📝 Évaluation Logarithme & trigo (Terminale Spécialité) avec corrigé

Exercice 1/ 1 pt

Quelle expression est égale à \ln\left(\dfrac{5}{2}\right) ?

Coche la bonne réponse.

• A. \ln 3
• B. \dfrac{\ln 5}{\ln 2}
• C. \ln 5 + \ln 2
• D. \ln 5 - \ln 2

Exercice 2/ 1 pt

Quelle est la valeur de ln(e) ?

Coche la bonne réponse.

• A. 0
• B. e
• C. 1
• D. -1

Exercice 3/ 1 pt

La fonction \sin est :

Coche la bonne réponse.

• A. paire
• B. impaire
• C. ni paire ni impaire

Exercice 4/ 1,5 pt

Simplifier \ln(2) + \ln(4).

Coche la bonne réponse.

• A. \ln(8)
• B. \ln(2)\ln(4)
• C. \ln(6)
• D. \ln(9)

Exercice 5/ 1,5 pt

Résoudre \ln(x) = 2 pour x > 0.

Coche la bonne réponse.

• A. \ln(2)
• B. e^{2}
• C. e^{3}
• D. 2

Exercice 6/ 1,5 pt

Calculer \ln\left(\frac{1}{e^{2}}\right).

Réponse :

Exercice 7/ 2 pts

La fonction ln est définie pour des arguments strictement positifs. On utilisera \ln(X) = k \Leftrightarrow X = e^k.

1. a) Quelle est la condition pour que \ln(2x + 2) soit défini ?
   • A. 2x + 2 > 0
   • B. 2x + 2 \geq 0
   • C. x > 0
   • D. 2x + 2 \neq 0
2. b) \ln(2x + 2) = 1 est équivalent à 2x + 2 = ?
   • A. e
   • B. 1
   • C. e^{-1}
   • D. 10^{1}
3. c) Donc x =
   • A. x = \frac{e - 2}{2}
   • B. x = \frac{e + 2}{2}
   • C. x = \frac{1 - 2}{2}
   • D. x = \frac{e}{2} - 2

Exercice 8/ 2 pts

On isole d'abord \cos(x), puis on lit les solutions sur le cercle trigonométrique.

1. a) En isolant, 2\cos(x) - \sqrt{3} = 0 devient \cos(x) = ?
   • A. \dfrac{\sqrt{3}}{2}
   • B. \sqrt{3}
   • C. 2\sqrt{3}
   • D. -\dfrac{\sqrt{3}}{2}
2. b) La solution de \cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} dans [0;\pi] est :
   • A. \dfrac{\pi}{6}
   • B. \dfrac{11\pi}{6}
   • C. \dfrac{\pi}{2}
   • D. \pi
3. c) La seconde solution dans [0;2\pi] est x_2 = 2\pi - x_1. Laquelle ?
   • A. \dfrac{11\pi}{6}
   • B. \dfrac{\pi}{6}
   • C. \dfrac{3\pi}{2}
   • D. 2\pi

Exercice 9/ 2 pts

Sur [0;2\pi], \cos(x) = k admet en général deux solutions symétriques par rapport à \pi.

1. a) La valeur de référence x_1 \in [0;\pi] est :
   • A. x_1 = \frac{2\pi}{3}
   • B. x_1 = \frac{4\pi}{3}
   • C. x_1 = \frac{\pi}{2}
   • D. x_1 = \frac{3\pi}{4}
2. b) La deuxième solution dans [0;2\pi] est x_2 = 2\pi - x_1. Calculer x_2.
   • A. x_2 = \frac{4\pi}{3}
   • B. x_2 = \pi - \frac{2\pi}{3}
   • C. x_2 = \frac{2\pi}{3}
   • D. x_2 = \pi + \frac{2\pi}{3}
3. c) L'ensemble des solutions sur [0;2\pi] est :
   • A. \{\frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3}\}
   • B. \{\frac{2\pi}{3}\}
   • C. \{\frac{4\pi}{3}\}
   • D. pas de solution

Exercice 10/ 2 pts

On suppose \cos(x) \neq 0 pour diviser, puis on traite les cas exclus.

1. a) Après division par \cos(x), quelle équation obtient-on ?
   • A. \tan(x) = 1
   • B. \tan(x) = -1
   • C. \sin(x) = 1
   • D. \cos(x) = 1
2. b) Une solution particulière de \tan(x) = 1 ?
   • A. \frac{\pi}{4}
   • B. \frac{\pi}{2}
   • C. \frac{\pi}{3}
   • D. \frac{\pi}{6}
3. c) Forme générale des solutions ?
   • A. x = \frac{\pi}{4} + k\pi
   • B. x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi
   • C. x = \frac{\pi}{2} + k\pi
   • D. x = k\pi
4. d) Donner la solution pour k = -1
   • A. \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}
   • B. \frac{\pi}{2}
   • C. \pi
   • D. \frac{\pi}{3}

Exercice 11/ 2 pts

Lorsque \sin et \cos apparaissent ensemble, on se ramène à \tan en supposant \cos(x)\neq 0 (ce qui est licite ici car \cos(x)=0 donne \sin(x)=\pm 1\neq 0).

1. a) En divisant les deux membres par \cos(x), à quelle équation se ramène-t-on ?
   • A. \tan(x)=1
   • B. \tan(x)=0
   • C. \sin(x)=1
   • D. \cos(x)=1
2. b) Quelle solution de référence dans \left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[ vérifie \tan(x)=1 ?
   • A. \dfrac{\pi}{4}
   • B. \dfrac{\pi}{3}
   • C. \dfrac{\pi}{6}
   • D. \dfrac{\pi}{2}
3. c) \tan a pour période \pi. Quelle est la forme générale des solutions ?
   • A. x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi
   • B. x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi
   • C. x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi
   • D. x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}

Exercice 12/ 2,5 pts

Pour résoudre \ln(x) + \ln(x + 3) = \ln(2), quelle est la première démarche CORRECTE (qui ne fait ni erreur de domaine ni erreur de propriété) ?

Coche la bonne réponse.

• A. supprimer les \ln des deux côtés sans condition : x + (x+3) = 2
• B. diviser toute l'équation par \ln(x)
• C. poser d'abord la condition x > 0 et x + 3 > 0, puis regrouper en \ln\big(x(x+3)\big)
• D. écrire directement x + (x+3) = 2 car \ln(u)+\ln(v)=\ln(u+v)