📝 Évaluation Intégration (Terminale Spécialité) avec corrigé

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Nom : Classe : Date :

📝 Intégration — sujet A

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.

Exercice 1/ 1 pt

Donner une primitive de f(x) = \sin(x).

Coche la bonne réponse.

  • A. \tan(x)+C
  • B. -\cos(x)+C
  • C. -\sin(x)+C
  • D. \cos(x)+C

Exercice 2/ 1 pt

Quelle est une primitive de f(x) = 3 ?

Coche la bonne réponse.

  • A. 3x
  • B. \frac{3}2x^2
  • C. 6x
  • D. 3x^2

Exercice 3/ 1 pt

Quelle est une primitive de f(x) = -3x^{3} ?

Coche la bonne réponse.

  • A. 3x^{2}
  • B. \dfrac{-3}{4}x^{4}
  • C. -3x^{3}
  • D. -12x^{4}

Exercice 4/ 1,5 pt

Donner une primitive de f(x)=1/x^2 sur ]0;+∞[.

Coche la bonne réponse.

  • A. 1/x + C
  • B. \ln(x)+C
  • C. -1/x + C
  • D. -1/x^2 + C

Exercice 5/ 1,5 pt

Calcule \int_{2}^{3} x^{3}\,dx.

Coche la bonne réponse.

  • A. 65/4
  • B. 81/4
  • C. 19
  • D. 65/3

Exercice 6/ 1,5 pt

Donner une primitive de f(x) = 4x^{3}.

Coche la bonne réponse.

  • A. x^{4} + C
  • B. \dfrac{4}{3}x^{4} + C
  • C. 4x^{4} + C
  • D. 12x^{2} + C

Exercice 7/ 2 pts

Associe chaque fonction à une primitive.

Relie chaque élément de gauche à celui qui correspond à droite.

  • e^{3x} •
  • 2x\,e^{x^2} •
  • \dfrac{1}{x} sur ]0;+\infty[ •
  • \cos(3x) •
  • • \dfrac{1}{3}\sin(3x)
  • • \ln(x)
  • • e^{x^2}
  • • \dfrac{1}{3}e^{3x}

Exercice 8/ 2 pts

La parabole ci-dessous représente F(x) = x^2 - 2x - 1. Sachant que F est une primitive d'une fonction f, calcule f(1).

Réponse :

Exercice 9/ 2 pts

Calculer \int_{0}^{4} (x + 5)\,dx.

Réponse :

Exercice 10/ 2 pts

Calculer \displaystyle\int_{1}^{3} 2x^1\,dx.

Réponse :

Exercice 11/ 2 pts

On résout y' = 2y + 1 : solution générale = solutions de l'équation homogène y' = 2y + une solution particulière constante y_p.

  1. a) Quelles sont les solutions de l'équation homogène y' = 2y ?
    • A. y = k\,e^{2x}
    • B. y = k\,e^{-2x}
    • C. y = 2x + k
    • D. y = k\,x^{2}
  2. b) Détermine la solution particulière constante y_p (entier ou fraction).

    Réponse :

  3. c) En déduire la solution générale de y' = 2y + 1.
    • A. y = k\,e^{2x} - 1/2
    • B. y = k\,e^{2x}
    • C. y = k\,e^{-2x} - 1/2
    • D. y = -1/2

Exercice 12/ 2,5 pts

Les courbes de f(x) = x^2 et g(x) = 2x se coupent en x = 0 et x = 2 ; elles enferment une région du plan sur [0;2]. On note \mathcal{A} son aire.

  1. a) Quelle intégrale donne l'aire \mathcal{A} de cette région ?
    • A. \displaystyle\int_0^{2} (2x - x^2)\,dx
    • B. \displaystyle\int_0^{2} (x^2 - 2x)\,dx
    • C. \displaystyle\int_0^{2} (x^2 + 2x)\,dx
    • D. \displaystyle\int_0^{2} (2x - x^2)^2\,dx
  2. b) Calcule l'aire \mathcal{A} (entier ou fraction irréductible).

    Réponse :

  3. c) Ce résultat est-il cohérent pour une aire ?
    • A. Oui : l'aire est un nombre strictement positif
    • B. Non : une aire entre deux courbes est toujours négative
    • C. Impossible à dire tant qu'on n'a pas orienté les courbes
    • D. Non : il faudrait diviser par la longueur [0;c] pour avoir une aire
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Corrigé et barème — Intégration — sujet A (Terminale Spécialité) · Sujet n°1

