📈 Exercices à imprimer — Suites & limites (Terminale Spécialité)

Exercice 1★☆☆☆☆

Quelle est \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x}{6x} ?

Coche la bonne réponse.

• A. 0
• B. \frac{1}{2}
• C. +\infty
• D. \frac{2}{1}

Exercice 2★☆☆☆☆

Quelle est \displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x ?

Coche la bonne réponse.

• A. -\infty
• B. 0
• C. -1
• D. +\infty

Exercice 3★☆☆☆☆

Calcule \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(-4 + \frac{8}{x}\right).

Réponse :

Exercice 4★★☆☆☆

f est continue sur [-3;2], f(-3) = -1 et f(2) = -6. Peut-on affirmer l'existence d'un zéro de f sur ]-3;2[ ?

Coche la bonne réponse.

• A. Non, f ne s'annule certainement pas
• B. On ne peut pas conclure avec le TVI seul
• C. Seulement si f est dérivable
• D. Oui, d'après le TVI

Exercice 5★★☆☆☆

Une suite croissante et majorée est :

Coche la bonne réponse.

• A. Elle converge
• B. Elle diverge vers +∞
• C. Elle est constante
• D. On ne peut pas conclure

Exercice 6★★☆☆☆

\lim_{x\to+\infty} \dfrac{2x+4}{x-1} = ?

Coche la bonne réponse.

• A. 1
• B. 0
• C. 3
• D. 2

Exercice 7★★★☆☆

Une suite (v_n) vérifie, pour tout n \geq 1 : \dfrac{2n-1}{n} \leq v_n \leq \dfrac{2n+1}{n}. Déterminer \lim_{n\to+\infty} v_n.

Réponse :

Exercice 8★★★☆☆

f est continue et strictement croissante sur [-2;3], f(-2) = -2 < 0, f(3) = 2 > 0. Donner le nombre exact de zéros de f sur [-2;3].

Réponse :

Exercice 9★★★☆☆

Une suite (u_n) vérifie l'hypothèse indiquée. Classe chaque cas : la convergence est-elle garantie ?

Classe chaque élément dans la bonne colonne.

bornée (sans monotonie)croissante et majoréecroissante et minoréeconstante à partir d'un certain rang

Exercice 10★★★★☆

(u_n) est définie par u_0 = 0 et u_{n+1} = \dfrac{u_n+1}{2}. On admet qu'elle est croissante et majorée par 1.

1. a) (u_n) est croissante et majorée par 1. Quel théorème garantit qu'elle converge ?
   • A. Elle est majorée, donc elle converge (la monotonie est inutile)
   • B. Le théorème de la limite monotone (croissante + majorée \Rightarrow converge)
   • C. Elle est croissante, donc elle converge (la borne est inutile)
   • D. La limite d'une suite géométrique de raison |q| < 1
2. b) Calculer le terme u_1.

   Réponse :

3. c) (u_n) converge vers \ell. En passant à la limite dans la relation de récurrence, quelle équation vérifie \ell ?
   • A. \ell = 0
   • B. \ell = \dfrac{\ell+1}{2}
   • C. \ell = 2\ell + 1
   • D. \ell = \dfrac{1}{2}
4. d) Résoudre cette équation : quelle est la limite \ell ?

   Réponse :

Exercice 11★★★★☆

f(x) = x^2 - 3 est continue sur \mathbb{R}. On a calculé f(0) = -3 et f(2) = 1. On cherche à localiser un zéro sur [0;2].

1. a) Quel argument garantit l'existence d'un zéro de f sur cet intervalle ?
   • A. f est dérivable, ce qui suffit à garantir un zéro
   • B. f est continue et f(0), f(2) sont de signes opposés (théorème des valeurs intermédiaires)
   • C. f est croissante, donc elle admet forcément un zéro
   • D. f(0) et f(2) sont tous deux négatifs, donc il y a un zéro entre eux
2. b) Pour affiner par dichotomie, on évalue f au milieu de [0; 2]. Calculer l'image de ce milieu par f.

   Réponse :

3. c) Cette image est négatif. En comparant son signe à ceux de f(0) et f(2), dans quel sous-intervalle se trouve le zéro ?
   • A. On ne peut pas conclure sans dériver f
   • B. [1;2]
   • C. [0;1]
   • D. [0;2] tout entier

🏆 Défi★★★★★

La suite (u_n) est définie par u_0 = 3 et u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 4. On calcule : u_0 = 3, u_1 = 5{,}5, u_2 = 6{,}75, u_3 = 7{,}375, \dots Elle est croissante et on admet qu'elle converge. Conjecture sa limite.

Réponse :