Probabilités et statistiques — Terminale Complémentaire

Une variable aléatoire $X$ est continue s'il existe une fonction $f \geq 0$ (densité) telle que :

$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx \qquad \text{avec } \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$

Loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ :

• $E(X) = \mu$, $\sigma(X) = \sigma$
• $P(\mu-\sigma \leq X \leq \mu+\sigma) \approx 68\%$
• $P(\mu-2\sigma \leq X \leq \mu+2\sigma) \approx 95\%$
• Standardisation : $Z = (X-\mu)/\sigma \sim \mathcal{N}(0,1)$

Pour un nuage de points $(x_i, y_i)$ :

$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}, \quad \bar{y} = \frac{\sum y_i}{n}$

$\text{cov}(X,Y) = \frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{n} = \overline{xy} - \bar{x}\bar{y}$

$r = \frac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} \in [-1, 1]$

Droite de régression (moindres carrés) passant par $G(\bar{x}, \bar{y})$ :

$y = ax + b, \quad a = \frac{\text{cov}(X,Y)}{V(X)}, \quad b = \bar{y} - a\bar{x}$

✏️ Exemple — Régression linéaire simple

Corrélation ≠ causalité. Deux variables peuvent être fortement corrélées sans que l'une cause l'autre. Exemple classique : la consommation de glaces et les noyades sont corrélées (r proche de 1) — mais c'est la chaleur qui cause les deux, pas les glaces !

La régression linéaire, c'est "la droite qui passe au mieux" à travers le nuage de points. Elle minimise la somme des carrés des distances verticales. L'intelligence artificielle et le machine learning, c'est de la régression généralisée — les maths du lycée sont au cœur de l'IA !