  1. 1. (1 pt) -\cos(x)+C — Primitive de \sin : -\cos+C ; primitive de \cos : \sin+C. Ici F(x) = -\cos(x)+C.
  2. 2. (1 pt) 3x — La primitive d'une constante k est kx (+ C). Donc F(x) = 3x.
  3. 3. (1 pt) \dfrac{-3}{4}x^{4} — Primitive de ax^n : \dfrac{a}{n+1}x^{n+1}. Ici F(x) = \dfrac{-3}{4}x^{4}.
  4. 4. (1,5 pt) -1/x + C — 1/x^2 = x^{-2}, primitive: x^{-1}/(-1) = -1/x + C.
  5. 5. (1,5 pt) 65/4 — F(x)=\dfrac{x^{4}}{4}. F(3)-F(2) = \dfrac{3^{4}}{4} - \dfrac{2^{4}}{4} = 65/4.
  6. 6. (1,5 pt) x^{4} + C — Primitive de x^n : \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C. Ici F(x) = x^{4} + C.
  7. 7. (2 pts) e^{3x} → \dfrac{1}{3}e^{3x} ; 2x\,e^{x^2} → e^{x^2} ; \dfrac{1}{x} sur ]0;+\infty[ → \ln(x) ; \cos(3x) → \dfrac{1}{3}\sin(3x) — Forme u'e^{u} : e^{3x} \to \dfrac{1}{3}e^{3x} et 2x\,e^{x^2} \to e^{x^2}. Primitives usuelles : \dfrac{1}{x} \to \ln(x) et \cos(3x) \to \dfrac{1}{3}\sin(3x).
  8. 8. (2 pts) 0 — F primitive de f signifie f = F'. F'(x) = 2x - 2, donc f(1) = 2 \times 1 - 2 = 0.
  9. 9. (2 pts) 28 — F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 5x. F(4)-F(0) = 28-0 = 28.
  10. 10. (2 pts) 8 — Primitive : F(x) = x^{2}. F(3) - F(1) = 9 - 1 = 8.
  11. 11. (2 pts) a) y = k\,e^{2x} ; b) -1/2 ; c) y = k\,e^{2x} - 1/2 — Solution particulière constante : y_p = -b/a = -1/2. Solution générale : y = k\,e^{2x} + (-1/2).
  12. 12. (2,5 pts) a) \displaystyle\int_0^{2} (2x - x^2)\,dx ; b) 4/3 ; c) Oui : l'aire est un nombre strictement positif — Sur [0;2], 2x \geq x^2, donc \mathcal{A} = \displaystyle\int_0^{2}(2x - x^2)\,dx = \left[\dfrac{2}{2}x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^{2} = \dfrac{8}{2} - \dfrac{8}{3} = 4/3 u.a. (bien positive).
Pour retravailler les erreurs : ce chapitre se rejoue en ligne sur numimaths.fr, avec correction instantanée et difficulté adaptée.
Numi, la mascotteÉvaluation · Terminale Spécialité
Nom : Classe : Date :

📝 Intégration — sujet B

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°2.

Exercice 1/ 1 pt

Calcule \displaystyle\int_0^{5} x\, dx.

Coche la bonne réponse.

  • A. 5
  • B. 6
  • C. 25/2
  • D. 25

Exercice 2/ 1 pt

Quelle est une primitive de f(x) = -4 ?

Coche la bonne réponse.

  • A. \frac{-4}2x^2
  • B. -4x^2
  • C. -4x
  • D. -8x

Exercice 3/ 1 pt

Quelle est une primitive de f(x) = 2 ?

Coche la bonne réponse.

  • A. 4x
  • B. 2x^2
  • C. \frac{2}2x^2
  • D. 2x

Exercice 4/ 1,5 pt

Calculer \displaystyle\int_0^{8} x\,dx.

Réponse :

Exercice 5/ 1,5 pt

Quelle est une primitive de f(x) = -3e^x ?

Coche la bonne réponse.

  • A. -3xe^x
  • B. \dfrac{-3}{x}e^x
  • C. -3e^x
  • D. -2e^x

Exercice 6/ 1,5 pt

Trouver une primitive de f(x) = -12x^2+4x-2.

Coche la bonne réponse.

  • A. -12x^2+4x
  • B. -4x^3
  • C. -4x^3 + 2x^2 - 2x
  • D. -24x+4

Exercice 7/ 2 pts

Associe chaque fonction à une primitive.

Relie chaque élément de gauche à celui qui correspond à droite.

  • e^{2x} •
  • 2x\,e^{x^2} •
  • \dfrac{1}{x} sur ]0;+\infty[ •
  • \cos(2x) •
  • • \dfrac{1}{2}\sin(2x)
  • • \ln(x)
  • • e^{x^2}
  • • \dfrac{1}{2}e^{2x}

Exercice 8/ 2 pts

On calcule \displaystyle\int_0^1 e^{3x}\,dx via une primitive F de e^{3x}, puis F(1) - F(0).

  1. a) Quelle est une primitive F de e^{3x} ?
    • A. F(x) = \dfrac{1}{3}e^{3x}
    • B. F(x) = 3e^{3x}
    • C. F(x) = e^{3x}
    • D. F(x) = e^{3x+1}
  2. b) Calcule F(0) (fraction).

    Réponse :

  3. c) En déduire la valeur exacte de l'intégrale.
    • A. \dfrac{e^{3}-1}{3}
    • B. e^{3}-1
    • C. \dfrac{e^{3}}{3}
    • D. \dfrac{1-e^{3}}{3}

Exercice 9/ 2 pts

Calculer la valeur moyenne de f(x)=5x sur [0;4].

