🎲 Exercices à imprimer — Probabilités (Terminale Spécialité)

Exercice 1★☆☆☆☆

P(A) = 9/10. Calcule P(\bar{A}).

Coche la bonne réponse.

• A. 9/10
• B. 1/2
• C. 1/10
• D. 9/5

Exercice 2★☆☆☆☆

X \sim B(19,\, 1/3). Calcule E(X).

Coche la bonne réponse.

• A. 22/3
• B. 38/3
• C. 19/3
• D. 20/3

Exercice 3★☆☆☆☆

X \sim B(10,\, 1/2). Calcule V(X).

Coche la bonne réponse.

• A. 7/2
• B. 5/2
• C. 5
• D. 6/2

Exercice 4★★☆☆☆

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p = \dfrac{1}{4}. Quelle est la variance de X ?

Coche la bonne réponse.

• A. 3/16
• B. 4/16
• C. 1/4
• D. 3/4

Exercice 5★★☆☆☆

Pour X\sim \mathcal{B}(30,\,0{,}3), donne l'entier autour duquel la loi est la plus concentrée (la valeur la plus probable).

Réponse :

Exercice 6★★☆☆☆

E(X) = 4 et E(Y) = 6. Calculer E(X+Y).

Coche la bonne réponse.

• A. 11
• B. 10
• C. -2
• D. 24

Exercice 7★★★☆☆

X \sim \mathcal{B}\!\left(20, \dfrac{1}{4}\right). Calcule V(X) (fraction irréductible ou entier).

Réponse :

Exercice 8★★★☆☆

On répète n = 10000 fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 3/10. Vers quelle valeur converge la fréquence des succès ? (fraction)

Réponse :

Exercice 9★★★☆☆

Pour X\sim \mathcal{B}(49,\,0{,}2), calcule l'écart-type \sigma(X) (arrondi à 10^{-3}).

Réponse :

Exercice 10★★★★☆

Inégalité de concentration : pour la moyenne M_n d'un échantillon de n variables indépendantes de même loi et de variance V, P\left(\left|M_n - \mu\right| \geqslant \delta\right) \leqslant \dfrac{V}{n\delta^2}.

1. a) Quelle est la variance d'une variable de Bernoulli de paramètre p = 0{,}5 ?
   • A. 0{,}5
   • B. 0{,}25
   • C. 0{,}75
   • D. 1
2. b) Quelle condition sur n traduit l'exigence demandée ?
   • A. \dfrac{V}{n\delta^2} \leqslant \text{seuil}
   • B. \dfrac{Vn}{\delta^2} \leqslant \text{seuil}
   • C. \dfrac{V}{\delta^2} \leqslant \text{seuil}
   • D. \dfrac{V}{n\delta} \leqslant \text{seuil}
3. c) Donne le plus petit entier n qui convient.

   Réponse :

4. d) Quelle est la nature de la garantie obtenue ?
   • A. Une certitude : l'écart ne peut plus dépasser le seuil
   • B. Une garantie que la fréquence finit par valoir exactement p
   • C. Une valeur exacte de la probabilité que l'écart dépasse le seuil
   • D. Une majoration de la PROBABILITÉ que l'écart dépasse le seuil fixé

Exercice 11★★★★☆

P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0). Avec q = 1 - \frac{2}{10} = \frac{8}{10}.

1. a) P(X = 0) = q^n = \left(\frac{8}{10}\right)^n. Pour que P(X \geq 1) \geq 0{,}95, il faut P(X=0) \leq
   • A. 0{,}95
   • B. 0{,}05
   • C. 0{,}1
   • D. 0{,}5
2. b) q^n \leq 0{,}05 est équivalent à (en prenant \ln) :
   • A. n \geq \ln(0{,}05) \times q
   • B. n \leq \dfrac{\ln(0{,}05)}{\ln\left(\frac{8}{10}\right)}
   • C. n \geq \dfrac{\ln(0{,}05)}{\ln\left(\frac{8}{10}\right)}
   • D. n \geq \dfrac{0{,}05}{q}
3. c) Quel est le plus petit entier n satisfaisant la condition ?
   • A. 16
   • B. 15
   • C. 14
   • D. 13

🏆 Défi★★★★★

Les deux épreuves sont indépendantes : p_1 = 0,6, p_2 = 0,4.

1. a) Quelle est la façon correcte de calculer P(A) = « au moins un succès » ?
   • A. P(A) = 1 - P(\text{aucun succès})
   • B. P(A) = p_1 \times p_2
   • C. P(A) = 1 - (p_1 + p_2)
   • D. P(A) = p_1 + p_2
2. b) Calcule la probabilité de n'obtenir aucun succès sur les deux épreuves.

   Réponse :

3. c) On calcule P(A) = 1 - P(\text{aucun}). Un camarade répond directement P(A) = 1 (il a fait p_1 + p_2). Que penser ?
   • A. C'est juste : P(A) = 1
   • B. C'est faux : P(A) = 0,76 ; additionner p_1+p_2 compte deux fois le cas « deux succès »
   • C. On ne peut pas trancher sans connaître la loi conjointe exacte