Suites et fonctions — Terminale Complémentaire

Si $u_{n+1} = f(u_n)$ et $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors $\ell$ est un point fixe de $f$ : $f(\ell) = \ell$.

Méthode : Résoudre $f(x) = x$ pour trouver les candidats limites, puis vérifier que la suite est bornée et monotone.

Représentation graphique : Méthode de la “toile d'araignée” — alterner entre $y = f(x)$ et $y = x$.

✏️ Exemple — Suite récurrente avec point fixe

Une suite définie par $u_{n+1} = a u_n + b$ (avec $a \neq 1$) se ramène à une suite géométrique :

1. Chercher la suite constante solution : $k = ak+b$ donne $k = \dfrac{b}{1-a}$ (c'est le point fixe de $f$).
2. Poser $v_n = u_n - k$. Alors $v_{n+1} = a u_n + b - k = a(u_n - k) = a v_n$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $a$.
3. D'où $v_n = v_0 a^n$, puis $u_n = (u_0-k)\,a^n + k$ — une formule explicite.
4. Limite : si $-1 < a < 1$, $a^n \to 0$ donc $u_n \to k$. Sinon la suite diverge (sauf si $u_0 = k$).

$f$ est convexe sur un intervalle $I$ si sa courbe y est en dessous de chacune de ses cordes ; de façon équivalente (pour $f$ deux fois dérivable), si $f'' \geq 0$ sur $I$ — la courbe est alors au-dessus de ses tangentes.

$f$ est concave si $f'' \leq 0$ : courbe au-dessus de ses cordes, en dessous de ses tangentes.

Un point d'inflexion est un point où $f''$ change de signe : la courbe y traverse sa tangente.

Exemple : $f(x)=x^3$ a $f''(x)=6x$, négative sur $]-\infty;0[$ et positive sur $]0;+\infty[$ : $f$ est concave puis convexe, avec un point d'inflexion en $0$.

Lecture économique : une fonction de coût convexe signifie que chaque unité supplémentaire coûte plus cher que la précédente (rendements décroissants).

Un point fixe n'est pas forcément une limite. Résoudre $f(x)=x$ donne seulement les limites possibles : si la suite ne converge pas (elle oscille ou diverge), elle n'atteint aucun point fixe. L'égalité $\ell = f(\ell)$ ne s'utilise qu'après avoir prouvé la convergence.

Les suites récurrentes modélisent des systèmes dynamiques discrets : population avec capacité limite, algorithme numérique itératif, prix d'équilibre économique. La convergence vers un point fixe, c'est l'équilibre du système.