∞ Exercices à imprimer — Continuité & TVI (Terminale Spécialité)

Exercice 1★☆☆☆☆

Quelles fonctions sont continues sur leur domaine de définition ?

Coche la bonne réponse.

• A. Toutes les fonctions polynomiales, rationnelles (hors zéros du dénominateur), trigonométriques, exponentielles, logarithmes
• B. Seulement les fonctions affines
• C. Les fonctions monotones uniquement
• D. Toutes les fonctions définies sur \mathbb{R}

Exercice 2★☆☆☆☆

Que signifie la condition f(a) \cdot f(b) < 0 dans le contexte du TVI ?

Coche la bonne réponse.

• A. f(a) et f(b) sont de signes opposés
• B. f(a) = 0 ou f(b) = 0
• C. f(a) > 0 et f(b) > 0
• D. f(a) \cdot f(b) > 0

Exercice 3★☆☆☆☆

Un graphe montre une courbe qui 'saute' en x = 2 : est-ce une fonction continue en x = 2 ?

Coche la bonne réponse.

• A. Impossible à déterminer graphiquement
• B. Non, car la courbe présente un saut : la limite en ce point est différente de la valeur
• C. Oui, car la courbe passe par ce point
• D. Oui, car la fonction est définie en ce point

Exercice 4★★☆☆☆

La suite (u_n) est définie par u_0 = 4 et u_{n+1} = \dfrac{3}{4}\,u_n + 3. On admet qu'elle converge vers un réel \ell. Que vaut \ell ?

Réponse :

Exercice 5★★☆☆☆

f est continue sur [1, 4] avec f(1) = 2 et f(4) = 17. Peut-on affirmer qu'il existe c \in [1, 4] tel que f(c) = 8 ?

Coche la bonne réponse.

• A. Oui, mais seulement si f est croissante
• B. Oui : f est continue sur [1, 4] et f(1) = 2 < 8 < 17 = f(4)
• C. Non : il faudrait que k > f(4)
• D. Non : le TVI ne s'applique que pour k = 0

Exercice 6★★☆☆☆

f est continue sur [1, 7], f(1) = 0 et f(7) = 8. Le TVI garantit-il que f prend la valeur k = 5 sur cet intervalle ?

Coche la bonne réponse.

• A. Il faut que f soit dérivable pour conclure
• B. Il existe c \in [1, 7] tel que f(c) = 5 (car f(1) < 5 < f(7))
• C. f atteint k = 5 uniquement en c = 5
• D. Il n'existe pas forcément de c tel que f(c) = 5

Exercice 7★★★☆☆

On veut savoir si f(x) = \dfrac{1}{x} s'annule sur [-1, 1]. On commence par évaluer f aux bornes.

1. a) Calcule f(-1).

   Réponse :

2. b) Calcule f(1).

   Réponse :

3. c) Les signes sont opposés. Que conclure sur l'application du TVI ?
   • A. f est continue donc le TVI garantit un zéro
   • B. f n'est pas dérivable, donc on ne peut rien dire sur les zéros
   • C. Le TVI s'applique : il existe un zéro car les signes sont opposés
   • D. Le TVI ne s'applique pas : f n'est pas continue en 0 \in [-1, 1]

Exercice 8★★★☆☆

Pour encadrer \sqrt{7}, on étudie f(x) = x^2 - 7 (continue). En balayant les entiers, quel est le plus grand entier n tel que f(n) < 0 (donc n < \sqrt{7} < n+1) ?

Réponse :

Exercice 9★★★☆☆

f est continue sur [a, b] avec f(a) \cdot f(b) < 0 (donc au moins un zéro). Classe chaque hypothèse supplémentaire : garantit-elle que le zéro est UNIQUE ?

Classe chaque élément dans la bonne colonne.

f bornée sur [a, b]f strictement décroissante sur [a, b]f continue sur [a, b]f strictement monotone sur [a, b]

Exercice 10★★★★☆

f(x) = x^2 - 2 est continue, f(1) = -1 < 0 et f(2) = 2 > 0 : le zéro \sqrt{2} est dans [1, 2]. À chaque étape on garde la moitié où f change de signe.

1. a) Étape 1 : calcule le milieu de [1, 2].

   Réponse :

2. b) f(1{,}5) > 0, on garde [1 ; 1{,}5]. Calcule le milieu de [1 ; 1{,}5].

   Réponse :

3. c) f(1{,}25) < 0, on garde [1{,}25 ; 1{,}5]. Calcule le milieu de [1{,}25 ; 1{,}5].

   Réponse :

4. d) f(1{,}375) < 0. Quel est l'intervalle final encadrant \sqrt{2} ?
   • A. [1{,}25 ; 1{,}375]
   • B. [1 ; 1{,}5]
   • C. [1{,}4 ; 1{,}5]
   • D. [1{,}375 ; 1{,}5]

Exercice 11★★★★☆

On combine deux arguments : le TVI (existence) et la stricte monotonie (unicité).

1. a) Calcule le produit f(1) \times f(3).

   Réponse :

2. b) Ce produit est négatif et f est strictement croissante. Combien de zéros sur [1, 3] ?
   • A. Au moins deux, car f n'est pas linéaire
   • B. On ne peut conclure que si f est dérivable
   • C. Aucun : le TVI ne s'applique pas ici
   • D. Exactement un : existence par le TVI, unicité par stricte croissance

🏆 Défi★★★★★

f continue sur [-3, 3]. Tableau de variations : f croît de f(-3) = -3 jusqu'au maximum f(-1) = 7, puis décroît jusqu'au minimum f(1) = -6, puis croît jusqu'à f(3) = 4. Combien l'équation f(x) = -4 admet-elle de solutions sur [-3, 3] ?

Réponse :