✅ L'essentiel
- Dans un triangle rectangle en A, pour l'angle \hat{B} :
- \sin(\hat{B}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{AC}{BC}
- \cos(\hat{B}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{AB}{BC}
- \tan(\hat{B}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \dfrac{AC}{AB}
- Moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA
- Dans un triangle rectangle, \sin et \cos d'un angle aigu sont toujours entre 0 et 1 (un côté est plus court que l'hypoténuse).
📖 Rappel — Hypoténuse, côtés, et le cosinus de 4ème
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, le plus long. Les deux autres côtés se nomment par rapport à l'angle qu'on regarde : le côté adjacent touche (sans être l'hypoténuse), le côté opposé lui fait face. Change d'angle, et les deux rôles s'échangent.
En 4ème, tu as vu le cosinus : . Le sinus et la tangente, cette année, suivent exactement la même logique avec les deux autres couples de côtés.
📖 SOH-CAH-TOA
Pour un angle dans un triangle rectangle :
| Ratio | Formule | Moyen |
|---|---|---|
| Sin | Opposé / Hypoténuse | SOH |
| Cos | Adjacent / Hypoténuse | CAH |
| Tan | Opposé / Adjacent | TOA |
🔢 Méthode — Calculer une longueur inconnue
- Identifier l'angle connu (\alpha), le côté connu et le côté cherché.
- Choisir sin, cos ou tan selon la position des côtés par rapport à l'angle.
- Écrire l'équation : ex. \sin(\alpha) = \dfrac{x}{h}.
- Résoudre : x = h \times \sin(\alpha).
🔢 Méthode — Calculer un angle inconnu
- Identifier les deux côtés connus.
- Former le rapport sin, cos ou tan.
- Remonter à l'angle avec les touches \sin^{-1}, \cos^{-1}, \tan^{-1} de la calculatrice (notées aussi arcsin, arccos, arctan).
- Calculer en mode degrés (DEG) et arrondir comme demandé.
✏️ Exemple — Applications
Vérifier que la calculatrice est en mode degrés (DEG) et non radians (RAD). mais .
L'angle doit être dans le triangle rectangle (pas l'angle droit).
Pour retenir SOH-CAH-TOA, décompose chaque bloc : Sinus = Opposé sur Hypoténuse, Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse, Tangente = Opposé sur Adjacent. Répète-le à voix haute et tu ne mélangeras plus jamais les trois rapports !
🎯 Mini-quiz
1. Triangle rectangle, \hat{B}=30°, hypoténuse =10. Côté opposé à B =
2. Pour trouver l'angle quand on connaît opposé et hypoténuse, on utilise :
3. Triangle rectangle en A : AB = 4 et AC = 3. Que vaut \tan(\hat{B}) ?