📝 Évaluation Suites & limites (Terminale Spécialité) avec corrigé

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Sujets A et B ci-dessous : exercices différents, même notion et même barème — un sujet par rangée pour limiter la copie.

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NumiÉvaluation · Terminale Spécialité

Nom : Classe : Date :

📝 Suites & limites — sujet A

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.

Exercice 1/ 1 pt

Quelle est \displaystyle\lim_{x \to +\infty} 5x^{3} ?

Coche la bonne réponse.

A. +\infty
B. 0
C. -\infty
D. 5

Exercice 2/ 1 pt

Soit u_n = \left(\frac{-1}{4}\right)^n. Vers quoi converge u_n quand n \to +\infty ?

Coche la bonne réponse.

A. 1
B. +\infty
C. 0
D. -1

Exercice 3/ 1 pt

Soit u_n = \left(\frac{1}{4}\right)^n. Vers quoi converge u_n quand n \to +\infty ?

Coche la bonne réponse.

A. 1
B. 0
C. -1
D. +\infty

Exercice 4/ 1,5 pt

Quelle est la limite de la suite géométrique de raison q = -2 quand n \to +\infty ?

Coche la bonne réponse.

A. 0
B. +∞
C. -∞
D. Pas de limite (diverge)

Exercice 5/ 1,5 pt

Quel nombre complète la suite : 3, 9, ?, 81, 243 ?

Réponse :

Exercice 6/ 1,5 pt

Limite de la suite u_n = 5n^{3} - 1 quand n \to +\infty ?

Coche la bonne réponse.

A. 5
B. 0
C. -∞
D. +∞

Exercice 7/ 2 pts

Croissances comparées : associe chaque suite à sa limite quand n \to +\infty.

Relie chaque élément de gauche à celui qui correspond à droite.

\dfrac{e^n}{n^{2}} •
\dfrac{n^{3}}{e^n} •
\dfrac{\ln n}{n} •
\dfrac{n^{2}}{\ln n} •

• +\infty
• 0
• 0
• +\infty

Exercice 8/ 2 pts

Calculer \lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{x^{3}}.

Réponse :

Exercice 9/ 2 pts

Suite géométrique : 16, 8, ?, 2, 1, \dots — on divise par 2 à chaque étape. Quel est le terme manquant (noté « ? ») ?

Réponse :

Exercice 10/ 2 pts

Calculer \lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x^2 - 2x}{2x^2 + 3} (réponse sous forme de fraction si besoin).

Réponse :

Exercice 11/ 2 pts

Calculer \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 + 3x}{5x^2 + 2} (réponse sous forme de fraction si besoin).

Réponse :

Exercice 12/ 2,5 pts

u_n = n + (-1)^n : pour tout n, u_n \ge n - 1, et cette borne inférieure tend vers +\infty. Quel théorème (et lui seul) permet d'établir rigoureusement le comportement de (u_n) en +\infty ?

Coche la bonne réponse.

A. Limite d'une suite géométrique de raison q>1
B. Théorème de comparaison (u_n \ge v_n avec v_n \to +\infty)
C. La suite oscille à cause de (-1)^n, donc elle n'a pas de limite
D. Théorème des gendarmes vers une limite finie

Corrigé et barème — Suites & limites — sujet A (Terminale Spécialité) · Sujet n°1

