📝 Évaluation Dérivation (Terminale Spécialité) avec corrigé
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Sujets A et B ci-dessous : exercices différents, même notion et même barème — un sujet par rangée pour limiter la copie.
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NumiÉvaluation · Terminale Spécialité📝 Dérivation — sujet A
Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.
Exercice 1/ 1 pt
Quelle est la dérivée de f(x) = x^{4} ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 2/ 1 pt
Soit f(x) = -2x-2. Donner la valeur de f'(x).
Réponse :
Exercice 3/ 1 pt
Sur un intervalle où f'(x) est négative, la fonction f est :
Coche la bonne réponse.
Exercice 4/ 1,5 pt
Donne le signe de f'(x)=2x-4 pour chaque x. Écris + , - ou 0 dans chaque case.
Complète les cases vides du tableau.
| -4 | -2 | 0 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x)=2x-4 | - | + | + |
Exercice 5/ 1,5 pt
Complète le tableau de valeurs de f'(x)=6x + 2.
Complète les cases vides du tableau.
| -2 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x)=6x+2 | -10 | 8 | 26 |
Exercice 6/ 1,5 pt
Calculer f'(x) pour f(x) = 4x^2+3x-1.
Coche la bonne réponse.
Exercice 7/ 2 pts
Donner la valeur du minimum de f(x) = 2x^2 -12x +20.
Réponse :
Exercice 8/ 2 pts
Tangente à la courbe de f(x) = x^2 en x_0 = 2.
- a) Calcule la pente de la tangente : f'(2) = ?
Réponse :
- b) Calcule f(2) = ?
Réponse :
- c) L'équation de la tangente est :
Exercice 9/ 2 pts
Associe chaque fonction composée à sa dérivée.
Relie chaque élément de gauche à celui qui correspond à droite.
- \sin(3x) •
- e^{3x} •
- (x^2 + 1)^3 •
- \ln(3x) •
- • \frac{3}{3x}
- • 6x(x^2+1)^{2}
- • 3e^{3x}
- • 3\cos(3x)
Exercice 10/ 2 pts
f(x) = -2x^2 -4x, polynôme du second degré avec a = -2 < 0.
- a) Calculer f'(x).
- b) Résoudre f'(x) = 0 : donner la racine x_0.
Réponse :
- c) Avant x_0, la fonction f est :
Exercice 11/ 2 pts
f(x) = -2x^2 +8x -3, polynôme du second degré avec a = -2 < 0.
- a) Calculer f'(x).
- b) Résoudre f'(x) = 0 : donner la racine x_0.
Réponse :
- c) Avant x_0, la fonction f est :
Exercice 12/ 2,5 pts
On lit : « si f''(a) = 0 alors la courbe de f admet un point d'inflexion en a ». En considérant par exemple f(x) = -(x+2)^4 en a = -2, cette affirmation est-elle correcte ?
Coche la bonne réponse.
Corrigé et barème — Dérivation — sujet A (Terminale Spécialité) · Sujet n°1
- 1. (1 pt) 4x^{3} — (x^n)' = nx^{n-1}, donc (x^{4})' = 4x^{3}.
- 2. (1 pt) -2 — La dérivée de ax + b est la constante a. Donc f'(x) = -2.
- 3. (1 pt) décroissante — f' > 0 sur I \Leftrightarrow f croissante sur I ; f' < 0 \Leftrightarrow f décroissante.
- 4. (1,5 pt) f'(x)=2x-4 : -, - — f'(x)=2x-4 : signe dépend du signe de 2x-4.
- 5. (1,5 pt) f'(x)=6x+2 : 14, 20 — Calcule 6x+2 pour chaque x.
- 6. (1,5 pt) 8x + 3 — (ax^2+bx+c)' = 2ax+b. Ici f'(x) = 8x + 3.
- 7. (2 pts) 2 — f(x) = 2(x - 3)^2 +2, forme canonique. Le minimum est f(3) = 2.
- 8. (2 pts) a) 4 ; b) 4 ; c) y = 4x -4 — f'(2) = 4 et f(2) = 4. Tangente : y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) = 4x -4.
- 9. (2 pts) \sin(3x) → 3\cos(3x) ; e^{3x} → 3e^{3x} ; (x^2 + 1)^3 → 6x(x^2+1)^{2} ; \ln(3x) → \frac{3}{3x} — Règle de chaîne : (f∘g)' = (f'∘g)×g'.
- 10. (2 pts) a) -4x -4 ; b) -1 ; c) croissante — f'(x) = -4x -4 s'annule en x_0 = -1. a = -2 < 0 → parabole inversée : f' > 0 avant x_0 (croissante), f' < 0 après (décroissante).
- 11. (2 pts) a) -4x +8 ; b) 2 ; c) croissante — f'(x) = -4x +8 s'annule en x_0 = 2. a = -2 < 0 → parabole inversée : f' > 0 avant x_0 (croissante), f' < 0 après (décroissante).
- 12. (2,5 pts) Faux : f'' peut s'annuler sans changer de signe (la concavité ne change pas) — Pour f(x) = -(x+2)^4, f''(x) = -12(x+2)^2 : elle s'annule en x = -2 mais reste concave de part et d'autre (elle ne CHANGE PAS de signe). Il n'y a donc pas de point d'inflexion. Un point d'inflexion exige que f'' change de signe : f''(a)=0 n'est pas suffisant. L'affirmation est fausse.
NumiÉvaluation · Terminale Spécialité📝 Dérivation — sujet B
Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°2.
