Volumes de la pyramide et du cône — 4ème

En 5ème : le volume d'un prisme droit ou d'un cylindre vaut $V = \text{Aire de la base} \times h$ : on « empile » la base sur toute la hauteur $h$. Les aires de base sont celles de 6ème : carré $c^2$, rectangle $L \times l$, triangle $\dfrac{b \times h}{2}$, disque $\pi r^2$.

Un cylindre de rayon $2$ cm et de hauteur $5$ cm a pour volume $\pi \times 2^2 \times 5 = 20\pi \approx 62{,}8$ cm³. Pyramide et cône reprennent exactement les mêmes bases, avec une division par $3$ en plus.

Une pyramide est un solide dont la base est un polygone et dont les faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un sommet appelé le sommet de la pyramide.

La hauteur $h$ est la distance perpendiculaire entre la base et le sommet.

$V_{\text{pyramide}} = \frac{\text{Aire de la base} \times h}{3}$

Le cône de révolution a une base circulaire de rayon $r$ et une hauteur $h$ :

$V_{\text{cône}} = \frac{\pi r^2 h}{3}$

Ce n'est pas une formule tombée du ciel. Prends un prisme droit et une pyramide qui ont la même base et la même hauteur : il faut exactement trois pyramides pleines d'eau pour remplir le prisme. Même chose pour un cône et le cylindre de même base et même hauteur.

$V_{\text{pyramide}} = \frac{V_{\text{prisme}}}{3} \qquad V_{\text{cône}} = \frac{V_{\text{cylindre}}}{3}$

C'est pour ça que les deux formules de 4e sont simplement celles du prisme et du cylindre, divisées par 3.

✏️ Exemple — Calcul d'un volume de cône

✏️ Exemple — Calcul d'un volume de pyramide

Pour retrouver une dimension à partir du volume, on « remonte » la formule :

• Hauteur d'une pyramide : $h = \dfrac{3V}{\text{Aire base}}$
• Hauteur d'un cône : $h = \dfrac{3V}{\pi r^2}$

Dans les deux cas, on commence par multiplier le volume par 3 pour « annuler » la division par 3.

• Pyramide : le patron est formé de la base et d'un triangle par côté de la base. Pyramide à base carrée : 1 carré et 4 triangles ; à base hexagonale : 1 hexagone et 6 triangles.
• Cône : le patron est formé d'un disque (la base) et d'un secteur de disque. En refermant le cône, l'arc du secteur s'enroule autour du disque : sa longueur est égale au périmètre du disque de base, $2\pi r$. Le rayon du secteur est la génératrice du cône.

Confondre diamètre et rayon ! Si l'énoncé donne « diamètre = 8 cm », alors $r = 4$ cm. Utiliser $r = 8$ cm donne un volume 4 fois trop grand pour un cône, car le rayon y est au carré : $2^2 = 4$.

Oublier de diviser par 3. C'est l'erreur n°1 sur ces deux solides : $\pi r^2 h$ est le volume du cylindre, pas du cône. Le cône n'en occupe que le tiers.

La pyramide de Khéops a une base carrée de 230 m de côté et mesurait 147 m de haut. Son volume : $\frac{230^2 \times 147}{3} \approx 2\,592\,000$ m³ — soit environ 2,6 millions de mètres cubes de pierre.

Et la boule ? Sa formule ($V = \frac{4}{3}\pi r^3$) arrive en 3ème, avec les sections de solides : rendez-vous l'année prochaine.