✅ À retenir

a^n = a \times a \times \cdots \times a (n fois). a^0 = 1 (si a \neq 0).
a^n \times a^m = a^{n+m} | a^n \div a^m = a^{n-m} | (a^n)^m = a^{nm}.
10^n s'écrit 1 suivi de n zéros. 10^3 = 1\,000.

📖 Définition — Définition et propriétés

Pour $a$ un nombre et $n$ un entier naturel ( $n \geq 1$ ) :

$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ fois}}$

Conventions :

$a^1 = a$
$a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$ )

Règles fondamentales :

Règle	Formule	Exemple
Produit	$a^n \times a^m = a^{n+m}$	$3^4 \times 3^2 = 3^6$
Quotient	$a^n \div a^m = a^{n-m}$	$5^7 \div 5^3 = 5^4$
Puissance	$(a^n)^m = a^{n \times m}$	$(2^3)^4 = 2^{12}$
Produit de bases	$(a \times b)^n = a^n \times b^n$	$(2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4$

✏️ Exemple — Appliquer les règles

✏️ Exemple — Puissances de 10

⚠️

Multiplier les bases au lieu des exposants. $3^2 \times 3^4 \neq 9^6$ . Les bases restent les mêmes, on additionne les exposants : $3^{2+4} = 3^6$ .

⚠️

$a^0 = 0$ (FAUX). $a^0 = 1$ pour tout $a \neq 0$ . C'est une convention fondamentale. Exemple : $7^0 = 1$ , $(-5)^0 = 1$ .

💡

Pour mémoriser les puissances de 2 : $2^1=2$ , $2^2=4$ , $2^3=8$ , $2^4=16$ , $2^5=32$ , $2^6=64$ , $2^7=128$ , $2^8=256$ , $2^9=512$ , $2^{10}=1024$ .

Les puissances, c'est de la croissance explosive ! $2^{10} = 1024$ , mais $2^{20} \approx 1$ million et $2^{30} \approx 1$ milliard. Le doublement répété, c'est le secret des épidémies, de l'informatique… et des intérêts composés !

🎯 Mini-quiz

1. Calcule 2⁴ × 2³.

2. Calcule (3²)³.

3. Vrai ou faux : 5⁰ = 0.