📝 Évaluation Probabilités (Terminale Spécialité) avec corrigé

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Sujets A et B ci-dessous : exercices différents, même notion et même barème — un sujet par rangée pour limiter la copie.

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Numi, la mascotteÉvaluation · Terminale Spécialité
Nom : Classe : Date :

📝 Probabilités — sujet A

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.

Exercice 1/ 1 pt

Soit X une variable aléatoire constante égale à 14. Que vaut l'espérance E(X) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. 0
  • B. 7
  • C. 1
  • D. 14

Exercice 2/ 1 pt

P(A) = 1/2, P(B) = 1/10, P(A \cap B) = 1/10. Calcule P(A \cup B).

Coche la bonne réponse.

  • A. 1/20
  • B. 3/5
  • C. 2/2
  • D. 1/2

Exercice 3/ 1 pt

X \sim B(17,\, 2/5). Calcule E(X).

Coche la bonne réponse.

  • A. 51/5
  • B. 68/5
  • C. 39/5
  • D. 34/5

Exercice 4/ 1,5 pt

X \sim \mathcal{B}\!\left(12,\, \dfrac{1}{4}\right). Calculer E(X).

Réponse :

Exercice 5/ 1,5 pt

X \sim \mathcal{B}\!\left(100, \dfrac{1}{4}\right). Calculer E(X).

Coche la bonne réponse.

  • A. 100
  • B. 25
  • C. 26
  • D. 1/4

Exercice 6/ 1,5 pt

On répète 10 fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès p=\dfrac{3}{4}. Quels sont les paramètres de la loi de la variable X (nombre de succès) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. n=10, p=3/4
  • B. n=11, p=3/4
  • C. n=20, p=3/4
  • D. n=10, p=1/4

Exercice 7/ 2 pts

(X_i) est une suite de variables aléatoires i.i.d. d'espérance \mu = 9. Vers quelle valeur converge M_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i quand n\to+\infty ?

Réponse :

Exercice 8/ 2 pts

X \sim \mathcal{B}\!\left(40, \dfrac{1}{5}\right). Calcule V(X) (fraction irréductible ou entier).

Réponse :

Exercice 9/ 2 pts

Pour X\sim \mathcal{B}(36,\,0{,}5), calcule l'écart-type \sigma(X) (arrondi à 10^{-3}).

Réponse :

Exercice 10/ 2 pts

X et Y sont indépendantes, V(X) = 16, V(Y) = 16, avec a = 2 et b = 3.

  1. a) Quelle formule donne V(2X + 3Y) ?
    • A. V(2X+3Y) = 2^2 V(X) + 3^2 V(Y)
    • B. V(2X+3Y) = 2\,V(X) + 3\,V(Y)
    • C. V(2X+3Y) = (2+3)^2\,(V(X)+V(Y))
    • D. V(2X+3Y) = 2^2 V(X) + 3^2 V(Y) + 223\,V(X)V(Y)
  2. b) Calcule le premier terme V(2X) à partir de V(X).

    Réponse :

  3. c) On considère maintenant 2X - 3Y (une différence). Que vaut sa variance ?
    • A. 208 (identique : la variance d'une différence additionne aussi les variances)
    • B. -80 (on soustrait les variances)
    • C. On ne peut pas conclure : la formule ne vaut que pour une somme

Exercice 11/ 2 pts

Une épreuve de Bernoulli a une probabilité de succès p=1/2. On la répète 2 fois de façon indépendante. Calcule la probabilité d'obtenir 2 succès (fraction irréductible).

Réponse :

Exercice 12/ 2,5 pts

On répète n = 8 fois une épreuve de Bernoulli (succès / échec) et on représente les résultats par un arbre. Combien de chemins de l'arbre comportent exactement 2 succès, sachant que ni la première ni la dernière épreuve n'est un succès ?

Réponse :

Évaluation générée par numimaths.fr — conforme au programme officiel. Le corrigé et le barème sont page suivante.

