🔄 Exercices à imprimer — Logarithme & trigo (Terminale Spécialité)

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🔄 Logarithme & trigo

Exercice 1★☆☆☆☆

Quelle expression est égale à \ln(3 \times 3) ?

Coche la bonne réponse.

A. \ln 6
B. \ln 3 + \ln 3
C. \ln 3 - \ln 3
D. \ln 3 \times \ln 3

Exercice 2★☆☆☆☆

Valeur exacte de \sin(0) ?

Coche la bonne réponse.

A. 0
B. \dfrac{1}{2}
C. \dfrac{\sqrt{2}}{2}
D. 1

Exercice 3★☆☆☆☆

Quelle expression est égale à \ln\left(\dfrac{5}{2}\right) ?

Coche la bonne réponse.

A. \ln 5 + \ln 2
B. \ln 5 - \ln 2
C. \ln 3
D. \dfrac{\ln 5}{\ln 2}

Exercice 4★★☆☆☆

Quelle est la dérivée de f(x) = \sin(x) ?

Coche la bonne réponse.

A. -\sin(x)
B. \cos(x)
C. -\cos(x)
D. \tan(x)

Exercice 5★★☆☆☆

Résoudre \ln(x) = 1 pour x > 0.

Coche la bonne réponse.

A. e
B. \ln(1)
C. e^{2}
D. 1

Exercice 6★★☆☆☆

Calculer \ln\left(\frac{1}{e^{4}}\right).

Réponse :

Exercice 7★★★☆☆

Sur [0;2\pi], \cos(x) = k admet en général deux solutions symétriques par rapport à \pi.

a) La valeur de référence x_1 \in [0;\pi] est :
- A. x_1 = \frac{2\pi}{3}
- B. x_1 = \frac{4\pi}{3}
- C. x_1 = \frac{\pi}{2}
- D. x_1 = \frac{3\pi}{4}
b) La deuxième solution dans [0;2\pi] est x_2 = 2\pi - x_1. Calculer x_2.
- A. x_2 = \frac{4\pi}{3}
- B. x_2 = \pi - \frac{2\pi}{3}
- C. x_2 = \frac{2\pi}{3}
- D. x_2 = \pi + \frac{2\pi}{3}
c) L'ensemble des solutions sur [0;2\pi] est :
- A. \{\frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3}\}
- B. \{\frac{2\pi}{3}\}
- C. \{\frac{4\pi}{3}\}
- D. pas de solution

Exercice 8★★★☆☆

Soit f(x) = \ln(4x). Calculer f'(1) (fraction irréductible ou entier).

Réponse :

Exercice 9★★★☆☆

Sur [0;2\pi], \cos(x) = k admet en général deux solutions symétriques par rapport à \pi.

a) La valeur de référence x_1 \in [0;\pi] est :
- A. x_1 = \frac{3\pi}{4}
- B. x_1 = \frac{5\pi}{4}
- C. x_1 = \frac{\pi}{2}
- D. x_1 = \frac{\pi}{4}
b) La deuxième solution dans [0;2\pi] est x_2 = 2\pi - x_1. Calculer x_2.
- A. x_2 = \frac{5\pi}{4}
- B. x_2 = \pi - \frac{3\pi}{4}
- C. x_2 = \frac{3\pi}{4}
- D. x_2 = \pi + \frac{3\pi}{4}
c) L'ensemble des solutions sur [0;2\pi] est :
- A. \{\frac{3\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\}
- B. \{\frac{3\pi}{4}\}
- C. \{\frac{5\pi}{4}\}
- D. pas de solution

Exercice 10★★★★☆

On combine domaine de définition et inéquation logarithmique.

a) Le domaine impose x + 2 > 0, soit x > b. Valeur de b ?
Réponse :
b) Équivalent de \ln(x+2) \leq 0 sans \ln ?
- A. x+2 \leq e^{0}
- B. x+2 \geq e^{0}
- C. x+2 \leq 0
- D. x+2 \leq e^{-0}
c) Quelle est la borne supérieure EXACTE de x (forme x \leq \ldots) ?
- A. -1
- B. 3
- C. e^{0}
- D. 0-2
d) Intersection finale des contraintes ?
- A. \left]-2\,;-1\right]
- B. \left[-2\,;-1\right]
- C. \left]-2\,;-1\right[
- D. \left]-\infty\,;-1\right]