1. (1 pt) +\infty — 5x^{3} \to +\infty quand x \to +\infty car a = 5 > 0.
2. (1 pt) 0 — |\frac{-1}{4}| < 1, donc u_n \to 0.
3. (1 pt) 0 — |\frac{1}{4}| < 1, donc u_n \to 0.
4. (1,5 pt) Pas de limite (diverge) — q = -2 avec |q|>1 et q<0 → les termes alternent et tendent vers \pm\infty, pas de limite.
5. (1,5 pt) 27 — La suite est [3, 9, 27, 81, 243]. Le quotient de deux termes consécutifs est constant (suite géométrique). Le terme manquant vaut 27.
6. (1,5 pt) +∞ — Terme dominant : 5n^{3} \to +\infty.
7. (2 pts) \dfrac{e^n}{n^{2}} → +\infty ; \dfrac{n^{3}}{e^n} → 0 ; \dfrac{\ln n}{n} → 0 ; \dfrac{n^{2}}{\ln n} → +\infty — Hiérarchie en +\infty : \ln n \ll n^k \ll e^n. Donc e^n/n^{2} \to +\infty, n^{3}/e^n \to 0, \ln n / n \to 0 et n^{2}/\ln n \to +\infty.
8. (2 pts) 0 — Croissances comparées : le logarithme croît plus lentement que toute puissance de x, donc \dfrac{\ln x}{x^{3}} \to 0.
9. (2 pts) 4 — On passe d'un terme au suivant en divisant par 2 (raison \frac{1}{2}, |q|<1). Le terme manquant vaut 4. Les termes décroissent vers 0 : \lim u_n = 0.
10. (2 pts) 2 — Degrés égaux → limite = rapport des coefficients dominants = 4/2 = 2.
11. (2 pts) 2/5 — Degrés égaux → limite = rapport des coefficients dominants = 2/5 = 2/5.
12. (2,5 pts) Théorème de comparaison (u_n \ge v_n avec v_n \to +\infty) — Le bon outil dépend de la FORME de la suite : une suite monotone et bornée converge (existence, sans valeur explicite) ; un terme borné divisé par n s'encadre (gendarmes) ; une multiplication par une raison fixe est une géométrique ; une minoration par une suite qui explose relève de la comparaison. Confondre « majorée » et « majorée + monotone », ou appliquer les gendarmes sans encadrement convergent, sont les pièges classiques.

NumiÉvaluation · Terminale Spécialité

Nom : Classe : Date :

📝 Suites & limites — sujet B

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°2.

Exercice 1/ 1 pt

Soit u_n = \left(\frac{1}{4}\right)^n. Vers quoi converge u_n quand n \to +\infty ?

Coche la bonne réponse.

A. +\infty
B. 1
C. -1
D. 0

Exercice 2/ 1 pt

Quelle est \displaystyle\lim_{x \to +\infty} 5x^{3} ?

Coche la bonne réponse.

A. +\infty
B. 0
C. -\infty
D. 5

Exercice 3/ 1 pt

Quelle est \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{4x}{6x} ?

Coche la bonne réponse.

A. \frac{2}{3}
B. 0
C. +\infty
D. \frac{3}{2}

Exercice 4/ 1,5 pt

Quelle est la limite de la suite géométrique de raison q = 2 quand n \to +\infty ?

Coche la bonne réponse.

A. +∞
B. 0
C. 1
D. -∞

Exercice 5/ 1,5 pt

Limite de la suite u_n = 5n^{4} + 1 quand n \to +\infty ?

Coche la bonne réponse.

A. +∞
B. -∞
C. 0
D. 5

Exercice 6/ 1,5 pt

Quel nombre complète la suite : 1, 2, ?, 8, 16 ?

Réponse :

Exercice 7/ 2 pts

Une suite (v_n) vérifie, pour tout n \geq 1 : \dfrac{2n-1}{n} \leq v_n \leq \dfrac{2n+1}{n}. Déterminer \lim_{n\to+\infty} v_n.

Réponse :

Exercice 8/ 2 pts

Suite géométrique : 16, 8, ?, 2, 1, \dots — on divise par 2 à chaque étape. Quel est le terme manquant (noté « ? ») ?

Réponse :

Exercice 9/ 2 pts

Une suite (u_n) vérifie l'hypothèse indiquée. Classe chaque cas : la convergence est-elle garantie ?

Classe chaque élément dans la bonne colonne.

croissante et minoréedécroissante et minoréecroissante et majoréebornée (sans monotonie)

Convergence garantie	On ne peut pas conclure

Exercice 10/ 2 pts

On écrit u_n = 2 + \dfrac{\cos n}{n} ; le terme \cos n oscille sans limite mais reste borné entre -1 et 1.

a) Le terme \cos n n'a pas de limite mais est borné. Quel théorème permet de conclure sur (u_n) ?
- A. Le théorème d'encadrement (gendarmes) : encadrer u_n par deux suites de même limite
- B. Le théorème de la limite monotone (la suite est croissante et majorée)
- C. \cos n oscille, donc (u_n) n'a pas de limite
- D. La limite d'une suite géométrique de raison |q| < 1
b) On encadre : 2 - \dfrac{1}{n} \leq u_n \leq 2 + \dfrac{1}{n}. Quelle est la limite de \dfrac{1}{n} ?
Réponse :
c) Les deux bornes de l'encadrement tendent donc vers une même valeur. Quelle est la limite de (u_n) ?
Réponse :

Exercice 11/ 2 pts

Calculer \lim_{x \to +\infty} \dfrac{5x^2 + 2x}{2x^2 - 2} (réponse sous forme de fraction si besoin).

