📝 Évaluation Logarithme & trigo (Terminale Spécialité) avec corrigé

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Numi, la mascotteÉvaluation · Terminale Spécialité
Nom : Classe : Date :

📝 Logarithme & trigo — sujet A

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.

Exercice 1/ 1 pt

Quelle expression est égale à \ln\left(\dfrac{5}{2}\right) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. \ln 3
  • B. \dfrac{\ln 5}{\ln 2}
  • C. \ln 5 + \ln 2
  • D. \ln 5 - \ln 2

Exercice 2/ 1 pt

Quelle est la valeur de ln(e) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. 0
  • B. e
  • C. 1
  • D. -1

Exercice 3/ 1 pt

La fonction \sin est :

Coche la bonne réponse.

  • A. paire
  • B. impaire
  • C. ni paire ni impaire

Exercice 4/ 1,5 pt

Simplifier \ln(2) + \ln(4).

Coche la bonne réponse.

  • A. \ln(8)
  • B. \ln(2)\ln(4)
  • C. \ln(6)
  • D. \ln(9)

Exercice 5/ 1,5 pt

Résoudre \ln(x) = 2 pour x > 0.

Coche la bonne réponse.

  • A. \ln(2)
  • B. e^{2}
  • C. e^{3}
  • D. 2

Exercice 6/ 1,5 pt

Calculer \ln\left(\frac{1}{e^{2}}\right).

Réponse :

Exercice 7/ 2 pts

La fonction ln est définie pour des arguments strictement positifs. On utilisera \ln(X) = k \Leftrightarrow X = e^k.

  1. a) Quelle est la condition pour que \ln(2x + 2) soit défini ?
    • A. 2x + 2 > 0
    • B. 2x + 2 \geq 0
    • C. x > 0
    • D. 2x + 2 \neq 0
  2. b) \ln(2x + 2) = 1 est équivalent à 2x + 2 = ?
    • A. e
    • B. 1
    • C. e^{-1}
    • D. 10^{1}
  3. c) Donc x =
    • A. x = \frac{e - 2}{2}
    • B. x = \frac{e + 2}{2}
    • C. x = \frac{1 - 2}{2}
    • D. x = \frac{e}{2} - 2

Exercice 8/ 2 pts

On isole d'abord \cos(x), puis on lit les solutions sur le cercle trigonométrique.

  1. a) En isolant, 2\cos(x) - \sqrt{3} = 0 devient \cos(x) = ?
    • A. \dfrac{\sqrt{3}}{2}
    • B. \sqrt{3}
    • C. 2\sqrt{3}
    • D. -\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  2. b) La solution de \cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} dans [0;\pi] est :
    • A. \dfrac{\pi}{6}
    • B. \dfrac{11\pi}{6}
    • C. \dfrac{\pi}{2}
    • D. \pi
  3. c) La seconde solution dans [0;2\pi] est x_2 = 2\pi - x_1. Laquelle ?
    • A. \dfrac{11\pi}{6}
    • B. \dfrac{\pi}{6}
    • C. \dfrac{3\pi}{2}
    • D. 2\pi

Exercice 9/ 2 pts

Sur [0;2\pi], \cos(x) = k admet en général deux solutions symétriques par rapport à \pi.

  1. a) La valeur de référence x_1 \in [0;\pi] est :
    • A. x_1 = \frac{2\pi}{3}
    • B. x_1 = \frac{4\pi}{3}
    • C. x_1 = \frac{\pi}{2}
    • D. x_1 = \frac{3\pi}{4}
  2. b) La deuxième solution dans [0;2\pi] est x_2 = 2\pi - x_1. Calculer x_2.
    • A. x_2 = \frac{4\pi}{3}
    • B. x_2 = \pi - \frac{2\pi}{3}
    • C. x_2 = \frac{2\pi}{3}
    • D. x_2 = \pi + \frac{2\pi}{3}
  3. c) L'ensemble des solutions sur [0;2\pi] est :
    • A. \{\frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3}\}
    • B. \{\frac{2\pi}{3}\}
    • C. \{\frac{4\pi}{3}\}
    • D. pas de solution

Exercice 10/ 2 pts

On suppose \cos(x) \neq 0 pour diviser, puis on traite les cas exclus.