Exercice 11★★★★☆

Lorsque \sin et \cos apparaissent ensemble, on se ramène à \tan en supposant \cos(x)\neq 0 (ce qui est licite ici car \cos(x)=0 donne \sin(x)=\pm 1\neq 0).

a) En divisant les deux membres par \cos(x), à quelle équation se ramène-t-on ?
- A. \tan(x)=1
- B. \tan(x)=0
- C. \sin(x)=1
- D. \cos(x)=1
b) Quelle solution de référence dans \left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[ vérifie \tan(x)=1 ?
- A. \dfrac{\pi}{4}
- B. \dfrac{\pi}{3}
- C. \dfrac{\pi}{6}
- D. \dfrac{\pi}{2}
c) \tan a pour période \pi. Quelle est la forme générale des solutions ?
- A. x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi
- B. x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi
- C. x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi
- D. x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}

🏆 Défi★★★★★

On donne \sin(60°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} et \cos(60°)=\dfrac{1}{2}.

a) \sin^2(60°)+\cos^2(60°) = ?
- A. 1
- B. 0
- C. 2
- D. \dfrac{1}{2}
b) \cos(2 \times 60°) = ? (valeur exacte)
- A. -\dfrac{1}{2}
- B. 1
- C. \dfrac{1}{2}
- D. 0
c) \sin(2 \times 60°) = ? (valeur exacte)
- A. \dfrac{\sqrt{2}}{2}
- B. \dfrac{\sqrt{3}}{2}
- C. 1
- D. \dfrac{1}{2}
d) À l'aide de \sin^2\alpha = \dfrac{1-\cos(2\alpha)}{2}, donne \sin^2(60°) (valeur exacte).
- A. \dfrac{3}{4}
- B. \dfrac{1}{4}
- C. \dfrac{1}{2}
- D. \dfrac{1}{3}

Corrigé — Logarithme & trigo (Terminale Spécialité) · Feuille n°0

1. \ln 3 + \ln 3 — \ln(ab) = \ln a + \ln b, donc \ln(3 \times 3) = \ln 3 + \ln 3.
2. 0 — \sin(0) = 0 (valeur remarquable du cercle trigonométrique).
3. \ln 5 - \ln 2 — \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b.
4. \cos(x) — (\sin(x))' = \cos(x) et (\cos(x))' = -\sin(x). Donc f'(x) = \cos(x).
5. e — \ln(x)=1 ↔ x=e (définition de la réciproque).
6. -4 — \ln(e^n) = n, donc la réponse est -4.
7. a) x_1 = \frac{2\pi}{3} ; b) x_2 = \frac{4\pi}{3} ; c) \{\frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3}\} — \cos(x) = -\frac{1}{2} sur [0;2\pi] : x_1 = \frac{2\pi}{3} et x_2 = 2\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}.
8. 1 — (\ln u)' = u'/u avec u=4x, u'=4 → f'(x)=\dfrac{4}{4x}. f'(1)=\dfrac{4}{4}=1.
9. a) x_1 = \frac{3\pi}{4} ; b) x_2 = \frac{5\pi}{4} ; c) \{\frac{3\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\} — \cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} sur [0;2\pi] : x_1 = \frac{3\pi}{4} et x_2 = 2\pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}.
10. a) -2 ; b) x+2 \leq e^{0} ; c) -1 ; d) \left]-2\,;-1\right] — Domaine : x>-2. Inéquation : x\leq e^{0}-2. Solution : \left]-2\,;-1\right].
11. a) \tan(x)=1 ; b) \dfrac{\pi}{4} ; c) x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi — \sin(x)=\cos(x) \Leftrightarrow \tan(x)=1 \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z}.
🏆 a) 1 ; b) -\dfrac{1}{2} ; c) \dfrac{\sqrt{3}}{2} ; d) \dfrac{3}{4} — \cos(2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=-\dfrac{1}{2}. \sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

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