Trigonométrie avancée — valeurs remarquables et triangles quelconques

Pas besoin de les apprendre bêtement : elles se retrouvent avec deux figures et le théorème de Pythagore.

À gauche : un triangle équilatéral de côté $2$ coupé en deux. Sa hauteur vaut $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$. On lit directement les rapports pour $30°$ et $60°$.

À droite : un carré de côté $1$ coupé selon sa diagonale, qui mesure $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. On lit les rapports pour $45°$.

Ces valeurs sont exactes : $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, alors que la calculatrice n'affiche que $0{,}866\ldots$ arrondi.

✏️ Exemple — Un triangle sans angle droit

✏️ Exemple — Contexte réel : la pente d'une route

✏️ Exemple — Contexte réel : la hauteur d'un arbre

Un moyen imparable de ne jamais confondre $30°$ et $60°$ : dans un triangle rectangle, le plus petit angle est en face du plus petit côté. Comme $\sin$ compare le côté opposé à l'hypoténuse, $\sin(30°)$ doit être le plus petit des deux — c'est donc $\frac{1}{2}$ (et non $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87$).

Appliquer sin, cos ou tan dans un triangle qui n'est pas rectangle. C'est l'erreur n°1. Écrire « $\tan(\widehat{B}) = \frac{AC}{BC}$ » dans un triangle quelconque n'a aucun sens. Il faut d'abord fabriquer un angle droit en traçant une hauteur.

Confondre pente en % et angle en degrés. Une pente de $100\ \%$ ne veut pas dire « à la verticale » : $\tan(\alpha) = 1$ donne $\alpha = 45°$. Le pourcentage n'est pas une fraction du demi-tour, c'est un rapport de longueurs.

Les valeurs remarquables, c'est comme les tables de multiplication de la géométrie. Personne ne recalcule $7 \times 8$ à chaque fois — et personne ne devrait ressortir sa calculatrice pour $\cos(60°)$. Trois angles, neuf valeurs : c'est le meilleur rapport effort/rendement de toute la 3ème, parce que ces angles sont partout (toits, rampes, hexagones, panneaux de signalisation).