Corrigé et barème — Probabilités — sujet A (Terminale Spécialité) · Sujet n°1

  1. 1. (1 pt) 14 — L'espérance d'une constante est cette constante elle-même. E(14) = 14.
  2. 2. (1 pt) 1/2 — P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 1/2 + 1/10 - 1/10 = 1/2.
  3. 3. (1 pt) 34/5 — E(X) = np = 17 \times 2/5 = 34/5.
  4. 4. (1,5 pt) 3 — E(X) = np = 12 \times \frac{1}{4} = 3.
  5. 5. (1,5 pt) 25 — E(X) = np = 100 \times \dfrac{1}{4} = 25.
  6. 6. (1,5 pt) n=10, p=3/4 — X \sim \mathcal{B}(10, 3/4) : n répétitions indépendantes, probabilité p de succès.
  7. 7. (2 pts) 9 — Loi des grands nombres : la moyenne empirique M_n converge vers l'espérance théorique, ici \mu = 9.
  8. 8. (2 pts) 32/5 — V(X) = np(1-p) = 40 \cdot \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{4}{5} = 32/5.
  9. 9. (2 pts) 3 — \sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{36\times0{,}5\times0{,}5}\approx 3.
  10. 10. (2 pts) a) V(2X+3Y) = 2^2 V(X) + 3^2 V(Y) ; b) 64 ; c) 208 (identique : la variance d'une différence additionne aussi les variances) — Pour des variables indépendantes, V(aX+bY) = a^2 V(X) + b^2 V(Y) = 2^2\times16 + 3^2\times16 = 64 + 144 = 208. Comme V(-Y) = V(Y), la variance d'une différence additionne aussi : V(2X - 3Y) = 208.
  11. 11. (2 pts) 1/4 — Par indépendance : P(S\cap S) = p \times p = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}.
  12. 12. (2,5 pts) 15 — Les deux positions extrêmes (1ʳᵉ et dernière) sont imposées à « échec ». Il reste à placer les 2 succès parmi les n-2 = 6 positions intérieures : il y a \binom{6}{2} = 15 façons de le faire, donc 15 chemins.
Pour retravailler les erreurs : ce chapitre se rejoue en ligne sur numimaths.fr, avec correction instantanée et difficulté adaptée.
Numi, la mascotteÉvaluation · Terminale Spécialité
Nom : Classe : Date :

📝 Probabilités — sujet B

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°2.

Exercice 1/ 1 pt

Soit X une variable aléatoire constante égale à 7. Que vaut l'espérance E(X) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. 0
  • B. 3,5
  • C. 1
  • D. 7

Exercice 2/ 1 pt

X \sim B(11,\, 2/5). Calcule E(X).

Coche la bonne réponse.

  • A. 22/5
  • B. 44/5
  • C. 27/5
  • D. 33/5

Exercice 3/ 1 pt

X \sim B(4,\, 1/2). Calcule V(X).

Coche la bonne réponse.

  • A. 3
  • B. 2
  • C. 0
  • D. 1

Exercice 4/ 1,5 pt

On répète 10 fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès p=\dfrac{3}{4}. Quels sont les paramètres de la loi de la variable X (nombre de succès) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. n=10, p=1/4
  • B. n=20, p=3/4
  • C. n=11, p=3/4
  • D. n=10, p=3/4

Exercice 5/ 1,5 pt

Soient X et Y deux variables aléatoires telles que E(X) = 14 et E(Y) = 9. Calcule E(X - Y).

Coche la bonne réponse.

  • A. 23
  • B. 126
  • C. 5
  • D. 6

Exercice 6/ 1,5 pt

Pour X\sim \mathcal{B}(30,\,0{,}3), donne l'entier autour duquel la loi est la plus concentrée (la valeur la plus probable).

Réponse :

Exercice 7/ 2 pts

X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes avec V(X) = 2 et V(Y) = 5. Calcule V(X+Y).

Réponse :

Exercice 8/ 2 pts

X \sim \mathcal{B}\!\left(100, \dfrac{2}{5}\right). Calcule V(X) (fraction irréductible ou entier).

Réponse :

Exercice 9/ 2 pts

On répète n = 100 fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 3/10. Vers quelle valeur converge la fréquence des succès ? (fraction)

Réponse :

Exercice 10/ 2 pts

M_n = fréquence de succès sur n répétitions, V(M_n)=\dfrac{p(1-p)}{n}, avec p = 0{,}5, \varepsilon = 0{,}1 et \alpha = 0{,}05.

  1. a) Par Bienaymé-Tchebychev, à quelle condition sur n a-t-on P(|M_n-0{,}5|\geq\varepsilon)\leq\alpha ?
    • A. n \geq \dfrac{p(1-p)}{\alpha\,\varepsilon^2}
    • B. n \geq \dfrac{p(1-p)}{\alpha\,\varepsilon}
    • C. n \geq \dfrac{\alpha\,\varepsilon^2}{p(1-p)}
    • D. n \geq p(1-p)\,\alpha\,\varepsilon^2
  2. b) Calcule p(1-p) pour cette valeur de p (fraction ou décimal).

    Réponse :

  3. c) Calcule la borne \dfrac{p(1-p)}{\alpha\,\varepsilon^2} à partir des données.

    Réponse :

  4. d) Donne le plus petit entier n supérieur ou égal à cette borne.

    Réponse :

Exercice 11/ 2 pts

Loi conjointe (en huitièmes) : P(X{=}0,Y{=}0)=1/8, P(X{=}0,Y{=}1)=3/8, P(X{=}1,Y{=}0)=2/8, P(X{=}1,Y{=}1)=2/8. La marginale d'une variable s'obtient en sommant la loi conjointe sur l'autre variable.

  1. a) Calcule P(X{=}0) (somme de la première ligne du tableau, fraction irréductible).

