-15$ €.

Un nombre relatif est un nombre positif ou négatif : $3$, $-7$, $0$, $-2{,}5$, $+4{,}1$… En 5ème, ce sont des nombres décimaux relatifs : $-2{,}5$ est un nombre relatif au même titre que $-7$.

• Un nombre positif est un nombre supérieur ou égal à $0$ : $3$, $0{,}5$, $0$. Il s'écrit avec ou sans le signe $+$ : $+3$ et $3$ sont le même nombre.
• Un nombre négatif est un nombre inférieur ou égal à $0$ : $-3$, $-0{,}5$, $0$. Le signe $-$ est obligatoire.
• $0$ est le seul nombre à la fois positif et négatif.
• Un nombre strictement positif est un nombre positif différent de $0$ ; un nombre strictement négatif est un nombre négatif différent de $0$.

La demi-droite graduée de 6ème se prolonge vers la gauche, de l'autre côté de $0$ : on y place les nombres négatifs. Chaque point est repéré par un nombre relatif, son abscisse.

Les points d'abscisses $3$ et $-3$ sont à la même distance de $0$, de part et d'autre : on dit que $3$ et $-3$ sont opposés. L'opposé de $4$ est $-4$, l'opposé de $-2{,}7$ est $2{,}7$, et l'opposé de $0$ est $0$.

Deux nombres opposés ont une somme nulle : $3 + (-3) = 0$. C'est ce qui les définit : l'opposé d'un nombre $a$ est le nombre, noté $-a$, tel que $a + (-a) = 0$.

Cette distance à zéro s'appelle la valeur absolue du nombre : la valeur absolue de $3$ est $3$, celle de $-3$ est aussi $3$. Autrement dit, la valeur absolue d'un nombre positif est ce nombre, et celle d'un nombre négatif est son opposé.

Sur la droite graduée, les nombres sont rangés dans l'ordre croissant de gauche à droite.

• Un nombre strictement négatif est toujours plus petit qu'un nombre strictement positif : $-8 < 3$.
• Entre deux nombres positifs, le plus grand est le plus éloigné de $0$ : $2{,}4 < 7$.
• Entre deux nombres négatifs, c'est l'inverse : le plus grand est le plus proche de $0$ : $-7 < -2{,}4$.

Ordre croissant : $-7 < -2{,}4 < -1 < 0 < 2{,}4 < 7$.

✏️ Exemple — Additionner : partir d'une situation

✏️ Exemple — D'où vient la règle de l'addition ?

✏️ Exemple — Soustraire : partir d'une situation

Cette justification n'est pas indispensable pour calculer : elle utilise une inconnue, qu'on retrouvera plus tard avec les équations.

Soustraire $b$ à $a$, c'est chercher le nombre $x$ tel que $b + x = a$ (l'addition à trou de l'école). Pour $(+3{,}1) - (-2)$, on cherche $x$ tel que $(-2) + x = 3{,}1$. En ajoutant $2$ des deux côtés : $(-2) + (+2) + x = 3{,}1 + 2$, donc $x = 5{,}1$.

Soustraire $(-2)$ revient bien à ajouter $(+2)$, l'opposé de $-2$.

Jusqu'ici, chaque nombre était entre parenthèses avec son signe. C'est clair, mais long. Une fois toutes les soustractions transformées en additions, on peut alléger l'écriture : on supprime le signe $+$ de l'addition et les parenthèses, et on garde le signe de chaque nombre.

$(+5) + (-7) \quad \text{s'écrit} \quad 5 - 7$

Dans $5 - 7$, on lit « $5$ plus le nombre négatif $-7$ ». On peut aussi le lire comme la soustraction « $5$ moins $7$ » : les deux lectures donnent le même résultat, $-2$. C'est justement ce qui autorise cette écriture.

Exemple complet, en séparant bien les étapes :

$(-3) + (-4) - (+5) - (-2)$

1. On transforme les soustractions : $(-3) + (-4) + (-5) + (+2)$.
2. On passe à l'écriture simplifiée : $-3 - 4 - 5 + 2$.
3. On regroupe les négatifs d'un côté, les positifs de l'autre : $-12 + 2 = -10$.

Les parenthèses restent indispensables quand deux signes se suivraient : on écrit $3 - (-2)$, jamais $3 - -2$.

⚠️ Le signe $-$ peut donc avoir trois sens : le signe d'un nombre négatif (dans $-3$), l'opposé d'un nombre (dans $-a$) et la soustraction (dans $5 - 3$). En particulier, $-a$ n'est pas toujours un nombre négatif : si $a = -2$, alors $-a = 2$.

✏️ Exemple — Calcul pas à pas

Trois signes $-$ dans $(-3) - (-5)$. Le premier est le signe du nombre $-3$, le deuxième est la soustraction, le troisième est le signe du nombre $-5$. On transforme d'abord, on simplifie ensuite : $(-3) - (-5) = (-3) + (+5) = -3 + 5 = 2$.

Comparer des négatifs. $-7$ est plus petit que $-2$, même si $7$ est plus grand que $2$ : plus un nombre négatif est loin de $0$, plus il est petit.

Imagine la droite graduée comme une rue : les positifs à droite, les négatifs à gauche. Ajouter un nombre positif, c'est avancer vers la droite ; ajouter un nombre négatif, c'est reculer vers la gauche. Et soustraire un nombre, c'est faire le déplacement inverse : soustraire $-3$, c'est avancer de $3$ !