🎲 Exercices à imprimer — Probabilités (Terminale Spécialité)

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🎲 Probabilités

Exercice 1★☆☆☆☆

Tableau de loi : P(X=0)=1/4, P(X=1)=1/2, P(X=2)=1/8, P(X=3)=1/8. Quelle est P(X=1) ?

Coche la bonne réponse.

A. 1/8
B. 1/4
C. 1/2
D. 2/2

Exercice 2★☆☆☆☆

X \sim B(4,\, 1/2). Calcule P(X = 4).

Coche la bonne réponse.

A. 2/16
B. 1/8
C. 5/16
D. 1/16

Exercice 3★☆☆☆☆

X \sim B(16,\, 1/4). Calcule E(X).

Coche la bonne réponse.

A. 5
B. 8
C. 12
D. 4

Exercice 4★★☆☆☆

Soient X et Y deux variables aléatoires telles que E(X) = 18 et E(Y) = 7. Calcule E(X - Y).

Coche la bonne réponse.

A. 25
B. 12
C. 126
D. 11

Exercice 5★★☆☆☆

E(X) = 4 et E(Y) = 6. Calculer E(X+Y).

Coche la bonne réponse.

A. 11
B. 10
C. -2
D. 24

Exercice 6★★☆☆☆

X \sim \mathcal{B}\!\left(50, \dfrac{1}{4}\right). Calculer E(X).

Coche la bonne réponse.

A. 50
B. 1/4
C. 13
D. 25/2

Exercice 7★★★☆☆

Dans l'arbre pondéré ci-dessus, P(A)=3/4 et P_A(B)=3/5 (probabilité de B sachant A). Calcule P(A\cap B) (fraction irréductible).

Réponse :

Exercice 8★★★☆☆

X \sim \mathcal{B}\!\left(40, \dfrac{1}{4}\right). Calcule V(X) (fraction irréductible ou entier).

Réponse :

Exercice 9★★★☆☆

(X_i) est une suite de variables aléatoires i.i.d. d'espérance \mu = 3. Vers quelle valeur converge M_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i quand n\to+\infty ?

Réponse :

Exercice 10★★★★☆

N = 25 lancers indépendants, 10 succès observés. La probabilité p est inconnue.

a) Par quoi estime-t-on au mieux la probabilité inconnue p ?
- A. par la fréquence observée des succès (nombre de succès divisé par le nombre d'essais)
- B. par 0{,}5, car une pièce a par nature deux faces
- C. par le nombre de succès observés
- D. on ne peut rien estimer sans connaître p à l'avance
b) Calcule cette fréquence de succès (valeur décimale).
Réponse :
c) Avec seulement N = 5 lancers, cette estimation de p serait-elle aussi fiable ?
- A. Non : plus N est grand, plus la fréquence se concentre autour de p (loi des grands nombres)
- B. Oui : la fréquence donne toujours exactement p
- C. Non : avec peu de lancers on obtient forcément une fréquence plus grande

Exercice 11★★★★☆

V(M_n) = \dfrac{p(1-p)}{n} avec p(1-p) = \dfrac{1}{4}, \varepsilon = 0,1, \alpha = 0,01.

a) Par Bienaymé-Tchebychev, quelle condition sur n garantit la majoration voulue ?
- A. n \geq \dfrac{p(1-p)}{\alpha\,\varepsilon^2}
- B. n \geq \dfrac{p(1-p)}{\alpha\,\varepsilon}
- C. n \geq \dfrac{p(1-p)\,\varepsilon^2}{\alpha}
- D. n \leq \dfrac{p(1-p)}{\alpha\,\varepsilon^2}
b) Calcule la valeur de cette borne (fraction irréductible ou entier).
Réponse :
c) Quel est le plus petit nombre n de répétitions qui convient ?
- A. 2500
- B. 2499
- C. n'importe quel n convient, la borne étant une majoration

🏆 Défi★★★★★

Deux événements A et B vérifient P(A)=\dfrac{1}{6}, P(B)=\dfrac{1}{3} et P(A\cap B)=0. Que peut-on affirmer ?

Coche la bonne réponse.

A. A et B sont indépendants (mais pas incompatibles)
B. A et B sont à la fois indépendants et incompatibles
C. A et B ne sont ni indépendants ni incompatibles
D. A et B sont incompatibles (mais pas indépendants)

Corrigé — Probabilités (Terminale Spécialité) · Feuille n°0

1. 1/2 — P(X=1) = 1/2 (directement dans le tableau).
2. 1/16 — P(X=4) = \binom{4}{4} \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = 1 \times \frac{1}{16} = 1/16.
3. 4 — E(X) = np = 16 \times 1/4 = 4.
4. 11 — Par linéarité de l'espérance, E(X - Y) = E(X) - E(Y) = 18 - 7 = 11.
5. 10 — Par linéarité : E(X+Y) = E(X)+E(Y) = 4+6 = 10.
6. 25/2 — E(X) = np = 50 \times \dfrac{1}{4} = 25/2.
7. 9/20 — Le long d'une branche, on multiplie les probabilités : P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=3/4\times3/5=9/20.
8. 15/2 — V(X) = np(1-p) = 40 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3}{4} = 15/2.
9. 3 — Loi des grands nombres : la moyenne empirique M_n converge vers l'espérance théorique, ici \mu = 3.
10. a) par la fréquence observée des succès (nombre de succès divisé par le nombre d'essais) ; b) 0,4 ; c) Non : plus N est grand, plus la fréquence se concentre autour de p (loi des grands nombres) — La loi des grands nombres justifie d'estimer p par la fréquence observée : \hat{p} = \dfrac{10}{25} = 0,4. Cette estimation est d'autant plus fiable que N est grand (concentration de la fréquence autour de p).
11. a) n \geq \dfrac{p(1-p)}{\alpha\,\varepsilon^2} ; b) 2500 ; c) 2500 — La condition \dfrac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \leq \alpha équivaut à n \geq \dfrac{p(1-p)}{\alpha\varepsilon^2} = 2500, donc le plus petit entier convenable est n = 2500.
🏆 A et B sont incompatibles (mais pas indépendants) — Indépendants \iff P(A\cap B)=P(A)P(B)=\dfrac{1}{18} ; incompatibles \iff P(A\cap B)=0. Ici P(A\cap B)=0 : il est nul (incompatibilité) mais P(A)P(B)\neq 0, donc pas indépendant. Deux événements de probabilités non nulles ne peuvent jamais être les deux à la fois.

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