🎲 Exercices à imprimer — Probabilités (Terminale Spécialité)

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🎲 Probabilités

Exercice 1★☆☆☆☆

Tableau de loi : P(X=0)=1/4, P(X=1)=1/2, P(X=2)=1/8, P(X=3)=1/8. Quelle est P(X=1) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. 1/8
  • B. 2/2
  • C. 1/4
  • D. 1/2

Exercice 2★☆☆☆☆

X \sim B(4,\, 1/2). Calcule P(X = 4).

Coche la bonne réponse.

  • A. 1/8
  • B. 1/16
  • C. 2/16
  • D. 5/16

Exercice 3★☆☆☆☆

X \sim B(17,\, 1/2). Calcule E(X).

Coche la bonne réponse.

  • A. 18/2
  • B. 19/2
  • C. 17/2
  • D. 17

Exercice 4★★☆☆☆

A et B indépendants, P(A)=0,4, P(B)=0,5. Calculer P(A∪B).

Coche la bonne réponse.

  • A. 0,3
  • B. 0,2
  • C. 0,9
  • D. 0,7

Exercice 5★★☆☆☆

Pour X\sim \mathcal{B}(40,\,0.2), donne l'entier autour duquel la loi est la plus concentrée (la valeur la plus probable).

Réponse :

Exercice 6★★☆☆☆

On répète 15 fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès p=\dfrac{2}{4}. Quels sont les paramètres de la loi de la variable X (nombre de succès) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. n=30, p=2/4
  • B. n=16, p=2/4
  • C. n=15, p=2/4

Exercice 7★★★☆☆

Dans l'arbre pondéré ci-dessus, P(A)=2/5 et P_A(B)=1/4 (probabilité de B sachant A). Calcule P(A\cap B) (fraction irréductible).

Figure de l'exercice

Réponse :

Exercice 8★★★☆☆

X et Y sont deux variables aléatoires **indépendantes** avec V(X) = 7 et V(Y) = 6. Calcule V(X+Y).

Réponse :

Exercice 9★★★☆☆

X \sim \mathcal{B}\!\left(100, \dfrac{1}{4}\right). Calcule V(X) (fraction irréductible ou entier).

Réponse :

Exercice 10★★★★☆

On dispose de E(X) = 11 et V(X) = 9.

  1. a) Quelle transformation donne la variable centrée-réduite Z ?
    • A. Z = \dfrac{X - E(X)}{\sqrt{V(X)}}
    • B. Z = \dfrac{X - E(X)}{V(X)}
    • C. Z = X - E(X)
    • D. Z = \dfrac{X}{\sqrt{V(X)}}
  2. b) Calcule l'écart-type de X à partir de sa variance.

    Réponse :

  3. c) Que vaut alors la variance V(Z) de la variable centrée-réduite ?
    • A. V(Z) = 1, car diviser par l'écart-type ramène la variance à l'unité
    • B. V(Z) = 9, la variance est inchangée
    • C. V(Z) = 0, comme l'espérance de Z

Exercice 11★★★★☆

Chaque prélèvement est un essai de Bernoulli de succès p = \frac{3}{4}. Les n=10 essais sont indépendants.

  1. a) Quelle est la loi suivie par X ?
    • A. X \sim \mathcal{B}(10, \frac{3}{4})
    • B. X \sim \mathcal{B}(2, \frac{3}{4})
    • C. X \sim \mathcal{U}(\{0,...,10\})
    • D. X \sim \mathcal{B}(10, \frac{4}{3})
  2. b) Calcule \binom{10}{2}.

    Réponse :

  3. c) Calcule E(X).
    • A. E(X) = \frac{15}{2}
    • B. E(X) = 10
    • C. E(X) = \frac{15}{2} \times 10
    • D. E(X) = \frac{15}{8}
  4. d) Calcule V(X).
    • A. V(X) = \frac{15}{8}
    • B. V(X) = \frac{15}{2}
    • C. V(X) = \frac{3}{4}
    • D. V(X) = 10

🏆 Défi★★★★★

On répète n = 7 fois une épreuve de Bernoulli (succès / échec) et on représente les résultats par un arbre. Combien de chemins de l'arbre comportent exactement 2 succès, sachant que ni la première ni la dernière épreuve n'est un succès ?

Réponse :

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Corrigé — Probabilités (Terminale Spécialité) · Feuille n°0

  1. 1. 1/2 — P(X=1) = 1/2 (directement dans le tableau).
  2. 2. 1/16 — P(X=4) = \binom{4}{4} \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = 1 \times \frac{1}{16} = 1/16.
  3. 3. 17/2 — E(X) = np = 17 \times 1/2 = 17/2.
  4. 4. 0,7 — P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) avec P(A∩B)=P(A)P(B). Donc 0,7.
  5. 5. 8 — Le centre de la loi binomiale est proche de np=40\times0.2=8.
  6. 6. n=15, p=2/4 — X \sim \mathcal{B}(15, 2/4) : n répétitions indépendantes, probabilité p de succès.
  7. 7. 1/10 — Le long d'une branche, on multiplie les probabilités : P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=2/5\times1/4=1/10.
  8. 8. 13 — Si X et Y indépendantes : V(X+Y) = V(X)+V(Y) = 7+6 = 13.
  9. 9. 75/4 — V(X) = np(1-p) = 100 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3}{4} = 75/4.
  10. 10. a) Z = \dfrac{X - E(X)}{\sqrt{V(X)}} ; b) 3 ; c) V(Z) = 1, car diviser par l'écart-type ramène la variance à l'unité — On centre puis réduit : Z = \dfrac{X - 11}{\sqrt{9}} = \dfrac{X - 11}{3}. Soustraire E(X) donne E(Z) = 0 (centrage) et diviser par \sigma = 3 donne V(Z) = 1 (réduction).
  11. 11. a) X \sim \mathcal{B}(10, \frac{3}{4}) ; b) 45 ; c) E(X) = \frac{15}{2} ; d) V(X) = \frac{15}{8} — X \sim \mathcal{B}(10, \frac{3}{4}). P(X=2) = 45 \times \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \left(\frac{1}{4}\right)^8 = \frac{405}{1048576}. E(X) = \frac{15}{2}, V(X) = \frac{15}{8}.
  12. 🏆 10 — Les deux positions extrêmes (1ʳᵉ et dernière) sont imposées à « échec ». Il reste à placer les 2 succès parmi les n-2 = 5 positions intérieures : il y a \binom{5}{2} = 10 façons de le faire, donc 10 chemins.
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