  1. a) Après division par \cos(x), quelle équation obtient-on ?
    • A. \tan(x) = 1
    • B. \tan(x) = -1
    • C. \sin(x) = 1
    • D. \cos(x) = 1
  2. b) Une solution particulière de \tan(x) = 1 ?
    • A. \frac{\pi}{4}
    • B. \frac{\pi}{2}
    • C. \frac{\pi}{3}
    • D. \frac{\pi}{6}
  3. c) Forme générale des solutions ?
    • A. x = \frac{\pi}{4} + k\pi
    • B. x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi
    • C. x = \frac{\pi}{2} + k\pi
    • D. x = k\pi
  4. d) Donner la solution pour k = -1
    • A. \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}
    • B. \frac{\pi}{2}
    • C. \pi
    • D. \frac{\pi}{3}

Exercice 11/ 2 pts

Lorsque \sin et \cos apparaissent ensemble, on se ramène à \tan en supposant \cos(x)\neq 0 (ce qui est licite ici car \cos(x)=0 donne \sin(x)=\pm 1\neq 0).

  1. a) En divisant les deux membres par \cos(x), à quelle équation se ramène-t-on ?
    • A. \tan(x)=1
    • B. \tan(x)=0
    • C. \sin(x)=1
    • D. \cos(x)=1
  2. b) Quelle solution de référence dans \left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[ vérifie \tan(x)=1 ?
    • A. \dfrac{\pi}{4}
    • B. \dfrac{\pi}{3}
    • C. \dfrac{\pi}{6}
    • D. \dfrac{\pi}{2}
  3. c) \tan a pour période \pi. Quelle est la forme générale des solutions ?
    • A. x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi
    • B. x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi
    • C. x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi
    • D. x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}

Exercice 12/ 2,5 pts

Pour résoudre \ln(x) + \ln(x + 3) = \ln(2), quelle est la première démarche CORRECTE (qui ne fait ni erreur de domaine ni erreur de propriété) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. supprimer les \ln des deux côtés sans condition : x + (x+3) = 2
  • B. diviser toute l'équation par \ln(x)
  • C. poser d'abord la condition x > 0 et x + 3 > 0, puis regrouper en \ln\big(x(x+3)\big)
  • D. écrire directement x + (x+3) = 2 car \ln(u)+\ln(v)=\ln(u+v)
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Corrigé et barème — Logarithme & trigo — sujet A (Terminale Spécialité) · Sujet n°1

  1. 1. (1 pt) \ln 5 - \ln 2 — \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b.
  2. 2. (1 pt) 1 — \ln(e) = 1 par définition.
  3. 3. (1 pt) impaire — \sin(-x) = -\sin(x) → \sin est impaire.
  4. 4. (1,5 pt) \ln(8) — \ln(a)+\ln(b) = \ln(ab) → \ln(2)+\ln(4) = \ln(8).
  5. 5. (1,5 pt) e^{2} — \ln(x)=2 ↔ x=e^{2} (définition de la réciproque).
  6. 6. (1,5 pt) -2 — \ln(e^n) = n, donc la réponse est -2.
  7. 7. (2 pts) a) 2x + 2 > 0 ; b) e ; c) x = \frac{e - 2}{2} — \ln(2x + 2)=1 \Leftrightarrow 2x + 2=e \Leftrightarrow x = \frac{e - 2}{2} (vérifie x > \frac{-2}{2}).
  8. 8. (2 pts) a) \dfrac{\sqrt{3}}{2} ; b) \dfrac{\pi}{6} ; c) \dfrac{11\pi}{6} — 2\cos(x)=\sqrt{3} \Leftrightarrow \cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Sur [0;2\pi] : x=\dfrac{\pi}{6} ou x=\dfrac{11\pi}{6}.
  9. 9. (2 pts) a) x_1 = \frac{2\pi}{3} ; b) x_2 = \frac{4\pi}{3} ; c) \{\frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3}\} — \cos(x) = -\frac{1}{2} sur [0;2\pi] : x_1 = \frac{2\pi}{3} et x_2 = 2\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}.
  10. 10. (2 pts) a) \tan(x) = 1 ; b) \frac{\pi}{4} ; c) x = \frac{\pi}{4} + k\pi ; d) \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4} — sin(x)=cos(x) ⇔ tan(x)=1 ⇔ x=π/4+kπ, k∈Z.
  11. 11. (2 pts) a) \tan(x)=1 ; b) \dfrac{\pi}{4} ; c) x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi — \sin(x)=\cos(x) \Leftrightarrow \tan(x)=1 \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z}.
  12. 12. (2,5 pts) poser d'abord la condition x > 0 et x + 3 > 0, puis regrouper en \ln\big(x(x+3)\big) — Avec \ln, on commence TOUJOURS par le domaine de définition (arguments > 0), puis on utilise soit les propriétés algébriques (\ln(uv)=\ln u+\ln v, jamais \ln(u+v)=\ln u+\ln v), soit l'injectivité/la croissance de \ln (une inéquation garde son sens car \ln est croissante). Les autres démarches proposées commettent l'une de ces fautes classiques.
Pour retravailler les erreurs : ce chapitre se rejoue en ligne sur numimaths.fr, avec correction instantanée et difficulté adaptée.
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📝 Logarithme & trigo — sujet B

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°2.

