Mettre un problème en équation — et les systèmes, en bonus

En 4ème : une équation est une balance, ce qu'on fait à gauche, on le fait à droite. Pour $4x + 70 = 94$ : on retire $70$ des deux côtés ($4x = 24$), puis on divise par $4$ ($x = 6$). Quand $x$ apparaît des deux côtés, on rassemble d'abord les $x$ : $5x - 3 = 2x + 9$ donne $3x = 12$, donc $x = 4$.

Cette année, la difficulté n'est plus de résoudre : c'est d'écrire l'équation à partir d'un énoncé.

C'est l'attendu de fin de 3e : traduire un problème, puis le résoudre.

1. Nommer l'inconnue. « Je note $x$ le nombre de lapins. » Écris-le : c'est la moitié du travail.
2. Exprimer le reste avec $x$. S'il y a 35 animaux et $x$ lapins, il y a $35 - x$ poules. C'est ce geste qui permet de n'avoir qu'une inconnue.
3. Écrire l'égalité que donne l'énoncé.
4. Résoudre, puis répondre à la question posée — souvent ce n'est pas $x$ qu'on demande.

✏️ Exemple — Les lapins et les poules

✏️ Exemple — Deux abonnements : à partir de quand ?

Le geste qui évite la deuxième inconnue. Dès que l'énoncé donne un total, la seconde quantité s'écrit avec la première : 35 animaux et $x$ lapins → $35 - x$ poules ; 11 pièces et $x$ pièces de 1 € → $11 - x$ pièces de 50 centimes ; un périmètre de 18 cm et une largeur $x$ → une longueur de $9 - x$.

C'est ce qui ramène presque tous les problèmes « à deux inconnues » à une seule équation.

Résoudre juste une équation fausse. C'est l'erreur la plus coûteuse, parce qu'elle ne se voit pas : le calcul est impeccable et la réponse est absurde. D'où la règle : on vérifie dans l'énoncé, jamais seulement dans l'équation.

Et on répond à la question posée. Si l'énoncé demande le nombre de poules et que tu as appelé $x$ le nombre de lapins, la réponse n'est pas $x$.

Nommer l'inconnue paraît être une formalité administrative. C'est en réalité tout le saut de l'algèbre : donner un nom à ce qu'on ne connaît pas encore, pour pouvoir calculer avec. Al-Khwârizmî, vers 820, écrivait encore ses équations en phrases entières — « la chose et dix de ses racines valent trente-neuf dirhams ». Le simple fait d'écrire $x$ a fait gagner huit siècles aux mathématiques.

Les systèmes de deux équations à deux inconnues ne figurent plus au programme du collège depuis 2016 : tu les étudieras en seconde. Tout ce qui suit est donc du bonus — rien ne t'en sera demandé au brevet, et tu peux résoudre tous les problèmes ci-dessus sans en connaître un mot.

Un système s'écrit :

$\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$

La solution est le couple $(x ; y)$ qui vérifie les deux équations en même temps.

Graphiquement, chaque équation est une droite, et la solution est leur point d'intersection :

Les deux droites se croisent en $(3 ; 7)$ : c'est l'unique solution du système.

✏️ Exemple — 🚀 Résoudre par substitution

✏️ Exemple — 🚀 Résoudre par combinaison

🚀 Deux droites parallèles, aucune solution. Si les deux équations donnent des droites de même pente mais d'ordonnées à l'origine différentes, elles ne se croisent jamais : le système n'a aucune solution. Et si les deux équations décrivent la même droite, il y a une infinité de solutions. Un système n'a donc pas toujours exactement une solution — c'est une des raisons pour lesquelles il est étudié plus tard.