🧮 Exercices à imprimer — Intégration (Terminale Spécialité)

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🧮 Intégration

Exercice 1★☆☆☆☆

Donner une primitive de f(x) = \sin(x).

Coche la bonne réponse.

  • A. -\sin(x)+C
  • B. \tan(x)+C
  • C. -\cos(x)+C
  • D. \cos(x)+C

Exercice 2★☆☆☆☆

Donner une primitive de f(x) = \cos(x).

Coche la bonne réponse.

  • A. \sin(x)+C
  • B. \tan(x)+C
  • C. \cos(x)+C
  • D. -\sin(x)+C

Exercice 3★☆☆☆☆

Calcule \int_{1}^{3} 2\,dx.

Réponse :

Exercice 4★★☆☆☆

Primitive de f(x) = \dfrac{1}{x} sur ]0;+\infty[ ?

Coche la bonne réponse.

  • A. -\dfrac{1}{x}+C
  • B. \ln(x) + C
  • C. \dfrac{1}{x^2}+C
  • D. \dfrac{1}{2\sqrt{x}}+C

Exercice 5★★☆☆☆

Calculer \displaystyle\int_0^{10} x\,dx.

Réponse :

Exercice 6★★☆☆☆

Donner une primitive de f(x)=1/x^2 sur ]0;+∞[.

Coche la bonne réponse.

  • A. -1/x^2 + C
  • B. \ln(x)+C
  • C. 1/x + C
  • D. -1/x + C

Exercice 7★★★☆☆

La droite ci-dessous représente f(x) = x + 3. Calcule \displaystyle\int_0^{2} (x + 3)\,dx et vérifie avec l'aire du trapèze sous la droite.

Réponse :

Exercice 8★★★☆☆

On calcule \displaystyle\int_{2}^{4} 4x^{3}\,dx : on cherche une primitive F de 4x^{3}, puis on évalue F(4) - F(2).

  1. a) Quelle est une primitive F de 4x^{3} ?
    • A. F(x) = x^{4}
    • B. F(x) = 4x^{4}
    • C. F(x) = 4x^{2}
    • D. F(x) = \frac{x^{3}}{3}
  2. b) Évalue F(4) - F(2).

    Réponse :

  3. c) Que représente ce nombre pour la fonction intégrée (positive sur l'intervalle) ?
    • A. L'aire, en u.a., sous la courbe entre les deux bornes
    • B. La pente de la courbe entre les deux bornes
    • C. La valeur de la fonction au milieu de l'intervalle
    • D. La longueur de l'arc de courbe

Exercice 9★★★☆☆

On calcule \displaystyle\int_0^1 e^{3x}\,dx via une primitive F de e^{3x}, puis F(1) - F(0).

  1. a) Quelle est une primitive F de e^{3x} ?
    • A. F(x) = \dfrac{1}{3}e^{3x}
    • B. F(x) = 3e^{3x}
    • C. F(x) = e^{3x}
    • D. F(x) = e^{3x+1}
  2. b) Calcule F(0) (fraction).

    Réponse :

  3. c) En déduire la valeur exacte de l'intégrale.
    • A. \dfrac{e^{3}-1}{3}
    • B. e^{3}-1
    • C. \dfrac{e^{3}}{3}
    • D. \dfrac{1-e^{3}}{3}

Exercice 10★★★★☆

Le débit instantané est r(t) = 2t + 3 (en unités/heure). On s'intéresse à la quantité Q produite entre t = 2 h et t = 4 h.

  1. a) Comment obtient-on la quantité Q produite sur cette période ?
    • A. En intégrant le débit r(t) entre les deux instants
    • B. En évaluant le débit r(t) à l'instant final
    • C. En dérivant le débit r(t) entre les deux instants
    • D. En faisant la moyenne des débits aux deux instants
  2. b) Calcule la quantité Q produite entre les deux instants.

    Réponse : unités

  3. c) L'objectif était de produire 23 unités sur la période. Est-il atteint ?
    • A. Non, la production est inférieure à 23 unités
    • B. Oui, la production dépasse 23 unités
    • C. On ne peut pas conclure sans le débit à t = 0
    • D. Oui, car le débit augmente avec le temps

Exercice 11★★★★☆

Soit f(x) = e^{3x} + 3. La fonction f est solution de l'équation différentielle y' = 3y + c. Déterminer la constante c.

Réponse :

🏆 Défi★★★★★

Les courbes de f(x) = x^2 et g(x) = 7x enferment une région du plan. Calcule son aire, en unités d'aire (entier ou fraction irréductible) :

Réponse :

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Corrigé — Intégration (Terminale Spécialité) · Feuille n°0

  1. 1. -\cos(x)+C — Primitive de \sin : -\cos+C ; primitive de \cos : \sin+C. Ici F(x) = -\cos(x)+C.
  2. 2. \sin(x)+C — Primitive de \sin : -\cos+C ; primitive de \cos : \sin+C. Ici F(x) = \sin(x)+C.
  3. 3. 4 — \int_{1}^{3} 2\,dx = [2x]_{1}^{3} = 2 \times 3 - 2 \times 1 = 6 - 2 = 4.
  4. 4. \ln(x) + C — \ln(x) est la primitive de 1/x sur ]0;+\infty[.
  5. 5. 50 — \int_0^{10} x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{10} = \frac{10^2}{2} = 50.
  6. 6. -1/x + C — 1/x^2 = x^{-2}, primitive: x^{-1}/(-1) = -1/x + C.
  7. 7. 8 — F(x) = \dfrac{x^2}{2} + 3x, donc l'intégrale vaut F(2) - F(0) = \dfrac{4}{2} + 6 = 8. C'est bien l'aire du trapèze de bases 3 et 5 et de hauteur 2 : \dfrac{(3 + 5) \times 2}{2} = 8.
  8. 8. a) F(x) = x^{4} ; b) 240 ; c) L'aire, en u.a., sous la courbe entre les deux bornes — F(x) = x^{4}, donc \int_{2}^{4} 4x^{3}\,dx = F(4)-F(2) = 256-16 = 240.
  9. 9. a) F(x) = \dfrac{1}{3}e^{3x} ; b) 1/3 ; c) \dfrac{e^{3}-1}{3} — F(x)=e^{3x}/3. F(1)-F(0)=e^{3}/3-1/3=\dfrac{e^{3}-1}{3}.
  10. 10. a) En intégrant le débit r(t) entre les deux instants ; b) 18 unités ; c) Non, la production est inférieure à 23 unités — Q = \displaystyle\int_{2}^{4} (2t + 3)\,dt = \left[\dfrac{2}{2}t^2 + 3t\right]_{2}^{4} = 18 unités. C'est inférieur à l'objectif de 23 unités : il n'est pas atteint.
  11. 11. -9 — f'(x) = 3e^{3x} et 3f(x) + c = 3e^{3x} + 9 + c. Pour que f' = 3f + c, il faut 9 + c = 0, donc c = -9.
  12. 🏆 343/6 — Points communs : x^2 = 7x \iff x = 0 ou x = 7. Sur [0;7], 7x \geq x^2, donc l'aire vaut \displaystyle\int_0^{7}(7x - x^2)\,dx = \left[\dfrac{7}{2}x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^{7} = \dfrac{343}{2} - \dfrac{343}{3} = 343/6 u.a.
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