📝 Évaluation Continuité & TVI (Terminale Spécialité) avec corrigé

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NumiÉvaluation · Terminale Spécialité

Nom : Classe : Date :

📝 Continuité & TVI

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.

Exercice 1/ 1 pt

Sur quel ensemble toute fonction polynomiale est-elle continue ?

Coche la bonne réponse.

A. Uniquement aux points où elle est nulle
B. Uniquement en les points de dérivabilité
C. Sur \mathbb{R} tout entier
D. Uniquement sur [0, +\infty[

Exercice 2/ 1 pt

Si f et g sont continues, que peut-on dire de f \circ g ?

Coche la bonne réponse.

A. Continue sur tout intervalle où g est définie et f est définie
B. Pas forcément continue
C. Continue si f et g sont monotones
D. Continue seulement si f et g sont dérivables

Exercice 3/ 1 pt

Énoncé complet du Théorème des Valeurs Intermédiaires pour trouver un zéro : quelles sont les conditions et la conclusion ?

Coche la bonne réponse.

A. 1) f continue ; 2) f(a) < 0 et f(b) < 0 ; alors f s'annule
B. 1) f continue sur [a, b] ; 2) f(a) et f(b) de signes opposés ; alors il existe c \in ]a,b[ tel que f(c) = 0
C. 1) f dérivable ; 2) f'(a) < 0 < f'(b) ; alors f s'annule
D. 1) f bornée sur [a, b] ; 2) f(a) + f(b) = 0 ; alors f s'annule

Exercice 4/ 1,5 pt

f est continue sur [-2, 5], f(-2) = -4 et f(5) = 3. Quelle est la conclusion du TVI ?

Coche la bonne réponse.

A. Il existe exactement une valeur c telle que f(c) = 0
B. On ne peut pas conclure sans plus d'informations
C. Il n'existe pas de valeur c telle que f(c) = 0
D. Il existe au moins une valeur c \in ]-2 ; 5[ telle que f(c) = 0

Exercice 5/ 1,5 pt

f est continue sur [1, 10], f(1) = 0 et f(10) = 11. Le TVI garantit-il que f prend la valeur k = 8 sur cet intervalle ?

Coche la bonne réponse.

A. Il n'existe pas forcément de c tel que f(c) = 8
B. f atteint k = 8 uniquement en c = 8
C. Il existe c \in [1, 10] tel que f(c) = 8 (car f(1) < 8 < f(10))
D. Il faut que f soit dérivable pour conclure

Exercice 6/ 1,5 pt

f est continue sur [1, 4] avec f(1) = 5 et f(4) = 19. Peut-on affirmer qu'il existe c \in [1, 4] tel que f(c) = 13 ?

Coche la bonne réponse.

A. Oui : f est continue sur [1, 4] et f(1) = 5 < 13 < 19 = f(4)
B. Non : le TVI ne s'applique que pour k = 0
C. Oui, mais seulement si f est croissante
D. Non : il faudrait que k > f(4)

Exercice 7/ 2 pts

On pose f(x) = x^3 + x - 1 : l'équation devient f(x) = 0. f est un polynôme, donc continue.

a) Calcule f(0).
Réponse :
b) Calcule f(1).
Réponse :
c) Que peut-on conclure ?
- A. f est continue et f(0) \cdot f(1) < 0 : par le TVI, une solution existe dans ]0, 1[
- B. L'équation n'a pas de solution sur [0, 1]
- C. Il faut résoudre par factorisation pour conclure
- D. L'équation a exactement deux solutions sur [0, 1]

Exercice 8/ 2 pts

f est continue sur [a, b] avec f(a) \cdot f(b) < 0 (donc au moins un zéro). Classe chaque hypothèse supplémentaire : garantit-elle que le zéro est UNIQUE ?

Classe chaque élément dans la bonne colonne.

f strictement décroissante sur [a, b]f(a) < 0 < f(b)f strictement monotone sur [a, b]f dérivable sur [a, b]

Garantit l'unicité du zéro	Ne garantit pas l'unicité

Exercice 9/ 2 pts

On veut savoir si f(x) = \dfrac{1}{x} s'annule sur [-1, 1]. On commence par évaluer f aux bornes.

a) Calcule f(-1).
Réponse :
b) Calcule f(1).
Réponse :
c) Les signes sont opposés. Que conclure sur l'application du TVI ?
- A. Le TVI ne s'applique pas : f n'est pas continue en 0 \in [-1, 1]
- B. Le TVI s'applique : il existe un zéro car les signes sont opposés
- C. f est continue donc le TVI garantit un zéro
- D. f n'est pas dérivable, donc on ne peut rien dire sur les zéros

Exercice 10/ 2 pts

On pose g(x) = f(x) - x : un point fixe de f est un zéro de g. g est continue (différence de fonctions continues).

a) Calcule g(0) = f(0) - 0 sachant f(0) = 0{,}7.
Réponse :
b) Calcule g(1) = f(1) - 1 sachant f(1) = 0{,}3.
Réponse :
c) g(0) \geq 0 et g(1) \leq 0 : que conclure ?
- A. Par le TVI appliqué à g, il existe c tel que g(c) = 0, i.e. f(c) = c
- B. Le TVI ne s'applique pas aux points fixes
- C. Il faut que f soit croissante pour conclure
- D. On ne peut conclure que numériquement, par dichotomie

