Transformations : translation, rotation, homothétie

La translation fait glisser la figure : chaque point se déplace de la même quantité, dans la même direction et le même sens. On la nomme souvent « translation de vecteur $\vec{u}$ » — c'est juste un nom pour décrire ce déplacement.

La rotation fait tourner la figure autour d'un point fixe, le centre, d'un angle donné et dans un sens précisé (celui des aiguilles d'une montre, ou l'inverse). Une rotation d'angle $180°$ porte un nom que tu connais déjà : c'est la symétrie centrale.

L'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ agrandit ou réduit la figure depuis $O$. C'est la seule des trois qui change les dimensions.

Comment les reconnaître d'un coup d'œil. Pose-toi une seule question : est-ce que la figure a changé de taille ?

• Non, et elle est orientée pareil → translation
• Non, mais elle a pivoté → rotation
• Oui → homothétie (ou agrandissement / réduction)

La translation et la rotation conservent tout : les longueurs, les mesures d'angles, les aires, le parallélisme. La figure image est identique à la figure de départ — c'est le même gabarit, posé ailleurs.

L'homothétie conserve les angles, le parallélisme et la forme, mais pas les dimensions : c'est justement son rôle.

C'est ce qui rend ces transformations utiles pour calculer : si on connaît une longueur ou une aire sur la figure de départ, on la connaît sur l'image.

✏️ Exemple — Calculer grâce à la conservation

✏️ Exemple — Un quart de tour sur quadrillage

Une rosace est formée de $n$ motifs identiques disposés régulièrement autour d'un centre. On passe d'un motif au suivant par une rotation d'angle :

$\frac{360°}{n}$

Pour $6$ pétales, c'est une rotation de $60°$ ; pour $8$, de $45°$. Et en répétant cette rotation $n$ fois, on revient exactement au point de départ — c'est ainsi qu'on construit une rosace.

Dans une frise ou un pavage où le motif garde toujours la même orientation, on passe d'un motif au suivant par une translation.

Dans une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ :

La raison est simple : une longueur se mesure dans une direction, une aire dans deux, un volume dans trois. Le rapport intervient donc une, deux ou trois fois.

Si $k > 1$, c'est un agrandissement ; si $0 < k < 1$, une réduction ; si $k < 0$, l'image bascule de l'autre côté du centre $O$.

✏️ Exemple — Homothéties de rapports 3 et −0,5

✏️ Exemple — L'aire et le volume ne suivent pas le même rapport

Multiplier l'aire par $k$ au lieu de $k^2$. C'est l'erreur la plus fréquente, et elle ne se voit pas : la réponse a l'air raisonnable. Un réflexe pour t'en sortir : si les longueurs doublent, l'aire est multipliée par $4$, pas par $2$ — pense à un carré de $1$ cm de côté qu'on passe à $2$ cm, il en contient bien quatre.

Et dans l'autre sens : si on te dit que l'aire a été multipliée par $25$, le rapport de l'homothétie est $\sqrt{25} = 5$, pas $25$.

Confondre l'angle de la rotation et un angle de la figure. Tourner un triangle de $40°$ ne change aucun de ses angles : une rotation conserve les mesures d'angles. L'angle $40°$ décrit le mouvement, pas la figure.

L'homothétie est partout dans ta journée sans porter son nom : le zoom d'une carte, l'agrandissement d'une photo, l'échelle d'un plan, l'ombre portée d'une lampe sur un mur. Dans tous les cas le centre existe vraiment — c'est ton doigt sur l'écran, ou l'ampoule. Et c'est pour ça qu'une photo agrandie deux fois pèse quatre fois plus de pixels : l'aire suit $k^2$.

Les repères annuels du cycle 4 sont explicites : une translation « pourra être nommée translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ », mais aucune connaissance n'est attendue sur l'objet « vecteur ». Tout ce qui suit est donc du bonus : tu l'étudieras en seconde, et rien ne t'en sera demandé au brevet.

Un vecteur $\vec{u}(a ; b)$ se lit comme un déplacement : $a$ vers la droite, $b$ vers le haut.

Si $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$, alors $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B - x_A ; y_B - y_A)$.

• Deux vecteurs sont égaux quand ils ont les mêmes coordonnées.
• On les additionne coordonnée par coordonnée.
• $k\vec{u}$ multiplie les deux coordonnées par $k$ : les vecteurs $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ sont dits colinéaires.
• La norme de $\vec{u}(a ; b)$, c'est-à-dire sa longueur, se calcule avec le théorème de Pythagore à partir de ses deux coordonnées.

✏️ Exemple — 🚀 Chasles en pratique

🚀 Chasles mal appliquée. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} \neq \overrightarrow{AD}$. Il faut que le point d'arrivée du premier soit le point de départ du second — sinon, on ne peut pas recoller.