📝 Évaluation Continuité & TVI (Terminale Spécialité) avec corrigé
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Sujets A et B ci-dessous : exercices différents, même notion et même barème — un sujet par rangée pour limiter la copie.
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NumiÉvaluation · Terminale Spécialité📝 Continuité & TVI — sujet A
Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.
Exercice 1/ 1 pt
Sur quel ensemble toute fonction polynomiale est-elle continue ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 2/ 1 pt
Si f et g sont continues, que peut-on dire de f \circ g ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 3/ 1 pt
Énoncé complet du Théorème des Valeurs Intermédiaires pour trouver un zéro : quelles sont les conditions et la conclusion ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 4/ 1,5 pt
f est continue sur [-2, 5], f(-2) = -4 et f(5) = 3. Quelle est la conclusion du TVI ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 5/ 1,5 pt
f est continue sur [1, 10], f(1) = 0 et f(10) = 11. Le TVI garantit-il que f prend la valeur k = 8 sur cet intervalle ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 6/ 1,5 pt
f est continue sur [1, 4] avec f(1) = 5 et f(4) = 19. Peut-on affirmer qu'il existe c \in [1, 4] tel que f(c) = 13 ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 7/ 2 pts
On pose f(x) = x^3 + x - 1 : l'équation devient f(x) = 0. f est un polynôme, donc continue.
- a) Calcule f(0).
Réponse :
- b) Calcule f(1).
Réponse :
- c) Que peut-on conclure ?
Exercice 8/ 2 pts
f est continue sur [a, b] avec f(a) \cdot f(b) < 0 (donc au moins un zéro). Classe chaque hypothèse supplémentaire : garantit-elle que le zéro est UNIQUE ?
Classe chaque élément dans la bonne colonne.
f strictement décroissante sur [a, b]f(a) < 0 < f(b)f strictement monotone sur [a, b]f dérivable sur [a, b]
| Garantit l'unicité du zéro | Ne garantit pas l'unicité |
|---|---|
Exercice 9/ 2 pts
On veut savoir si f(x) = \dfrac{1}{x} s'annule sur [-1, 1]. On commence par évaluer f aux bornes.
- a) Calcule f(-1).
Réponse :
- b) Calcule f(1).
Réponse :
- c) Les signes sont opposés. Que conclure sur l'application du TVI ?
Exercice 10/ 2 pts
On pose g(x) = f(x) - x : un point fixe de f est un zéro de g. g est continue (différence de fonctions continues).
- a) Calcule g(0) = f(0) - 0 sachant f(0) = 0{,}7.
Réponse :
- b) Calcule g(1) = f(1) - 1 sachant f(1) = 0{,}3.
Réponse :
- c) g(0) \geq 0 et g(1) \leq 0 : que conclure ?
Exercice 11/ 2 pts
f(1{,}41) < 0 et f(1{,}42) > 0. On teste le milieu de l'intervalle.
- a) Calcule le milieu de [1{,}41 ; 1{,}42].
Réponse :
- b) On trouve f(\text{milieu}) > 0. Quel demi-intervalle garde-t-on ?
Exercice 12/ 2,5 pts
f continue sur [-3, 3]. Tableau de variations : f croît de f(-3) = -3 jusqu'au maximum f(-1) = 5, puis décroît jusqu'au minimum f(1) = -4, puis croît jusqu'à f(3) = 3. Combien l'équation f(x) = -1 admet-elle de solutions sur [-3, 3] ?
Réponse :
Corrigé et barème — Continuité & TVI — sujet A (Terminale Spécialité) · Sujet n°1
- 1. (1 pt) Sur \mathbb{R} tout entier — Toute fonction polynomiale est continue sur \mathbb{R} (elle est même dérivable).
- 2. (1 pt) Continue sur tout intervalle où g est définie et f est définie — Si g est continue en a et f est continue en g(a), alors f \circ g est continue en a. La composée de fonctions continues est continue.
- 3. (1 pt) 1) f continue sur [a, b] ; 2) f(a) et f(b) de signes opposés ; alors il existe c \in ]a,b[ tel que f(c) = 0 — TVI : si f est continue sur [a,b] et f(a) \cdot f(b) < 0, alors il existe c \in ]a,b[ tel que f(c) = 0.
- 4. (1,5 pt) Il existe au moins une valeur c \in ]-2 ; 5[ telle que f(c) = 0 — f(-2) \times f(5) = -12 < 0 et f continue → par le TVI, il existe c \in ]-2;5[ tel que f(c) = 0.
- 5. (1,5 pt) Il existe c \in [1, 10] tel que f(c) = 8 (car f(1) < 8 < f(10)) — f(1) = 0 \leq 8 \leq 11 = f(10), donc par le TVI (version générale), il existe c \in [1, 10] tel que f(c) = 8.