Exercice 1/ 1 pt

Quelle est la valeur de ln(1) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. 0
  • B. -1
  • C. 1
  • D. e

Exercice 2/ 1 pt

Quelle est la période de la fonction \cos ?

Coche la bonne réponse.

  • A. \pi
  • B. \pi/2
  • C. 4\pi
  • D. 2\pi

Exercice 3/ 1 pt

Valeur exacte de \cos(0) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. -1
  • B. \dfrac{\sqrt{3}}{2}
  • C. 0
  • D. 1

Exercice 4/ 1,5 pt

Calculer \ln(e^{4}).

Réponse :

Exercice 5/ 1,5 pt

Simplifier \ln(8) - \ln(4).

Coche la bonne réponse.

  • A. \ln(4)
  • B. \dfrac{\ln(8)}{\ln(4)}
  • C. \ln(2)
  • D. \ln(12)

Exercice 6/ 1,5 pt

Résoudre \ln(x) = 2 pour x > 0.

Coche la bonne réponse.

  • A. e^{2}
  • B. 2
  • C. \ln(2)
  • D. e^{3}

Exercice 7/ 2 pts

La fonction ln est définie pour des arguments strictement positifs. On utilisera \ln(X) = k \Leftrightarrow X = e^k.

  1. a) Quelle est la condition pour que \ln(2x + 1) soit défini ?
    • A. 2x + 1 > 0
    • B. 2x + 1 \geq 0
    • C. x > 0
    • D. 2x + 1 \neq 0
  2. b) \ln(2x + 1) = 2 est équivalent à 2x + 1 = ?
    • A. e^{2}
    • B. 2
    • C. e^{-2}
    • D. 10^{2}
  3. c) Donc x =
    • A. x = \frac{e^{2} - 1}{2}
    • B. x = \frac{e^{2} + 1}{2}
    • C. x = \frac{2 - 1}{2}
    • D. x = \frac{e^{2}}{2} - 1

Exercice 8/ 2 pts

Sur [0;2\pi], \cos(x) = k admet en général deux solutions symétriques par rapport à \pi.

  1. a) La valeur de référence x_1 \in [0;\pi] est :
    • A. x_1 = \frac{\pi}{3}
    • B. x_1 = \frac{5\pi}{3}
    • C. x_1 = \frac{\pi}{2}
    • D. x_1 = \frac{3\pi}{4}
  2. b) La deuxième solution dans [0;2\pi] est x_2 = 2\pi - x_1. Calculer x_2.
    • A. x_2 = \frac{5\pi}{3}
    • B. x_2 = \pi - \frac{\pi}{3}
    • C. x_2 = \frac{\pi}{3}
    • D. x_2 = \pi + \frac{\pi}{3}
  3. c) L'ensemble des solutions sur [0;2\pi] est :
    • A. \{\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\}
    • B. \{\frac{\pi}{3}\}
    • C. \{\frac{5\pi}{3}\}
    • D. pas de solution

Exercice 9/ 2 pts

On isole d'abord \cos(x), puis on lit les solutions sur le cercle trigonométrique.

  1. a) En isolant, 2\cos(x) - \sqrt{3} = 0 devient \cos(x) = ?
    • A. \dfrac{\sqrt{3}}{2}
    • B. \sqrt{3}
    • C. 2\sqrt{3}
    • D. -\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  2. b) La solution de \cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} dans [0;\pi] est :
    • A. \dfrac{\pi}{6}
    • B. \dfrac{11\pi}{6}
    • C. \dfrac{\pi}{2}
    • D. \pi
  3. c) La seconde solution dans [0;2\pi] est x_2 = 2\pi - x_1. Laquelle ?
    • A. \dfrac{11\pi}{6}
    • B. \dfrac{\pi}{6}
    • C. \dfrac{3\pi}{2}
    • D. 2\pi

Exercice 10/ 2 pts

On combine le domaine de définition de \ln et la stricte croissance de \ln pour conclure.

  1. a) Sur quel ensemble la fonction \ln est-elle définie ?
    • A. x > 0
    • B. x \geq 0
    • C. x \neq 0
    • D. \mathbb{R}
  2. b) \ln est strictement croissante : \ln(x) < 2 équivaut à x < ?
    • A. e^{2}
    • B. 2
    • C. e^{-2}
    • D. 10^{2}
  3. c) Valeur approchée de la borne e^{2} (2 décimales) ?
    • A. 2{,}72
    • B. 14{,}78
    • C. 7{,}39
    • D. 5{,}39

Exercice 11/ 2 pts

On combine domaine de définition et inéquation logarithmique.

  1. a) Le domaine impose x + 4 > 0, soit x > b. Valeur de b ?