    Réponse :

  2. b) Comment décide-t-on si X et Y sont indépendantes ?
    • A. en vérifiant P(X{=}i,Y{=}j) = P(X{=}i)\,P(Y{=}j) pour chaque case
    • B. en vérifiant que la somme de toutes les probabilités vaut 1
    • C. en vérifiant que P(X{=}0) = P(Y{=}0)
    • D. en vérifiant que les quatre cases sont égales
  3. c) Calcule le produit P(X{=}0)\times P(Y{=}0) (fraction irréductible).

    Réponse :

  4. d) On compare ce produit à la probabilité conjointe P(X{=}0,Y{=}0)=1/8. Que peut-on conclure ?
    • A. le produit diffère de la conjointe : X et Y ne sont pas indépendantes
    • B. X et Y sont indépendantes malgré cet écart
    • C. on ne peut pas conclure avec une seule case

Exercice 12/ 2,5 pts

Les deux épreuves sont indépendantes : p_1 = 0,4, p_2 = 0,3.

  1. a) Quelle est la façon correcte de calculer P(A) = « au moins un succès » ?
    • A. P(A) = 1 - P(\text{aucun succès})
    • B. P(A) = p_1 + p_2
    • C. P(A) = p_1 \times p_2
    • D. P(A) = 1 - (p_1 + p_2)
  2. b) Calcule la probabilité de n'obtenir aucun succès sur les deux épreuves.

    Réponse :

  3. c) On calcule P(A) = 1 - P(\text{aucun}). Un camarade répond directement P(A) = 0,7 (il a fait p_1 + p_2). Que penser ?
    • A. C'est faux : P(A) = 0,58 ; additionner p_1+p_2 compte deux fois le cas « deux succès »
    • B. C'est juste : P(A) = 0,7
    • C. On ne peut pas trancher sans connaître la loi conjointe exacte
Évaluation générée par numimaths.fr — conforme au programme officiel. Le corrigé et le barème sont page suivante.

Corrigé et barème — Probabilités — sujet B (Terminale Spécialité) · Sujet n°2

  1. 1. (1 pt) 7 — L'espérance d'une constante est cette constante elle-même. E(7) = 7.
  2. 2. (1 pt) 22/5 — E(X) = np = 11 \times 2/5 = 22/5.
  3. 3. (1 pt) 1 — V(X) = np(1-p) = 4 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 1.
  4. 4. (1,5 pt) n=10, p=3/4 — X \sim \mathcal{B}(10, 3/4) : n répétitions indépendantes, probabilité p de succès.
  5. 5. (1,5 pt) 5 — Par linéarité de l'espérance, E(X - Y) = E(X) - E(Y) = 14 - 9 = 5.
  6. 6. (1,5 pt) 9 — Le centre de la loi binomiale est proche de np=30\times0{,}3=9.
  7. 7. (2 pts) 7 — Si X et Y indépendantes : V(X+Y) = V(X)+V(Y) = 2+5 = 7.
  8. 8. (2 pts) 24 — V(X) = np(1-p) = 100 \cdot \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{5} = 24.
  9. 9. (2 pts) 3/10 — La loi des grands nombres garantit que la fréquence converge vers p = 3/10.
  10. 10. (2 pts) a) n \geq \dfrac{p(1-p)}{\alpha\,\varepsilon^2} ; b) 1/4 ; c) 500 ; d) 500 — \dfrac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}\leq\alpha \Leftrightarrow n\geq\dfrac{p(1-p)}{\alpha\varepsilon^2}=500, donc n\geq 500.
  11. 11. (2 pts) a) 1/2 ; b) en vérifiant P(X{=}i,Y{=}j) = P(X{=}i)\,P(Y{=}j) pour chaque case ; c) 3/16 ; d) le produit diffère de la conjointe : X et Y ne sont pas indépendantes — Marginales : P(X{=}0)=1/2, P(Y{=}0)=3/8, donc P(X{=}0)P(Y{=}0)=3/16. Or P(X{=}0,Y{=}0)=1/8 : le produit diffère de la loi conjointe, donc X et Y ne sont pas indépendantes.
  12. 12. (2,5 pts) a) P(A) = 1 - P(\text{aucun succès}) ; b) 0,42 ; c) C'est faux : P(A) = 0,58 ; additionner p_1+p_2 compte deux fois le cas « deux succès » — « Au moins un » se traite par l'événement contraire : P(\text{aucun}) = (1-p_1)(1-p_2) = 0,42, d'où P(A) = 1 - 0,42 = 0,58. Additionner p_1 + p_2 = 0,7 est faux car cela recompte le cas des deux succès.
Pour retravailler les erreurs : ce chapitre se rejoue en ligne sur numimaths.fr, avec correction instantanée et difficulté adaptée.

Une évaluation Probabilités Terminale Spécialité toujours nouvelle

Ce contrôle est généré par le moteur Numi : chaque « Nouveau sujet » produit des exercices inédits de Probabilités (Terminale Spécialité, Spé Maths), gradués du plus simple au plus exigeant, strictement conformes au programme officiel de l'Éducation nationale. Le barème sur 20 suit la difficulté des exercices ; le corrigé occupe la deuxième page.

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