🔄 Exercices à imprimer — Logarithme & trigo (Terminale Spécialité)

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🔄 Logarithme & trigo

Exercice 1★☆☆☆☆

Quelle expression est égale à \ln\left(\dfrac{5}{2}\right) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. \ln 5 + \ln 2
  • B. \ln 5 - \ln 2
  • C. \ln 3
  • D. \dfrac{\ln 5}{\ln 2}

Exercice 2★☆☆☆☆

Quelle est la période de la fonction \cos ?

Coche la bonne réponse.

  • A. \pi/2
  • B. \pi
  • C. 2\pi
  • D. 4\pi

Exercice 3★☆☆☆☆

Quelle est la valeur de ln(1) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. 0
  • B. -1
  • C. 1
  • D. e

Exercice 4★★☆☆☆

Simplifier 4 \cdot \ln(3).

Coche la bonne réponse.

  • A. \ln(3^{4})
  • B. \ln(7)
  • C. \ln(3)^{4}
  • D. \ln(12)

Exercice 5★★☆☆☆

Simplifier \ln(5) + \ln(4).

Coche la bonne réponse.

  • A. \ln(21)
  • B. \ln(5)\ln(4)
  • C. \ln(9)
  • D. \ln(20)

Exercice 6★★☆☆☆

Simplifier \ln(9) - \ln(3).

Coche la bonne réponse.

  • A. \ln(6)
  • B. \ln(3)
  • C. \dfrac{\ln(9)}{\ln(3)}
  • D. \ln(12)

Exercice 7★★★☆☆

Soit f(x) = \ln(3x-2). Calculer f'(2) (fraction irréductible ou entier).

Réponse :

Exercice 8★★★☆☆

On isole d'abord \cos(x), puis on lit les solutions sur le cercle trigonométrique.

  1. a) En isolant, 2\cos(x) - \sqrt{3} = 0 devient \cos(x) = ?
    • A. \dfrac{\sqrt{3}}{2}
    • B. \sqrt{3}
    • C. 2\sqrt{3}
    • D. -\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  2. b) La solution de \cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} dans [0;\pi] est :
    • A. \dfrac{\pi}{6}
    • B. \dfrac{11\pi}{6}
    • C. \dfrac{\pi}{2}
    • D. \pi
  3. c) La seconde solution dans [0;2\pi] est x_2 = 2\pi - x_1. Laquelle ?
    • A. \dfrac{11\pi}{6}
    • B. \dfrac{\pi}{6}
    • C. \dfrac{3\pi}{2}
    • D. 2\pi

Exercice 9★★★☆☆

Sur [0;2\pi], \cos(x) = k admet en général deux solutions symétriques par rapport à \pi.

  1. a) La valeur de référence x_1 \in [0;\pi] est :
    • A. x_1 = \frac{\pi}{4}
    • B. x_1 = \frac{7\pi}{4}
    • C. x_1 = \frac{\pi}{2}
    • D. x_1 = \frac{3\pi}{4}
  2. b) La deuxième solution dans [0;2\pi] est x_2 = 2\pi - x_1. Calculer x_2.
    • A. x_2 = \frac{7\pi}{4}
    • B. x_2 = \pi - \frac{\pi}{4}
    • C. x_2 = \frac{\pi}{4}
    • D. x_2 = \pi + \frac{\pi}{4}
  3. c) L'ensemble des solutions sur [0;2\pi] est :
    • A. \{\frac{\pi}{4};\frac{7\pi}{4}\}
    • B. \{\frac{\pi}{4}\}
    • C. \{\frac{7\pi}{4}\}
    • D. pas de solution

Exercice 10★★★★☆

On résout \ln(5x) = 1. Rappel : \ln n'est définie que pour un argument strictement positif.

  1. a) Quelle transformation correcte permet de faire disparaître le \ln dans \ln(5x)=1 ?
    • A. appliquer \exp : 5x = e^{1}
    • B. appliquer \exp : 5x = 1
    • C. écrire 5x = \ln(1)
    • D. écrire \ln(5) + \ln(x) = 1 puis x = 1-\ln(5)
  2. b) Quelle est la valeur EXACTE de la solution x ?
    • A. \dfrac{e^{1}}{5}
    • B. \dfrac{5}{e^{1}}
    • C. 5\,e^{1}
    • D. e^{1}-5
  3. c) Que conclut-on de la condition de définition 5x > 0 pour cette solution ?
    • A. La solution est acceptée : elle est strictement positive
    • B. La solution est rejetée : elle est négative
    • C. Il faut aussi vérifier que x < 1
    • D. Le domaine ne joue aucun rôle avec un \ln

Exercice 11★★★★☆

On suppose \cos(x) \neq 0 pour diviser, puis on traite les cas exclus.