Réponse :

Exercice 12/ 2,5 pts

u_n = n + (-1)^n : pour tout n, u_n \ge n - 1, et cette borne inférieure tend vers +\infty. Quel théorème (et lui seul) permet d'établir rigoureusement le comportement de (u_n) en +\infty ?

Coche la bonne réponse.

A. Théorème des gendarmes vers une limite finie
B. La suite oscille à cause de (-1)^n, donc elle n'a pas de limite
C. Limite d'une suite géométrique de raison q>1
D. Théorème de comparaison (u_n \ge v_n avec v_n \to +\infty)

Corrigé et barème — Suites & limites — sujet B (Terminale Spécialité) · Sujet n°2

1. (1 pt) 0 — |\frac{1}{4}| < 1, donc u_n \to 0.
2. (1 pt) +\infty — 5x^{3} \to +\infty quand x \to +\infty car a = 5 > 0.
3. (1 pt) \frac{2}{3} — \frac{4x}{6x} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} (fraction simplifiée, constante).
4. (1,5 pt) +∞ — q = 2 > 1 → q^n \to +\infty.
5. (1,5 pt) +∞ — Terme dominant : 5n^{4} \to +\infty.
6. (1,5 pt) 4 — La suite est [1, 2, 4, 8, 16]. Le quotient de deux termes consécutifs est constant (suite géométrique). Le terme manquant vaut 4.
7. (2 pts) 2 — \dfrac{2n-1}{n} = 2 - \dfrac{1}{n} et \dfrac{2n+1}{n} = 2 + \dfrac{1}{n} tendent toutes les deux vers 2 ; par le théorème des gendarmes, \lim v_n = 2.
8. (2 pts) 4 — On passe d'un terme au suivant en divisant par 2 (raison \frac{1}{2}, |q|<1). Le terme manquant vaut 4. Les termes décroissent vers 0 : \lim u_n = 0.
9. (2 pts) Convergence garantie : décroissante et minorée, croissante et majorée — On ne peut pas conclure : croissante et minorée, bornée (sans monotonie) — Théorème de la limite monotone : croissante + majorée (ou décroissante + minorée) → convergente ; une suite constante à partir d'un certain rang converge aussi. En revanche, croissante + minorée peut diverger vers +\infty (ex. u_n = n), et majorée ou bornée sans monotonie peut osciller (ex. u_n = (-1)^n).
10. (2 pts) a) Le théorème d'encadrement (gendarmes) : encadrer u_n par deux suites de même limite ; b) 0 ; c) 2 — -1 \leq \cos n \leq 1 donne 2 - \dfrac{1}{n} \leq u_n \leq 2 + \dfrac{1}{n}. Les deux bornes tendent vers 2, donc u_n \to 2 (théorème d'encadrement).
11. (2 pts) 5/2 — Degrés égaux → limite = rapport des coefficients dominants = 5/2 = 5/2.
12. (2,5 pts) Théorème de comparaison (u_n \ge v_n avec v_n \to +\infty) — Le bon outil dépend de la FORME de la suite : une suite monotone et bornée converge (existence, sans valeur explicite) ; un terme borné divisé par n s'encadre (gendarmes) ; une multiplication par une raison fixe est une géométrique ; une minoration par une suite qui explose relève de la comparaison. Confondre « majorée » et « majorée + monotone », ou appliquer les gendarmes sans encadrement convergent, sont les pièges classiques.

Une évaluation Suites & limites Terminale Spécialité toujours nouvelle

Ce contrôle est généré par le moteur Numi : chaque « Nouveau sujet » produit des exercices inédits de Suites & limites (Terminale Spécialité, Spé Maths), gradués du plus simple au plus exigeant, strictement conformes au programme officiel de l'Éducation nationale. Le barème sur 20 suit la difficulté des exercices ; le corrigé occupe la deuxième page.

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