📝 Évaluation Probabilités (Terminale Spécialité) avec corrigé
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NumiÉvaluation · Terminale Spécialité📝 Probabilités
Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.
Exercice 1/ 1 pt
Soit X une variable aléatoire constante égale à 14. Que vaut l'espérance E(X) ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 2/ 1 pt
P(A) = 1/2, P(B) = 1/10, P(A \cap B) = 1/10. Calcule P(A \cup B).
Coche la bonne réponse.
Exercice 3/ 1 pt
X \sim B(17,\, 2/5). Calcule E(X).
Coche la bonne réponse.
Exercice 4/ 1,5 pt
X \sim \mathcal{B}\!\left(12,\, \dfrac{1}{4}\right). Calculer E(X).
Réponse :
Exercice 5/ 1,5 pt
X \sim \mathcal{B}\!\left(100, \dfrac{1}{4}\right). Calculer E(X).
Coche la bonne réponse.
Exercice 6/ 1,5 pt
On répète 10 fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès p=\dfrac{3}{4}. Quels sont les paramètres de la loi de la variable X (nombre de succès) ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 7/ 2 pts
(X_i) est une suite de variables aléatoires i.i.d. d'espérance \mu = 9. Vers quelle valeur converge M_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i quand n\to+\infty ?
Réponse :
Exercice 8/ 2 pts
X \sim \mathcal{B}\!\left(40, \dfrac{1}{5}\right). Calcule V(X) (fraction irréductible ou entier).
Réponse :
Exercice 9/ 2 pts
Pour X\sim \mathcal{B}(36,\,0{,}5), calcule l'écart-type \sigma(X) (arrondi à 10^{-3}).
Réponse :
Exercice 10/ 2 pts
X et Y sont indépendantes, V(X) = 16, V(Y) = 16, avec a = 2 et b = 3.
- a) Quelle formule donne V(2X + 3Y) ?
- b) Calcule le premier terme V(2X) à partir de V(X).
Réponse :
- c) On considère maintenant 2X - 3Y (une différence). Que vaut sa variance ?
Exercice 11/ 2 pts
Une épreuve de Bernoulli a une probabilité de succès p=1/2. On la répète 2 fois de façon indépendante. Calcule la probabilité d'obtenir 2 succès (fraction irréductible).
Réponse :
Exercice 12/ 2,5 pts
On répète n = 8 fois une épreuve de Bernoulli (succès / échec) et on représente les résultats par un arbre. Combien de chemins de l'arbre comportent exactement 2 succès, sachant que ni la première ni la dernière épreuve n'est un succès ?
Réponse :
Corrigé et barème — Probabilités (Terminale Spécialité) · Sujet n°1
- 1. (1 pt) 14 — L'espérance d'une constante est cette constante elle-même. E(14) = 14.
- 2. (1 pt) 1/2 — P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 1/2 + 1/10 - 1/10 = 1/2.
- 3. (1 pt) 34/5 — E(X) = np = 17 \times 2/5 = 34/5.
- 4. (1,5 pt) 3 — E(X) = np = 12 \times \frac{1}{4} = 3.
- 5. (1,5 pt) 25 — E(X) = np = 100 \times \dfrac{1}{4} = 25.
- 6. (1,5 pt) n=10, p=3/4 — X \sim \mathcal{B}(10, 3/4) : n répétitions indépendantes, probabilité p de succès.
- 7. (2 pts) 9 — Loi des grands nombres : la moyenne empirique M_n converge vers l'espérance théorique, ici \mu = 9.
- 8. (2 pts) 32/5 — V(X) = np(1-p) = 40 \cdot \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{4}{5} = 32/5.
- 9. (2 pts) 3 — \sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{36\times0{,}5\times0{,}5}\approx 3.
- 10. (2 pts) a) V(2X+3Y) = 2^2 V(X) + 3^2 V(Y) ; b) 64 ; c) 208 (identique : la variance d'une différence additionne aussi les variances) — Pour des variables indépendantes, V(aX+bY) = a^2 V(X) + b^2 V(Y) = 2^2\times16 + 3^2\times16 = 64 + 144 = 208. Comme V(-Y) = V(Y), la variance d'une différence additionne aussi : V(2X - 3Y) = 208.
- 11. (2 pts) 1/4 — Par indépendance : P(S\cap S) = p \times p = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}.
- 12. (2,5 pts) 15 — Les deux positions extrêmes (1ʳᵉ et dernière) sont imposées à « échec ». Il reste à placer les 2 succès parmi les n-2 = 6 positions intérieures : il y a \binom{6}{2} = 15 façons de le faire, donc 15 chemins.
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