Réponse :

Exercice 10/ 2 pts

On considère f(x) = 3x + 4 sur l'intervalle [0;4] et l'on note I = \displaystyle\int_{0}^{4} f(x)\,dx.

  1. a) Quelle est une primitive F de f(x) = 3x + 4 ?
    • A. F(x) = \dfrac{3x^2}{2} + 4x
    • B. F(x) = 3x^2 + 4x
    • C. F(x) = 3 + 4x
    • D. F(x) = \dfrac{3x^2}{2} + 4
  2. b) Calcule la valeur de l'intégrale I.

    Réponse :

  3. c) Que représente géométriquement la valeur trouvée ?
    • A. L'aire, en u.a., du domaine sous la courbe de f (car f > 0 ici)
    • B. La longueur de la courbe de f entre les deux bornes
    • C. La valeur moyenne de f sur l'intervalle
    • D. Rien de géométrique, car une intégrale est toujours un nombre abstrait

Exercice 11/ 2 pts

Soit f(x) = e^{3x} + 4. La fonction f est solution de l'équation différentielle y' = 3y + c. Déterminer la constante c.

Réponse :

Exercice 12/ 2,5 pts

Problème de Cauchy : on cherche la fonction y vérifiant l'équation différentielle y' = 2y et la condition initiale y(0) = 1.

  1. a) Quelle est la forme des solutions de y' = 2y ?
    • A. y(x) = Ce^{2x}
    • B. y(x) = e^{2x} + C
    • C. y(x) = C + 2x
    • D. y(x) = Ce^{-2x}
  2. b) Utilise la condition initiale pour déterminer la constante C.

    Réponse :

  3. c) Quelle est alors la solution du problème ?
    • A. y(x) = e^{2x}
    • B. y(x) = e^{2x} + 1
    • C. y(x) = 1 + 2x
    • D. y(x) = 2e^{x}
Évaluation générée par numimaths.fr — conforme au programme officiel. Le corrigé et le barème sont page suivante.

Corrigé et barème — Intégration — sujet B (Terminale Spécialité) · Sujet n°2

  1. 1. (1 pt) 25/2 — \displaystyle\int_0^{5} x\, dx = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^{5} = \dfrac{5^2}{2} = 25/2.
  2. 2. (1 pt) -4x — La primitive d'une constante k est kx (+ C). Donc F(x) = -4x.
  3. 3. (1 pt) 2x — La primitive d'une constante k est kx (+ C). Donc F(x) = 2x.
  4. 4. (1,5 pt) 32 — \int_0^{8} x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{8} = \frac{8^2}{2} = 32.
  5. 5. (1,5 pt) -3e^x — La primitive de e^x est e^x elle-même. Donc celle de -3e^x est -3e^x.
  6. 6. (1,5 pt) -4x^3 + 2x^2 - 2x — F(x) = \dfrac{-12}{3}x^3 + \dfrac{4}{2}x^2 - 2x = -4x^3 + 2x^2 - 2x.
  7. 7. (2 pts) e^{2x} → \dfrac{1}{2}e^{2x} ; 2x\,e^{x^2} → e^{x^2} ; \dfrac{1}{x} sur ]0;+\infty[ → \ln(x) ; \cos(2x) → \dfrac{1}{2}\sin(2x) — Forme u'e^{u} : e^{2x} \to \dfrac{1}{2}e^{2x} et 2x\,e^{x^2} \to e^{x^2}. Primitives usuelles : \dfrac{1}{x} \to \ln(x) et \cos(2x) \to \dfrac{1}{2}\sin(2x).
  8. 8. (2 pts) a) F(x) = \dfrac{1}{3}e^{3x} ; b) 1/3 ; c) \dfrac{e^{3}-1}{3} — F(x)=e^{3x}/3. F(1)-F(0)=e^{3}/3-1/3=\dfrac{e^{3}-1}{3}.
  9. 9. (2 pts) 10 — \mu = \dfrac{1}{4}\int_0^{4}5x\,dx = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{5 \times 4^2}{2} = \dfrac{20}{2} = 10.
  10. 10. (2 pts) a) F(x) = \dfrac{3x^2}{2} + 4x ; b) 40 ; c) L'aire, en u.a., du domaine sous la courbe de f (car f > 0 ici) — F(x) = \dfrac{3x^2}{2} + 4x, donc I = F(4) - F(0) = 40. Comme f > 0 sur [0;4], cette valeur est l'aire (en u.a.) sous la courbe de f.
  11. 11. (2 pts) -12 — f'(x) = 3e^{3x} et 3f(x) + c = 3e^{3x} + 12 + c. Pour que f' = 3f + c, il faut 12 + c = 0, donc c = -12.
  12. 12. (2,5 pts) a) y(x) = Ce^{2x} ; b) 1 ; c) y(x) = e^{2x} — Générale : y = Ce^(2x). Condition y(0)=1 → C=1. Particulière : y = e^(2x).
Pour retravailler les erreurs : ce chapitre se rejoue en ligne sur numimaths.fr, avec correction instantanée et difficulté adaptée.

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