    Réponse :

  2. b) Équivalent de \ln(x+4) \leq 1 sans \ln ?
    • A. x+4 \leq e^{1}
    • B. x+4 \geq e^{1}
    • C. x+4 \leq 1
    • D. x+4 \leq e^{-1}
  3. c) Quelle est la borne supérieure EXACTE de x (forme x \leq \ldots) ?
    • A. e^{1}-4
    • B. e^{1}+4
    • C. e^{1}
    • D. 1-4
  4. d) Intersection finale des contraintes ?
    • A. \left]-4\,;e^{1}-4\right]
    • B. \left[-4\,;e^{1}-4\right]
    • C. \left]-4\,;e^{1}-4\right[
    • D. \left]-\infty\,;e^{1}-4\right]

Exercice 12/ 2,5 pts

Pour résoudre \ln(x^2) = \ln(3x), quelle est la première démarche CORRECTE (qui ne fait ni erreur de domaine ni erreur de propriété) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. écrire 2\ln(x) = \ln(3) + \ln(x) puis conclure \ln x = \ln 3, en oubliant les autres solutions
  • B. poser le domaine (x>0) puis, par injectivité de \ln, résoudre x^2 = 3x
  • C. résoudre x^2 = 3x sur \mathbb{R} tout entier
  • D. écrire x^2 = 3x \Rightarrow x = 3 en divisant par x sans discuter x=0
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Corrigé et barème — Logarithme & trigo — sujet B (Terminale Spécialité) · Sujet n°2

  1. 1. (1 pt) 0 — \ln(1) = 0 par définition.
  2. 2. (1 pt) 2\pi — \cos(x+2\pi) = \cos(x) pour tout x : la période est 2\pi.
  3. 3. (1 pt) 1 — \cos(0) = 1 (valeur remarquable du cercle trigonométrique).
  4. 4. (1,5 pt) 4 — \ln(e^n) = n, donc la réponse est 4.
  5. 5. (1,5 pt) \ln(2) — \ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)=\ln(2).
  6. 6. (1,5 pt) e^{2} — \ln(x)=2 ↔ x=e^{2} (définition de la réciproque).
  7. 7. (2 pts) a) 2x + 1 > 0 ; b) e^{2} ; c) x = \frac{e^{2} - 1}{2} — \ln(2x + 1)=2 \Leftrightarrow 2x + 1=e^{2} \Leftrightarrow x = \frac{e^{2} - 1}{2} (vérifie x > \frac{-1}{2}).
  8. 8. (2 pts) a) x_1 = \frac{\pi}{3} ; b) x_2 = \frac{5\pi}{3} ; c) \{\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\} — \cos(x) = \frac{1}{2} sur [0;2\pi] : x_1 = \frac{\pi}{3} et x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}.
  9. 9. (2 pts) a) \dfrac{\sqrt{3}}{2} ; b) \dfrac{\pi}{6} ; c) \dfrac{11\pi}{6} — 2\cos(x)=\sqrt{3} \Leftrightarrow \cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Sur [0;2\pi] : x=\dfrac{\pi}{6} ou x=\dfrac{11\pi}{6}.
  10. 10. (2 pts) a) x > 0 ; b) e^{2} ; c) 7{,}39 — \ln croissante : \ln(x)<2 \Leftrightarrow x<e^{2}\approx7{,}39. Domaine : x>0. Solution : 0<x<7{,}39.
  11. 11. (2 pts) a) -4 ; b) x+4 \leq e^{1} ; c) e^{1}-4 ; d) \left]-4\,;e^{1}-4\right] — Domaine : x>-4. Inéquation : x\leq e^{1}-4. Solution : \left]-4\,;e^{1}-4\right].
  12. 12. (2,5 pts) poser le domaine (x>0) puis, par injectivité de \ln, résoudre x^2 = 3x — Avec \ln, on commence TOUJOURS par le domaine de définition (arguments > 0), puis on utilise soit les propriétés algébriques (\ln(uv)=\ln u+\ln v, jamais \ln(u+v)=\ln u+\ln v), soit l'injectivité/la croissance de \ln (une inéquation garde son sens car \ln est croissante). Les autres démarches proposées commettent l'une de ces fautes classiques.
Pour retravailler les erreurs : ce chapitre se rejoue en ligne sur numimaths.fr, avec correction instantanée et difficulté adaptée.

Une évaluation Logarithme & trigo Terminale Spécialité toujours nouvelle

Ce contrôle est généré par le moteur Numi : chaque « Nouveau sujet » produit des exercices inédits de Logarithme & trigo (Terminale Spécialité, Spé Maths), gradués du plus simple au plus exigeant, strictement conformes au programme officiel de l'Éducation nationale. Le barème sur 20 suit la difficulté des exercices ; le corrigé occupe la deuxième page.

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