  1. a) Après division par \cos(x), quelle équation obtient-on ?
    • A. \tan(x) = 1
    • B. \tan(x) = -1
    • C. \sin(x) = 1
    • D. \cos(x) = 1
  2. b) Une solution particulière de \tan(x) = 1 ?
    • A. \frac{\pi}{4}
    • B. \frac{\pi}{2}
    • C. \frac{\pi}{3}
    • D. \frac{\pi}{6}
  3. c) Forme générale des solutions ?
    • A. x = \frac{\pi}{4} + k\pi
    • B. x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi
    • C. x = \frac{\pi}{2} + k\pi
    • D. x = k\pi
  4. d) Donner la solution pour k = 1
    • A. \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}
    • B. \frac{\pi}{2}
    • C. \pi
    • D. \frac{\pi}{3}

🏆 Défi★★★★★

Pour résoudre \ln(2x) \leq \ln(x + 3), quelle est la première démarche CORRECTE (qui ne fait ni erreur de domaine ni erreur de propriété) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. utiliser la stricte croissance de \ln : sur le domaine, \ln(2x)\leq\ln(x+3) équivaut à 2x \leq x+3
  • B. écrire 2x \geq x+3 : passer aux arguments inverse le sens
  • C. conclure sans condition sur le domaine de définition
  • D. écrire \ln(2x) \leq \ln(x+3) \Rightarrow 2 \leq 1+3 en simplifiant les x
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Corrigé — Logarithme & trigo (Terminale Spécialité) · Feuille n°0

  1. 1. \ln 5 - \ln 2 — \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b.
  2. 2. 2\pi — \cos(x+2\pi) = \cos(x) pour tout x : la période est 2\pi.
  3. 3. 0 — \ln(1) = 0 par définition.
  4. 4. \ln(3^{4}) — k\ln(a)=\ln(a^k) donc 4\ln(3)=\ln(3^{4}).
  5. 5. \ln(20) — \ln(a)+\ln(b) = \ln(ab) → \ln(5)+\ln(4) = \ln(20).
  6. 6. \ln(3) — \ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)=\ln(3).
  7. 7. 3/4 — (\ln u)' = u'/u avec u=3x-2, u'=3 → f'(x)=\dfrac{3}{3x-2}. f'(2)=\dfrac{3}{4}=3/4.
  8. 8. a) \dfrac{\sqrt{3}}{2} ; b) \dfrac{\pi}{6} ; c) \dfrac{11\pi}{6} — 2\cos(x)=\sqrt{3} \Leftrightarrow \cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Sur [0;2\pi] : x=\dfrac{\pi}{6} ou x=\dfrac{11\pi}{6}.
  9. 9. a) x_1 = \frac{\pi}{4} ; b) x_2 = \frac{7\pi}{4} ; c) \{\frac{\pi}{4};\frac{7\pi}{4}\} — \cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} sur [0;2\pi] : x_1 = \frac{\pi}{4} et x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}.
  10. 10. a) appliquer \exp : 5x = e^{1} ; b) \dfrac{e^{1}}{5} ; c) La solution est acceptée : elle est strictement positive — \ln(5x)=1 \Rightarrow 5x=e^{1} \Rightarrow x=\dfrac{e^{1}}{5}. Comme e^{1}>0 et 5>0, la solution vérifie 5x>0 : elle est acceptée.
  11. 11. a) \tan(x) = 1 ; b) \frac{\pi}{4} ; c) x = \frac{\pi}{4} + k\pi ; d) \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} — sin(x)=cos(x) ⇔ tan(x)=1 ⇔ x=π/4+kπ, k∈Z.
  12. 🏆 utiliser la stricte croissance de \ln : sur le domaine, \ln(2x)\leq\ln(x+3) équivaut à 2x \leq x+3 — Avec \ln, on commence TOUJOURS par le domaine de définition (arguments > 0), puis on utilise soit les propriétés algébriques (\ln(uv)=\ln u+\ln v, jamais \ln(u+v)=\ln u+\ln v), soit l'injectivité/la croissance de \ln (une inéquation garde son sens car \ln est croissante). Les autres démarches proposées commettent l'une de ces fautes classiques.
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