✅ À retenir

Si F'=f, alors \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a) (résultat = aire algébrique sous la courbe).
Éq. diff. y'=ay : y=Ce^{at}. Éq. y'=ay+b : solution particulière constante y_0=-b/a.
Valeur moyenne de f sur [a,b] : m = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx.

📖 Définition — Primitives usuelles

$f(x)$	Primitive $F(x)$
$k$ (constante)	$kx$
$x^n$ ( $n\neq -1$ )	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln
$e^x$	$e^x$
$e^{ax}$	$\dfrac{1}{a}e^{ax}$
$\cos x$	$\sin x$
$\sin x$	$-\cos x$
$u' \cdot e^u$	$e^u$
$\dfrac{u'}{u}$	$\ln

🔢 Méthode — Résoudre y' = ay + b

Trouver la solution particulière : poser y'=0 → 0=ay₀+b → y₀=−b/a.
Écrire la solution générale : y(t) = Ce^(at) + y₀ (translation de la solution de y'=ay).
Appliquer la condition initiale y(0) = y₀₀ : calculer C = y₀₀ − y₀.
Écrire la solution complète.
Étudier le comportement asymptotique : si a<0, y(t)→y₀ (équilibre stable).

✏️ Exemple — Calcul d'intégrale et aire

✏️ Exemple — Équation différentielle — modélisation

⚠️

Signe de l'intégrale : $\int_a^b f$ peut être négatif si $f < 0$ sur $[a,b]$ . L'aire (toujours positive) est $\int_a^b |f(x)|\,dx$ . Ne pas confondre l'intégrale et l'aire géométrique.

Les équations différentielles $y'=ay+b$ modélisent des lois du refroidissement, la croissance logistique linéarisée, la charge d'un condensateur, la décroissance radioactive. La solution exponentielle est universelle dans la nature physique.

🎯 Mini-quiz

1. ∫₁³ 2x dx = ?

2. Solution générale de y'=3y ?

3. Valeur moyenne de f(x)=x sur [0,4] ?