✅ L'essentiel

Si F'=f, alors \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a) (résultat = aire algébrique sous la courbe).
Éq. diff. y'=ay : y=Ce^{at}. Éq. y'=ay+b : solution particulière constante y_0=-b/a.
Valeur moyenne de f sur [a,b] : m = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx.

📖 Rappel — Dériver, puis lire la formule à l'envers

En première : dériver $x^3$ donne $3x^2$ . Une primitive de $3x^2$ est donc $x^3$ (ou $x^3 + 5$ : dériver efface les constantes). Chaque ligne du tableau ci-dessous est une formule de dérivation lue de droite à gauche.

Tu connais aussi $(e^{at})' = a\,e^{at}$ : c'est elle qui explique à la fois la primitive de $e^{ax}$ et les solutions de l'équation $y' = ay$ .

📖 Primitives usuelles

$f(x)$	Primitive $F(x)$
$k$ (constante)	$kx$
$x^n$ ( $n\neq -1$ )	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\lvert x\rvert$
$e^x$	$e^x$
$e^{ax}$	$\dfrac{1}{a}e^{ax}$
$\cos x$	$\sin x$
$\sin x$	$-\cos x$
$u' \cdot e^u$	$e^u$
$\dfrac{u'}{u}$	$\ln\lvert u\rvert$

📖 Intégrale, aire et valeur moyenne

Pour $f$ continue et positive sur $[a;b]$ , $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ (en unités d'aire).

On la calcule avec une primitive $F$ de $f$ :

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b$

Relation de Chasles : $\displaystyle\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$ .

Aire entre deux courbes, si $f \geq g$ sur $[a;b]$ : $\ \mathcal{A} = \displaystyle\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx$ .

Valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ :

$m = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$

C'est la hauteur du rectangle de base $[a;b]$ qui aurait la même aire. Elle est toujours comprise entre le minimum et le maximum de $f$ sur $[a;b]$ — un bon contrôle de vraisemblance.

🔢 Méthode — Résoudre y' = ay + b (a ≠ 0)

Chercher la solution particulière CONSTANTE : elle vérifie y' = 0, donc 0 = a·k + b, soit k = −b/a.
Résoudre l'équation homogène y' = ay : les solutions sont y(t) = Ce^(at), C réel.
Solution générale : y(t) = Ce^(at) + k, avec k = −b/a.
Utiliser la condition initiale y(0) pour trouver C : C = y(0) − k.
Comportement en +∞ : si a < 0, e^(at) → 0 donc y(t) → k (équilibre stable) ; si a > 0, y diverge.

✏️ Exemple — Calcul d'intégrale et aire

✏️ Exemple — Équation différentielle — modélisation

⚠️

Signe de l'intégrale : $\int_a^b f$ peut être négatif si $f < 0$ sur $[a,b]$ . L'aire (toujours positive) est $\int_a^b |f(x)|\,dx$ . Ne pas confondre l'intégrale et l'aire géométrique.

Les équations différentielles $y'=ay+b$ modélisent des lois du refroidissement, la croissance logistique linéarisée, la charge d'un condensateur, la décroissance radioactive. La solution exponentielle est universelle dans la nature physique.

🎯 Mini-quiz

1. ∫₁³ 2x dx = ?

2. Solution générale de y' = 3y ?

3. Valeur moyenne de f(x) = x sur [0 ; 4] ?

Intégration — Terminale Complémentaire

Pour aller plus loin

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