✅ À retenir

Perspective cavalière : arêtes parallèles restent parallèles, arêtes cachées en pointillés.
Section plane d'un cylindre droit : rectangle (parallèlement à l'axe) ou disque (perpendiculairement à l'axe). Section d'une boule : toujours un **disque**.
**Sphère** = la surface (la coque) ; **boule** = le solide plein. Le volume concerne la boule.
Volumes : cylindre = \pi r^2 h ; cône = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h ; boule = \dfrac{4}{3}\pi r^3.

📖 Définition — La perspective cavalière

En perspective cavalière :

Les arêtes parallèles dans l'espace restent parallèles sur le dessin.
Les arêtes cachées sont représentées en pointillés.
Les arêtes obliques sont dessinées avec un rapport de 1/2 et à 45°.

📖 Définition — Formules de volumes

Solide	Formule
Pavé droit	$V = L \times l \times h$
Cylindre de rayon $r$ et hauteur $h$	$V = \pi r^2 h$
Cône de rayon $r$ et hauteur $h$	$V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h$
Pyramide de base $\mathcal{B}$ et hauteur $h$	$V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$
Boule de rayon $r$	$V = \dfrac{4}{3} \pi r^3$

📖 Définition — Sphère, boule et sections

La sphère de centre $O$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points situés à la distance $r$ de $O$ : c'est une surface (le ballon dégonflé, la coque).
La boule est l'ensemble des points à une distance inférieure ou égale à $r$ : c'est le solide plein (la bille). C'est elle qui a un volume.
Un grand cercle est l'intersection de la sphère avec un plan passant par le centre $O$ : c'est le plus grand cercle possible, de rayon $r$ (l'équateur sur un globe).

Sections utiles en 3ème :

Solide coupé	Plan	Section obtenue
Pavé droit	parallèle à une face	rectangle identique à cette face
Cylindre	perpendiculaire à l'axe	disque de rayon $r$
Cylindre	parallèle à l'axe	rectangle
Boule	n'importe lequel	disque (de rayon $\leq r$ ; égal à $r$ seulement si le plan passe par le centre)

🔢 Méthode — Calculer le volume d'un solide

Identifie le type de solide (cylindre, cône, pyramide, sphère…).
Repère les mesures utiles : rayon, hauteur, côté de la base.
Applique la formule de volume correspondante.
Exprime le résultat avec l'unité au cube (cm³, m³…).

✏️ Exemple — Volume d'un cône

💡

Cône = $\frac{1}{3}$ du cylindre de même base et même hauteur. Pyramide = $\frac{1}{3}$ du prisme de même base et même hauteur. Retiens : le $\frac{1}{3}$ pour les "pointes" !

⚠️

Confondre rayon et diamètre. Si on donne le diamètre $d$ , le rayon est $r = d/2$ . L'oublier coûte cher : le volume est multiplié par $4$ pour un cylindre ou un cône (le rayon y est au carré), et par $8$ pour une boule (au cube).

⚠️

Section ≠ face. La section d'un cylindre par un plan oblique n'est pas un cercle, c'est une ellipse. En 3ème, on se limite aux sections par des plans horizontaux ou verticaux.

Archimède était si fier de sa formule qu'il a demandé qu'on grave sur sa tombe une boule inscrite dans un cylindre. Vérifie sa trouvaille : le cylindre qui contient tout juste la boule a pour rayon $r$ et pour hauteur $2r$ , donc $V_{\text{cyl}} = \pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$ . Et la boule ? $\frac{4}{3}\pi r^3$ . Le rapport vaut exactement $\frac{2}{3}$ — la boule occupe les deux tiers de sa boîte ronde.

🎯 Mini-quiz

1. Un cylindre a un rayon de 5 cm et une hauteur de 10 cm. Quel est son volume ?

2. Une pyramide a une base carrée de côté 6 cm et une hauteur de 9 cm. Quel est son volume ?

3. En perspective cavalière, les arêtes cachées d'un solide sont représentées :

Représentation de l'espace

Pour aller plus loin

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