- 6. (1,5 pt) Oui : f est continue sur [1, 4] et f(1) = 5 < 13 < 19 = f(4) — Puisque f(1) = 5 < 13 < 19 = f(4) et f est continue, le TVI garantit l'existence de c avec f(c) = 13.
- 7. (2 pts) a) -1 ; b) 1 ; c) f est continue et f(0) \cdot f(1) < 0 : par le TVI, une solution existe dans ]0, 1[ — f(x) = x^3 + x - 1 est continue (polynôme). f(0) = -1 < 0 et f(1) = 1 > 0. Par le TVI, il existe c \in ]0, 1[ tel que f(c) = 0, i.e. c^3 + c = 1.
- 8. (2 pts) Garantit l'unicité du zéro : f strictement décroissante sur [a, b], f strictement monotone sur [a, b] — Ne garantit pas l'unicité : f(a) < 0 < f(b), f dérivable sur [a, b] — Seule la stricte monotonie (croissance ou décroissance stricte) rend f injective : f(x) = 0 a alors au plus une solution. La dérivabilité, la continuité ou le changement de signe n'empêchent pas plusieurs zéros.
- 9. (2 pts) a) -1 ; b) 1 ; c) Le TVI ne s'applique pas : f n'est pas continue en 0 \in [-1, 1] — f(-1) = -1 < 0 et f(1) = 1 > 0, mais f(x) = \dfrac{1}{x} n'est pas définie (donc pas continue) en x = 0 \in [-1, 1] : le TVI ne s'applique pas. De fait, f ne s'annule jamais.
- 10. (2 pts) a) 0.7 ; b) -0.7 ; c) Par le TVI appliqué à g, il existe c tel que g(c) = 0, i.e. f(c) = c — g(x) = f(x) - x est continue. g(0) = f(0) = 0{,}7 \geq 0 et g(1) = f(1) - 1 = 0{,}3 - 1 \leq 0. Par le TVI, g s'annule : il existe c avec g(c) = 0, i.e. f(c) = c.
- 11. (2 pts) a) 1.415 ; b) [1{,}41 ; 1{,}415] — Milieu = 1{,}415, f(1{,}415) \approx 0{,}0022 > 0. Comme f(1{,}41) < 0, le zéro \sqrt{2} est dans [1{,}41 ; 1{,}415].
- 12. (2,5 pts) 3 — Branche 1 (de -3 à 5, croissante) : une solution ssi -3 < -1 < 5 → oui. Branche 2 (de 5 à -4, décroissante) : ssi -4 < -1 < 5 → oui. Branche 3 (de -4 à 3, croissante) : ssi -4 < -1 < 3 → oui. Total : 3 solutions. Aux valeurs k = 5 ou k = -4 (extrema), on compterait la tangence une seule fois.
NumiÉvaluation · Terminale Spécialité📝 Continuité & TVI — sujet B
Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°2.
Exercice 1/ 1 pt
f est continue sur [-4, 4]. On sait que f(-4) = -3 et f(4) = 5. Peut-on appliquer le TVI pour garantir l'existence d'un zéro ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 2/ 1 pt
Un graphe montre une courbe qui 'saute' en x = 2 : est-ce une fonction continue en x = 2 ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 3/ 1 pt
Quelle est l'énoncé correct du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 4/ 1,5 pt
f est continue sur [1, 4], f(1) = 0 et f(4) = 5. Le TVI garantit-il que f prend la valeur k = 2 sur cet intervalle ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 5/ 1,5 pt
f a une discontinuité en x = 0 \in [-1, 1] et f(-1) = -2, f(1) = 2. Peut-on appliquer le TVI sur [-1, 1] ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 6/ 1,5 pt
f est continue sur [-1, 1] avec f(-1) = -8 et f(1) = 7. Pour tester la condition du TVI, calcule le produit f(-1) \times f(1).
Réponse :
Exercice 7/ 2 pts
f est continue sur [0, 2] avec f(0) = -4 < 0 et f(2) = 5 > 0 : le TVI garantit un zéro dans ]0, 2[.
- a) Calcule le milieu m de l'intervalle [0, 2].
Réponse :
- b) On calcule f(1) = -2. Dans quel intervalle le zéro est-il garanti ?
Exercice 8/ 2 pts
On applique la méthode de dichotomie à partir de [0, 8]. Quelle est la longueur de l'intervalle obtenu après 3 étapes ?
Réponse :
Exercice 9/ 2 pts
f est continue et change de signe sur [1, 2] : \sqrt{2} y est le zéro de f.
- a) Calcule le milieu m de [1, 2].
Réponse :
- b) On obtient f(m) > 0. Quel demi-intervalle garde-t-on ?
Exercice 10/ 2 pts
On combine deux arguments : le TVI (existence) et la stricte monotonie (unicité).
- a) Calcule le produit f(1) \times f(3).
Réponse :
- b) Ce produit est négatif et f est strictement croissante. Combien de zéros sur [1, 3] ?
