∞ Exercices à imprimer — Continuité & TVI (Terminale Spécialité)

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∞ Continuité & TVI

Exercice 1★☆☆☆☆

Quelle est la définition de la continuité de f en a ?

Coche la bonne réponse.

A. f est continue en a si f(a) = 0
B. f est continue en a si \lim_{x \to a} f(x) = f(a)
C. f est continue en a si f est dérivable en a
D. f est continue en a si f est croissante en a

Exercice 2★☆☆☆☆

Quelles fonctions sont continues sur leur domaine de définition ?

Coche la bonne réponse.

A. Toutes les fonctions polynomiales, rationnelles (hors zéros du dénominateur), trigonométriques, exponentielles, logarithmes
B. Toutes les fonctions définies sur \mathbb{R}
C. Les fonctions monotones uniquement
D. Seulement les fonctions affines

Exercice 3★☆☆☆☆

Énoncé complet du Théorème des Valeurs Intermédiaires pour trouver un zéro : quelles sont les conditions et la conclusion ?

Coche la bonne réponse.

A. 1) f continue ; 2) f(a) < 0 et f(b) < 0 ; alors f s'annule
B. 1) f dérivable ; 2) f'(a) < 0 < f'(b) ; alors f s'annule
C. 1) f bornée sur [a, b] ; 2) f(a) + f(b) = 0 ; alors f s'annule
D. 1) f continue sur [a, b] ; 2) f(a) et f(b) de signes opposés ; alors il existe c \in ]a,b[ tel que f(c) = 0

Exercice 4★★☆☆☆

f est continue sur [1, 4] avec f(1) = 5 et f(4) = 18. Peut-on affirmer qu'il existe c \in [1, 4] tel que f(c) = 9 ?

Coche la bonne réponse.

A. Oui : f est continue sur [1, 4] et f(1) = 5 < 9 < 18 = f(4)
B. Non : le TVI ne s'applique que pour k = 0
C. Oui, mais seulement si f est croissante
D. Non : il faudrait que k > f(4)

Exercice 5★★☆☆☆

f a une discontinuité en x = 0 \in [-1, 1] et f(-1) = -2, f(1) = 2. Peut-on appliquer le TVI sur [-1, 1] ?

Coche la bonne réponse.

A. Non, car f(a) \times f(b) \geq 0
B. Non, car f n'est pas continue sur [a, b] (discontinuité en un point intérieur)
C. Oui, car la dérivée est positive
D. Oui, car f(a) et f(b) sont de signes opposés

Exercice 6★★☆☆☆

f est continue sur [-4, 2] avec f(-4) = -8 et f(2) = 9. Pour tester la condition du TVI, calcule le produit f(-4) \times f(2).

Réponse :

Exercice 7★★★☆☆

f est continue sur [1, 3] avec f(1) = -3 < 0 et f(3) = 1 > 0 : le TVI garantit un zéro dans ]1, 3[.

a) Calcule le milieu m de l'intervalle [1, 3].
Réponse :
b) On calcule f(2) = -2. Dans quel intervalle le zéro est-il garanti ?
- A. [1 ; 2]
- B. [2 ; 3]
- C. [1 ; 3] inchangé

Exercice 8★★★☆☆

On veut savoir si f(x) = \dfrac{1}{x} s'annule sur [-1, 1]. On commence par évaluer f aux bornes.

a) Calcule f(-1).
Réponse :
b) Calcule f(1).
Réponse :
c) Les signes sont opposés. Que conclure sur l'application du TVI ?
- A. Le TVI ne s'applique pas : f n'est pas continue en 0 \in [-1, 1]
- B. Le TVI s'applique : il existe un zéro car les signes sont opposés
- C. f est continue donc le TVI garantit un zéro
- D. f n'est pas dérivable, donc on ne peut rien dire sur les zéros

Exercice 9★★★☆☆

f est continue sur [a, b] avec f(a) \cdot f(b) < 0 (donc au moins un zéro). Classe chaque hypothèse supplémentaire : garantit-elle que le zéro est UNIQUE ?

Classe chaque élément dans la bonne colonne.

f bornée sur [a, b]f strictement croissante sur [a, b]f strictement décroissante sur [a, b]f continue sur [a, b]

Garantit l'unicité du zéro	Ne garantit pas l'unicité

Exercice 10★★★★☆

f(x) = x^2 - 2 est continue, f(1) = -1 < 0 et f(2) = 2 > 0 : le zéro \sqrt{2} est dans [1, 2]. À chaque étape on garde la moitié où f change de signe.

a) Étape 1 : calcule le milieu de [1, 2].
Réponse :
b) f(1{,}5) > 0, on garde [1 ; 1{,}5]. Calcule le milieu de [1 ; 1{,}5].
Réponse :
c) f(1{,}25) < 0, on garde [1{,}25 ; 1{,}5]. Calcule le milieu de [1{,}25 ; 1{,}5].
Réponse :
d) f(1{,}375) < 0. Quel est l'intervalle final encadrant \sqrt{2} ?
- A. [1{,}375 ; 1{,}5]
- B. [1 ; 1{,}5]
- C. [1{,}25 ; 1{,}375]
- D. [1{,}4 ; 1{,}5]

Exercice 11★★★★☆

Par dichotomie à partir d'un intervalle de longueur 2, combien d'étapes faut-il au minimum pour obtenir une approximation à 0{,}0001 près ?

