📈 Exercices à imprimer — Suites & limites (Terminale Spécialité)
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NumiFeuille d'exercices · Terminale Spécialité📈 Suites & limites
Exercice 1★☆☆☆☆
Soit u_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n. Vers quoi converge u_n quand n \to +\infty ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 2★☆☆☆☆
Soit u_n = \left(\frac{-1}{4}\right)^n. Vers quoi converge u_n quand n \to +\infty ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 3★☆☆☆☆
Quelle est la limite de la suite u_n=1/n quand n→+∞ ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 4★★☆☆☆
Soit la suite u_n = 4 \times \left(\frac{-1}{4}\right)^n. Quelle est sa limite quand n \to +\infty ?
Réponse :
Exercice 5★★☆☆☆
Limite de la suite u_n = 5n^{3} - 1 quand n \to +\infty ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 6★★☆☆☆
f est continue sur [-1;2], f(-1) = -1 et f(2) = 6. Peut-on affirmer l'existence d'un zéro de f sur ]-1;2[ ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 7★★★☆☆
On étudie la suite w_n = \sqrt{n+4} - \sqrt{n} quand n \to +\infty.
- a) Quelle est la nature de cette limite et la technique adaptée ?
- b) On pose A = \sqrt{n+4} et B = \sqrt{n}. En utilisant (A-B)(A+B) = A^2 - B^2, calculer A^2 - B^2 (le résultat est un entier).
Réponse :
- c) L'expression se réécrit \dfrac{4}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n}} : un numérateur constant sur un dénominateur qui grandit. Que peut-on conclure sur w_n ?
Exercice 8★★★☆☆
Une suite (u_n) vérifie l'hypothèse indiquée. Classe chaque cas : la convergence est-elle garantie ?
Classe chaque élément dans la bonne colonne.
croissante et majoréedécroissante et majoréedécroissante et minoréemajorée (sans monotonie)
| Convergence garantie | On ne peut pas conclure |
|---|---|
Exercice 9★★★☆☆
f est continue et strictement croissante sur [-2;3], f(-2) = -3 < 0, f(3) = 1 > 0. Donner le nombre exact de zéros de f sur [-2;3].
Réponse :
Exercice 10★★★★☆
Pour la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 2, on note S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n. On observe : 2, 6, 14, 30, ?, \dots Quelle est la somme manquante (« ? ») ?
Réponse :
Exercice 11★★★★☆
On étudie le comportement de u_n = 3(-1)^n quand n \to +\infty.
- a) Comment étudier le comportement de cette suite en +\infty ?
- b) Calculer le terme de rang pair u_{34}.
Réponse :
- c) Calculer le terme de rang impair u_{35}.
Réponse :
- d) Les rangs pairs et impairs donnent deux valeurs distinctes qui reviennent sans cesse. La suite (u_n) :
🏆 Défi★★★★★
f est continue et strictement croissante sur [a; b]. On veut établir qu'elle réalise une bijection à réciproque continue.
- a) Quelle propriété de f garantit qu'elle est injective (deux antécédents distincts ont des images distinctes) ?
- b) Par continuité et croissance stricte, quel est l'ensemble image f([a; b]) ?
- c) f réalise donc une bijection de [a; b] sur [f(a); f(b)]. Que dire de sa réciproque f^{-1} ?
Corrigé — Suites & limites (Terminale Spécialité) · Feuille n°0
- 1. 0 — |\frac{1}{2}| < 1, donc u_n \to 0.
- 2. 0 — |\frac{-1}{4}| < 1, donc u_n \to 0.
- 3. 0 — Le dénominateur croît sans borne, donc 1/n tend vers 0.
- 4. 0 — \left|\frac{-1}{4}\right| < 1, donc \left(\frac{-1}{4}\right)^n \to 0 et u_n \to 0.
- 5. +∞ — Terme dominant : 5n^{3} \to +\infty.
- 6. Oui, d'après le TVI — f(-1)\cdot f(2) = -6 < 0 (signes opposés). Par le TVI (f continue, changement de signe), il existe c\in]-1;2[ tel que f(c)=0.
- 7. a) Forme indéterminée +\infty - \infty : multiplier par la quantité conjuguée ; b) 4 ; c) w_n \to 0 (constante sur quantité qui tend vers +\infty) — Multiplier par le conjugué : w_n = \dfrac{(n+4)-n}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n}} = \dfrac{4}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n}}. Le dénominateur tend vers +\infty et le numérateur reste constant, donc w_n \to 0.
- 8. Convergence garantie : croissante et majorée, décroissante et minorée — On ne peut pas conclure : décroissante et majorée, majorée (sans monotonie) — Théorème de la limite monotone : croissante + majorée (ou décroissante + minorée) → convergente ; une suite constante à partir d'un certain rang converge aussi. En revanche, croissante + minorée peut diverger vers +\infty (ex. u_n = n), et majorée ou bornée sans monotonie peut osciller (ex. u_n = (-1)^n).
- 9. 1 — Existence par TVI (continuité + changement de signe) + unicité car f est strictement monotone (ne prend chaque valeur qu'une fois) : exactement 1 zéro.
- 10. 62 — Termes : [2, 4, 8, 16, 32]. Sommes cumulées : [2, 6, 14, 30, 62]. Formule : S_n = u_0\,\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}, ici S_{4} = 2\times\dfrac{2^{5}-1}{2-1} = 62.
- 11. a) Comparer les termes de rang pair et de rang impair ; b) 3 ; c) -3 ; d) n'a pas de limite (elle oscille entre deux valeurs) — La suite oscille entre -3 et 3 sans converger vers une valeur unique : elle n'a pas de limite.
- 🏆 a) La stricte monotonie ; b) [f(a); f(b)] ; c) Elle est continue (réciproque d'une bijection continue monotone) — Stricte monotonie ⇒ injectivité ; continuité + monotonie ⇒ f([a;b]) = [f(a); f(b)] (TVI), d'où la surjectivité sur cet intervalle. f est donc une bijection de [a; b] sur [f(a); f(b)], et sa réciproque est continue (théorème de continuité de la réciproque d'une fonction continue strictement monotone).
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