Probabilités et statistiques — Terminale Complémentaire

En première : une variable aléatoire $X$ associe un nombre à chaque issue ; sa loi est le tableau des $P(X = x_i)$, de somme 1 ; $E(X) = \sum x_i \, p_i$ est sa moyenne à long terme.

Une épreuve de Bernoulli a deux issues, succès ($p$) ou échec ($1-p$), et sa répétition indépendante se lit sur un arbre où l'on multiplie le long d'un chemin. La loi binomiale et la loi géométrique ne font que compter ces chemins.

Rappel de première : $P_A(B)$ est la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé, et $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ — on multiplie le long d'une branche de l'arbre. La formule des probabilités totales additionne les chemins qui mènent à $B$ :

$P(B) = P(A)\,P_A(B) + P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)$

Souvent, l'énoncé donne $P_A(B)$ et la question porte sur l'inverse, $P_B(A)$. Comme $P(A \cap B)$ s'écrit dans les deux sens, $P(B) \times P_B(A) = P(A) \times P_A(B)$, d'où la formule de Bayes :

$P_B(A) = \dfrac{P_A(B) \times P(A)}{P(B)}$

Vocabulaire des tests de dépistage ($M$ = « malade », $T$ = « test positif ») :

• sensibilité $P_M(T)$ : un malade est détecté ;
• spécificité $P_{\overline{M}}(\overline{T})$ : un non-malade a un test négatif ;
• valeur prédictive positive (VPP) $P_T(M)$ : un test positif signale vraiment un malade ;
• valeur prédictive négative (VPN) $P_{\overline{T}}(\overline{M})$.

✏️ Exemple — Un bon test, et pourtant…

Ne pas confondre $P_M(T)$ et $P_T(M)$. « $90\,\%$ des malades sont positifs » ne veut pas dire « $90\,\%$ des positifs sont malades » : ici, c'est $15\,\%$. C'est l'objectif central du chapitre, et une erreur fréquente jusque dans les tribunaux (le « sophisme du procureur »).

La loi géométrique donne le rang du premier succès dans un schéma de Bernoulli. C'est la loi discrète sans mémoire : $P_{X>n}(X>n+k) = P(X>k)$ — avoir déjà attendu $n$ essais ne change rien à la suite.

$X$ suit une loi de densité $f$ (avec $f \geq 0$ et d'aire totale $1$) si, pour tous $a \leq b$ :

$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx$

Une probabilité est donc une aire sous la courbe de $f$. En particulier $P(X=a)=0$ : seuls les intervalles ont une probabilité non nulle.

Loi uniforme sur $[a;b]$ : $f(x) = \dfrac{1}{b-a}$ sur $[a;b]$, et $E(X) = \dfrac{a+b}{2}$.

Loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ : $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$ sur $[0;+\infty[$.

$P(X \leq t) = 1 - e^{-\lambda t} \qquad P(X > t) = e^{-\lambda t} \qquad E(X) = \frac{1}{\lambda}$

C'est la loi sans mémoire continue : $P_{X>s}(X>s+t) = P(X>t)$. Elle modélise les durées de vie sans usure (désintégration radioactive, panne d'un composant électronique).

Pour un nuage de points $(x_i, y_i)$, le point moyen est $G(\bar{x};\bar{y})$ avec $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n}$ et $\bar{y} = \dfrac{\sum y_i}{n}$.

$\text{cov}(X,Y) = \overline{xy} - \bar{x}\,\bar{y} \qquad V(X) = \overline{x^2} - \bar{x}^2$

$r = \frac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} \in [-1\,;1]$

Droite des moindres carrés de $y$ en $x$ (celle qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux) :

$y = ax + b, \quad a = \frac{\text{cov}(X,Y)}{V(X)}, \quad b = \bar{y} - a\bar{x}$

Elle passe toujours par $G$.

✏️ Exemple — Régression linéaire

✏️ Exemple — Loi exponentielle

Corrélation ≠ causalité. Deux variables peuvent être fortement corrélées sans que l'une cause l'autre : la consommation de glaces et le nombre de noyades varient ensemble, mais c'est la chaleur qui cause les deux. Un $r$ proche de $1$ mesure la qualité de l'ajustement affine, jamais un lien de cause à effet.

Pour une loi à densité, $P(X = a) = 0$, donc $P(X \leq a) = P(X < a)$ : les inégalités strictes ou larges donnent la même probabilité. C'est faux pour une loi discrète, où $P(X = a)$ est en général non nulle.

La droite des moindres carrés, c'est « la droite qui passe au mieux » dans le nuage : parmi toutes les droites, c'est celle qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux. Cette idée de 1805 (Legendre, Gauss) est encore aujourd'hui la brique de base de l'apprentissage automatique — entraîner un modèle, c'est minimiser une erreur quadratique.