Exercice 11/ 2 pts

f(1{,}41) < 0 et f(1{,}42) > 0. On teste le milieu de l'intervalle.

a) Calcule le milieu de [1{,}41 ; 1{,}42].
Réponse :
b) On trouve f(\text{milieu}) > 0. Quel demi-intervalle garde-t-on ?
- A. [1{,}41 ; 1{,}415]
- B. [1{,}415 ; 1{,}42]
- C. [1{,}41 ; 1{,}42] inchangé

Exercice 12/ 2,5 pts

f continue sur [-3, 3]. Tableau de variations : f croît de f(-3) = -3 jusqu'au maximum f(-1) = 5, puis décroît jusqu'au minimum f(1) = -4, puis croît jusqu'à f(3) = 3. Combien l'équation f(x) = -1 admet-elle de solutions sur [-3, 3] ?

Réponse :

Corrigé et barème — Continuité & TVI (Terminale Spécialité) · Sujet n°1

1. (1 pt) Sur \mathbb{R} tout entier — Toute fonction polynomiale est continue sur \mathbb{R} (elle est même dérivable).
2. (1 pt) Continue sur tout intervalle où g est définie et f est définie — Si g est continue en a et f est continue en g(a), alors f \circ g est continue en a. La composée de fonctions continues est continue.
3. (1 pt) 1) f continue sur [a, b] ; 2) f(a) et f(b) de signes opposés ; alors il existe c \in ]a,b[ tel que f(c) = 0 — TVI : si f est continue sur [a,b] et f(a) \cdot f(b) < 0, alors il existe c \in ]a,b[ tel que f(c) = 0.
4. (1,5 pt) Il existe au moins une valeur c \in ]-2 ; 5[ telle que f(c) = 0 — f(-2) \times f(5) = -12 < 0 et f continue → par le TVI, il existe c \in ]-2;5[ tel que f(c) = 0.
5. (1,5 pt) Il existe c \in [1, 10] tel que f(c) = 8 (car f(1) < 8 < f(10)) — f(1) = 0 \leq 8 \leq 11 = f(10), donc par le TVI (version générale), il existe c \in [1, 10] tel que f(c) = 8.
6. (1,5 pt) Oui : f est continue sur [1, 4] et f(1) = 5 < 13 < 19 = f(4) — Puisque f(1) = 5 < 13 < 19 = f(4) et f est continue, le TVI garantit l'existence de c avec f(c) = 13.
7. (2 pts) a) -1 ; b) 1 ; c) f est continue et f(0) \cdot f(1) < 0 : par le TVI, une solution existe dans ]0, 1[ — f(x) = x^3 + x - 1 est continue (polynôme). f(0) = -1 < 0 et f(1) = 1 > 0. Par le TVI, il existe c \in ]0, 1[ tel que f(c) = 0, i.e. c^3 + c = 1.
8. (2 pts) Garantit l'unicité du zéro : f strictement décroissante sur [a, b], f strictement monotone sur [a, b] — Ne garantit pas l'unicité : f(a) < 0 < f(b), f dérivable sur [a, b] — Seule la stricte monotonie (croissance ou décroissance stricte) rend f injective : f(x) = 0 a alors au plus une solution. La dérivabilité, la continuité ou le changement de signe n'empêchent pas plusieurs zéros.
9. (2 pts) a) -1 ; b) 1 ; c) Le TVI ne s'applique pas : f n'est pas continue en 0 \in [-1, 1] — f(-1) = -1 < 0 et f(1) = 1 > 0, mais f(x) = \dfrac{1}{x} n'est pas définie (donc pas continue) en x = 0 \in [-1, 1] : le TVI ne s'applique pas. De fait, f ne s'annule jamais.
10. (2 pts) a) 0.7 ; b) -0.7 ; c) Par le TVI appliqué à g, il existe c tel que g(c) = 0, i.e. f(c) = c — g(x) = f(x) - x est continue. g(0) = f(0) = 0{,}7 \geq 0 et g(1) = f(1) - 1 = 0{,}3 - 1 \leq 0. Par le TVI, g s'annule : il existe c avec g(c) = 0, i.e. f(c) = c.
11. (2 pts) a) 1.415 ; b) [1{,}41 ; 1{,}415] — Milieu = 1{,}415, f(1{,}415) \approx 0{,}0022 > 0. Comme f(1{,}41) < 0, le zéro \sqrt{2} est dans [1{,}41 ; 1{,}415].
12. (2,5 pts) 3 — Branche 1 (de -3 à 5, croissante) : une solution ssi -3 < -1 < 5 → oui. Branche 2 (de 5 à -4, décroissante) : ssi -4 < -1 < 5 → oui. Branche 3 (de -4 à 3, croissante) : ssi -4 < -1 < 3 → oui. Total : 3 solutions. Aux valeurs k = 5 ou k = -4 (extrema), on compterait la tangence une seule fois.

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