Exercice 1/ 1 pt
Sur un intervalle où f'(x) est positive, la fonction f est :
Coche la bonne réponse.
Exercice 2/ 1 pt
Soit f(x) = 2x. Donner la valeur de f'(x).
Réponse :
Exercice 3/ 1 pt
Chaque fonction f est dérivable sur ℝ. D'après sa dérivée, f est-elle croissante ou décroissante sur ℝ ?
Classe chaque élément dans la bonne colonne.
f'(x) = −eˣf'(x) = x² + 1f'(x) = eˣf'(x) = −4
| Croissante | Décroissante |
|---|---|
Exercice 4/ 1,5 pt
Pour f(x)=2x-2, quel est le taux de variation moyen de f sur [1\,;6] ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 5/ 1,5 pt
Sur un intervalle où f''(x) est négative, la courbe est :
Coche la bonne réponse.
Exercice 6/ 1,5 pt
Qu'est-ce qui caractérise un point d'inflexion d'une courbe ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 7/ 2 pts
Donner la valeur du maximum de f(x) = -x^2 +4x -6.
Réponse :
Exercice 8/ 2 pts
Soit f(x) = 2x^2 -4x. En quel x a-t-on f'(x) = 0 ? (fraction irréductible si besoin, ex. 3/4)
Réponse :
Exercice 9/ 2 pts
Tangente à la courbe de f(x) = x^2 en x_0 = -3.
- a) Calcule la pente de la tangente : f'(-3) = ?
Réponse :
- b) Calcule f(-3) = ?
Réponse :
- c) L'équation de la tangente est :
Exercice 10/ 2 pts
f(x) = 2x^3 -2x, deux fois dérivable sur \mathbb{R}.
- a) Quelle quantité renseigne sur la convexité de f ?
- b) Que vaut f''(x) ?
- c) En quelle abscisse f'' s'annule-t-elle ? (c'est le candidat point d'inflexion)
Réponse :
- d) Que peut-on conclure autour de cette abscisse ?
Exercice 11/ 2 pts
f(x) = x^2 - 5x - 1 est une fonction polynôme de degré 2.
- a) Calculer f'(x).
- b) Résoudre f'(x) = 0 : donner x_0.
- c) Avant x_0, la fonction f est :
Exercice 12/ 2,5 pts
On découpe des carrés de côté x aux quatre coins d'une feuille carrée de côté 12 cm, puis on plie. Le volume de la boîte est V(x) = x(12 - 2x)^2. Quel est le volume maximal (en cm³) ? (Arrondi à 0,1)
Coche la bonne réponse.
Corrigé et barème — Dérivation — sujet B (Terminale Spécialité) · Sujet n°2
- 1. (1 pt) croissante — f' > 0 sur I \Leftrightarrow f croissante sur I ; f' < 0 \Leftrightarrow f décroissante.
- 2. (1 pt) 2 — La dérivée de ax + b est la constante a. Donc f'(x) = 2.
- 3. (1 pt) Croissante : f'(x) = x² + 1, f'(x) = eˣ — Décroissante : f'(x) = −eˣ, f'(x) = −4 — Si f'(x) > 0 pour tout x, f est croissante ; si f'(x) < 0 pour tout x, f est décroissante. x² + 1, eˣ, 3 et 2 + e⁻ˣ sont toujours positifs.
- 4. (1,5 pt) 2 — Pour une fonction affine, le taux de variation moyen est constant et égal au coefficient directeur.
- 5. (1,5 pt) Concave (courbe en dessous de ses tangentes) — f''>0 → convexe (tangente en dessous) ; f''<0 → concave (tangente au-dessus).
- 6. (1,5 pt) f''(x) change de signe en ce point — Un point d'inflexion est un point où la concavité change, c'est-à-dire où f'' change de signe.
- 7. (2 pts) -2 — f(x) = -(x - 2)^2 -2, forme canonique. Le maximum est f(2) = -2.
- 8. (2 pts) 1 — f'(x) = 4x -4 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{4}{4} = 1.
- 9. (2 pts) a) -6 ; b) 9 ; c) y = -6x -9 — f'(-3) = -6 et f(-3) = 9. Tangente : y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) = -6x -9.
- 10. (2 pts) a) Le signe de f'' (dérivée seconde) ; b) 12x ; c) 0 ; d) f est concave avant 0 puis convexe après : la concavité change en 0 — La convexité se lit sur f''. Ici f''(x) = 12x, qui s'annule en x=0 en changeant de signe : f est concave sur \left]-\infty;0\right[ puis convexe sur \left]0;+\infty\right[. Le point (0;0) est donc un point d'inflexion.
- 11. (2 pts) a) 2x -5 ; b) x_0 = \frac{5}{2} ; c) décroissante — f'(x) = 2x -5, s'annule en x_0 = \frac{5}{2}. Car a = 1 > 0, f est décroissante puis croissante avec un minimum.
- 12. (2,5 pts) 128 — V'(x) = (12-2x)(12-6x) = 0 \Rightarrow x = 2 (si x < 6). V(2) \approx 128 cm³.
Une évaluation Dérivation Terminale Spécialité toujours nouvelle
Ce contrôle est généré par le moteur Numi : chaque « Nouveau sujet » produit des exercices inédits de Dérivation (Terminale Spécialité, Spé Maths), gradués du plus simple au plus exigeant, strictement conformes au programme officiel de l'Éducation nationale. Le barème sur 20 suit la difficulté des exercices ; le corrigé occupe la deuxième page.
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