Réponse :

🏆 Défi★★★★★

Reconstitue, dans l'ordre logique, la démonstration que tout polynôme P de degré impair admet au moins une racine réelle.

Numérote de 1 à 4 pour ranger dans le bon ordre.

Pour un degré impair, \lim_{x \to -\infty} P(x) et \lim_{x \to +\infty} P(x) sont de signes opposés
Il existe donc a et b tels que P(a) < 0 < P(b)
Par le TVI, il existe c \in ]a, b[ tel que P(c) = 0
P est un polynôme, donc continu sur \mathbb{R}

Corrigé — Continuité & TVI (Terminale Spécialité) · Feuille n°0

1. f est continue en a si \lim_{x \to a} f(x) = f(a) — f est continue en a si et seulement si \lim_{x \to a} f(x) = f(a).
2. Toutes les fonctions polynomiales, rationnelles (hors zéros du dénominateur), trigonométriques, exponentielles, logarithmes — Les polynômes, fractions rationnelles (hors zéros du dénominateur), sin, cos, exp, ln sont toutes continues sur leur domaine de définition.
3. 1) f continue sur [a, b] ; 2) f(a) et f(b) de signes opposés ; alors il existe c \in ]a,b[ tel que f(c) = 0 — TVI : si f est continue sur [a,b] et f(a) \cdot f(b) < 0, alors il existe c \in ]a,b[ tel que f(c) = 0.
4. Oui : f est continue sur [1, 4] et f(1) = 5 < 9 < 18 = f(4) — Puisque f(1) = 5 < 9 < 18 = f(4) et f est continue, le TVI garantit l'existence de c avec f(c) = 9.
5. Non, car f n'est pas continue sur [a, b] (discontinuité en un point intérieur) — Le TVI requiert que f soit continue sur tout [a, b]. Une discontinuité en un point intérieur invalide le théorème.
6. -72 — f(-4) \times f(2) = -8 \times 9 = -72 < 0 : les signes sont opposés. f étant continue, le TVI garantit un zéro sur ]-4, 2[.
7. a) 2 ; b) [2 ; 3] — m = \frac{1 + 3}{2} = 2. f(2) = -2 < 0 et f(3) = 1 > 0, donc le zéro est dans [2 ; 3].
8. a) -1 ; b) 1 ; c) Le TVI ne s'applique pas : f n'est pas continue en 0 \in [-1, 1] — f(-1) = -1 < 0 et f(1) = 1 > 0, mais f(x) = \dfrac{1}{x} n'est pas définie (donc pas continue) en x = 0 \in [-1, 1] : le TVI ne s'applique pas. De fait, f ne s'annule jamais.
9. Garantit l'unicité du zéro : f strictement croissante sur [a, b], f strictement décroissante sur [a, b] — Ne garantit pas l'unicité : f bornée sur [a, b], f continue sur [a, b] — Seule la stricte monotonie (croissance ou décroissance stricte) rend f injective : f(x) = 0 a alors au plus une solution. La dérivabilité, la continuité ou le changement de signe n'empêchent pas plusieurs zéros.
10. a) 1.5 ; b) 1.25 ; c) 1.375 ; d) [1{,}375 ; 1{,}5] — Étape 1 : [1; 2], milieu 1{,}5, f(1{,}5)=0{,}25>0 → [1; 1{,}5]. Étape 2 : milieu 1{,}25, f(1{,}25)=-0{,}44<0 → [1{,}25; 1{,}5]. Étape 3 : milieu 1{,}375, f(1{,}375)=-0{,}11<0 → [1{,}375; 1{,}5].
11. 15 — On veut \dfrac{2}{2^n} \leq 0{,}0001, soit 2^n \geq 20000, donc n = 15 (le plus petit entier vérifiant l'inégalité).
🏆 P est un polynôme, donc continu sur \mathbb{R} → Pour un degré impair, \lim_{x \to -\infty} P(x) et \lim_{x \to +\infty} P(x) sont de signes opposés → Il existe donc a et b tels que P(a) < 0 < P(b) → Par le TVI, il existe c \in ]a, b[ tel que P(c) = 0 — Un polynôme P de degré impair n vérifie \lim_{x \to -\infty} P(x) = -\infty et \lim_{x \to +\infty} P(x) = +\infty (coefficient dominant positif). Il existe donc a < 0 < b avec P(a) < 0 < P(b). Par le TVI (P est continue), il existe c \in ]a, b[ avec P(c) = 0.

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