∞ Exercices à imprimer — Continuité & TVI (Terminale Spécialité)
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NumiFeuille d'exercices · Terminale Spécialité∞ Continuité & TVI
Exercice 1★☆☆☆☆
Qu'est-ce que la continuité d'une fonction sur un intervalle [a, b], intuitivement ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 2★☆☆☆☆
Si f et g sont continues, que peut-on dire de f \circ g ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 3★☆☆☆☆
Quelles fonctions sont continues sur leur domaine de définition ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 4★★☆☆☆
f est continue sur [1, 4] avec f(1) = 5 et f(4) = 16. Peut-on affirmer qu'il existe c \in [1, 4] tel que f(c) = 9 ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 5★★☆☆☆
f est continue sur [-2, 2] avec f(-2) = -2 et f(2) = 1. Pour tester la condition du TVI, calcule le produit f(-2) \times f(2).
Réponse :
Exercice 6★★☆☆☆
f a une discontinuité en x = 0 \in [-1, 1] et f(-1) = -2, f(1) = 2. Peut-on appliquer le TVI sur [-1, 1] ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 7★★★☆☆
f est continue sur [2, 4] avec f(2) = -5 < 0 et f(4) = 6 > 0 : le TVI garantit un zéro dans ]2, 4[.
- a) Calcule le milieu m de l'intervalle [2, 4].
Réponse :
- b) On calcule f(3) = 3. Dans quel intervalle le zéro est-il garanti ?
Exercice 8★★★☆☆
On pose f(x) = x^3 + x - 5 : l'équation devient f(x) = 0. f est un polynôme, donc continue.
- a) Calcule f(0).
Réponse :
- b) Calcule f(2).
Réponse :
- c) Que peut-on conclure ?
Exercice 9★★★☆☆
On applique la méthode de dichotomie à partir de [0, 4]. Quelle est la longueur de l'intervalle obtenu après 4 étapes ?
Réponse :
Exercice 10★★★★☆
f(1{,}41) < 0 et f(1{,}42) > 0. On teste le milieu de l'intervalle.
- a) Calcule le milieu de [1{,}41 ; 1{,}42].
Réponse :
- b) On trouve f(\text{milieu}) > 0. Quel demi-intervalle garde-t-on ?
Exercice 11★★★★☆
On applique la dichotomie à f sur un intervalle de longueur 1. Combien d'étapes faut-il au minimum pour une précision inférieure à 10^{-3} ?
Réponse :
🏆 Défi★★★★★
L'équation x^3 + x = 7 a une unique solution \alpha (car x \mapsto x^3 + x est continue et strictement croissante). En balayant les entiers puis en appliquant la dichotomie, combien d'étapes de dichotomie faut-il AU MINIMUM pour obtenir \alpha à 10^{-1} près ?
Réponse :
Corrigé — Continuité & TVI (Terminale Spécialité) · Feuille n°0
- 1. La courbe peut être tracée sans lever le crayon — Une fonction est continue sur [a, b] si sa courbe peut être tracée sans lever le crayon : il n'y a pas de saut, de trou ou d'asymptote sur l'intervalle.
- 2. Continue sur tout intervalle où g est définie et f est définie — Si g est continue en a et f est continue en g(a), alors f \circ g est continue en a. La composée de fonctions continues est continue.
- 3. Toutes les fonctions polynomiales, rationnelles (hors zéros du dénominateur), trigonométriques, exponentielles, logarithmes — Les polynômes, fractions rationnelles (hors zéros du dénominateur), sin, cos, exp, ln sont toutes continues sur leur domaine de définition.
- 4. Oui : f est continue sur [1, 4] et f(1) = 5 < 9 < 16 = f(4) — Puisque f(1) = 5 < 9 < 16 = f(4) et f est continue, le TVI garantit l'existence de c avec f(c) = 9.
- 5. -2 — f(-2) \times f(2) = -2 \times 1 = -2 < 0 : les signes sont opposés. f étant continue, le TVI garantit un zéro sur ]-2, 2[.
- 6. Non, car f n'est pas continue sur [a, b] (discontinuité en un point intérieur) — Le TVI requiert que f soit continue sur tout [a, b]. Une discontinuité en un point intérieur invalide le théorème.
- 7. a) 3 ; b) [2 ; 3] — m = \frac{2 + 4}{2} = 3. f(2) = -5 < 0 et f(3) = 3 > 0, donc le zéro est dans [2 ; 3].
- 8. a) -5 ; b) 5 ; c) f est continue et f(0) \cdot f(2) < 0 : par le TVI, l'équation a au moins une solution dans ]0, 2[ — f(0) = -5 < 0 et f(2) = 8 + 2 - 5 = 5 > 0. f est continue (polynôme) : par le TVI, il existe x_0 \in ]0, 2[ tel que f(x_0) = 0, c'est-à-dire x_0^3 + x_0 = 5.
- 9. 0.25 — Longueur = \frac{4}{2^{4}} = \frac{4}{16} = 0.25.
- 10. a) 1.415 ; b) [1{,}41 ; 1{,}415] — Milieu = 1{,}415, f(1{,}415) \approx 0.0022 > 0. Comme f(1{,}41) < 0, le zéro \sqrt{2} est dans [1{,}41 ; 1{,}415].
- 11. 10 — On cherche le plus petit n tel que \dfrac{1}{2^n} < 10^{-3}, soit 2^n > 1000. Le plus petit entier convenable est n = 10.
- 🏆 4 — Balayage : f(x) = x^3 + x - 7 vérifie f(1) = -5 < 0 et f(2) = 3 > 0, donc \alpha \in [1, 2] (longueur 1). Après p dichotomies, la longueur est \dfrac{1}{2^p}. On veut \dfrac{1}{2^p} \leq 10^{-1}, soit 2^p \geq 10^{1} = 10, d'où p = 4.
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