Exercice 11/ 2 pts
On pose g(x) = f(x) - x : un point fixe de f est un zéro de g. g est continue (différence de fonctions continues).
- a) Calcule g(0) = f(0) - 0 sachant f(0) = 0{,}6.
Réponse :
- b) Calcule g(1) = f(1) - 1 sachant f(1) = 0{,}5.
Réponse :
- c) g(0) \geq 0 et g(1) \leq 0 : que conclure ?
Exercice 12/ 2,5 pts
f continue sur [-3, 3]. Tableau de variations : f croît de f(-3) = -1 jusqu'au maximum f(-1) = 7, puis décroît jusqu'au minimum f(1) = -3, puis croît jusqu'à f(3) = 1. Combien l'équation f(x) = -2 admet-elle de solutions sur [-3, 3] ?
Réponse :
Corrigé et barème — Continuité & TVI — sujet B (Terminale Spécialité) · Sujet n°2
- 1. (1 pt) Oui, car f(-4) < 0 et f(4) > 0 (signes opposés) — f(-4) = -3 < 0 et f(4) = 5 > 0 : signes opposés, et f est continue → le TVI garantit l'existence d'un zéro dans ]-4 ; 4[.
- 2. (1 pt) Non, car la courbe présente un saut : la limite en ce point est différente de la valeur — Si la courbe présente un saut, la limite en ce point ≠ valeur de la fonction → discontinuité.
- 3. (1 pt) Si f est continue sur [a, b] et k est compris entre f(a) et f(b), alors il existe c \in [a, b] tel que f(c) = k — TVI : si f est continue sur [a, b] et si k est un réel tel que f(a) \leq k \leq f(b) (ou f(b) \leq k \leq f(a)), alors il existe c \in [a, b] tel que f(c) = k.
- 4. (1,5 pt) Il existe c \in [1, 4] tel que f(c) = 2 (car f(1) < 2 < f(4)) — f(1) = 0 \leq 2 \leq 5 = f(4), donc par le TVI (version générale), il existe c \in [1, 4] tel que f(c) = 2.
- 5. (1,5 pt) Non, car f n'est pas continue sur [a, b] (discontinuité en un point intérieur) — Le TVI requiert que f soit continue sur tout [a, b]. Une discontinuité en un point intérieur invalide le théorème.
- 6. (1,5 pt) -56 — f(-1) \times f(1) = -8 \times 7 = -56 < 0 : les signes sont opposés. f étant continue, le TVI garantit un zéro sur ]-1, 1[.
- 7. (2 pts) a) 1 ; b) [1 ; 2] — m = \frac{0 + 2}{2} = 1. f(1) = -2 < 0 et f(2) = 5 > 0, donc le zéro est dans [1 ; 2].
- 8. (2 pts) 1 — Longueur = \frac{8}{2^{3}} = \frac{8}{8} = 1.
- 9. (2 pts) a) 1.5 ; b) [1 ; 1{,}5] — m = 1{,}5 et f(1{,}5) > 0. Comme f(1) < 0 et f(1{,}5) > 0, f change de signe : le zéro \sqrt{2} est dans [1 ; 1{,}5].
- 10. (2 pts) a) -24 ; b) Exactement un : existence par le TVI, unicité par stricte croissance — Existence : f(1) = -4 < 0 < 6 = f(3) et f continue → le TVI garantit c \in ]1, 3[ avec f(c) = 0. Unicité : f strictement croissante → injective → au plus un zéro. Donc exactement un.
- 11. (2 pts) a) 0.6 ; b) -0.5 ; c) Par le TVI appliqué à g, il existe c tel que g(c) = 0, i.e. f(c) = c — g(x) = f(x) - x est continue. g(0) = f(0) = 0{,}6 \geq 0 et g(1) = f(1) - 1 = 0{,}5 - 1 \leq 0. Par le TVI, g s'annule : il existe c avec g(c) = 0, i.e. f(c) = c.
- 12. (2,5 pts) 2 — Branche 1 (de -1 à 7, croissante) : une solution ssi -1 < -2 < 7 → non. Branche 2 (de 7 à -3, décroissante) : ssi -3 < -2 < 7 → oui. Branche 3 (de -3 à 1, croissante) : ssi -3 < -2 < 1 → oui. Total : 2 solutions. Aux valeurs k = 7 ou k = -3 (extrema), on compterait la tangence une seule fois.
Une évaluation Continuité & TVI Terminale Spécialité toujours nouvelle
Ce contrôle est généré par le moteur Numi : chaque « Nouveau sujet » produit des exercices inédits de Continuité & TVI (Terminale Spécialité, Spé Maths), gradués du plus simple au plus exigeant, strictement conformes au programme officiel de l'Éducation nationale. Le barème sur 20 suit la difficulté des exercices ; le corrigé occupe la deuxième page.
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