📈 Exercices à imprimer — Suites & limites (Terminale Spécialité)
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NumiFeuille d'exercices · Terminale Spécialité📈 Suites & limites
Exercice 1★☆☆☆☆
Quelle est \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{6x}{2x} ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 2★☆☆☆☆
Quelle est \displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 3★☆☆☆☆
Quelle est \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 4★★☆☆☆
Limite de la suite u_n = 2n^{2} - 5 quand n \to +\infty ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 5★★☆☆☆
Quel nombre complète la suite : 3, 6, 12, ?, 48 ?
Réponse :
Exercice 6★★☆☆☆
f est continue sur [-1;2], f(-1) = -1 et f(2) = -1. Peut-on affirmer l'existence d'un zéro de f sur ]-1;2[ ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 7★★★☆☆
Suite géométrique de premier terme u_0 = 2 et de raison q = \dfrac{1}{4}.
- a) Quel critère sur la raison q détermine la limite de q^n pour une suite géométrique ?
- b) Ici |q| < 1. Quelle est alors la limite de u_n = 2 \times q^n ?
Réponse :
Exercice 8★★★☆☆
Suite géométrique : 16, 8, ?, 2, 1, \dots — on divise par 2 à chaque étape. Quel est le terme manquant (noté « ? ») ?
Réponse :
Exercice 9★★★☆☆
Croissances comparées : associe chaque suite à sa limite quand n \to +\infty.
Relie chaque élément de gauche à celui qui correspond à droite.
- \dfrac{e^n}{n^{2}} •
- \dfrac{n^{2}}{e^n} •
- \dfrac{\ln n}{n} •
- \dfrac{n^{2}}{\ln n} •
- • +\infty
- • 0
- • 0
- • +\infty
Exercice 10★★★★☆
On lève la forme indéterminée +\infty - \infty en multipliant g(x) = \sqrt{x+2} - \sqrt{x+3} par sa quantité conjuguée \sqrt{x+2} + \sqrt{x+3}.
- a) Après multiplication par le conjugué, à quoi est égal le NUMÉRATEUR ?
- b) Le numérateur vaut (x+2) - (x+3). Calculer sa valeur (c'est un entier, il ne dépend plus de x).
Réponse :
- c) L'expression devient \dfrac{-1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}}. Quelle est la limite de g(x) en +\infty ?
Exercice 11★★★★☆
On admet que (u_n) converge vers \ell. On passe à la limite dans la relation u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3.
- a) En passant à la limite des deux côtés de la relation de récurrence, quelle équation vérifie \ell ?
- b) Résoudre cette équation : \ell = ?
Réponse :
🏆 Défi★★★★★
(u_n) est définie par récurrence, on a montré qu'elle est CROISSANTE et MAJORÉE par 5 (mais sa limite n'a pas d'expression simple). Quel théorème (et lui seul) permet d'établir rigoureusement le comportement de (u_n) en +\infty ?
Coche la bonne réponse.
Corrigé — Suites & limites (Terminale Spécialité) · Feuille n°0
- 1. 3 — \frac{6x}{2x} = \frac{6}{2} = \frac{3}{1} (fraction simplifiée, constante).
- 2. 0 — Quand x \to -\infty, e^x \to 0^+ (décroissance vers 0).
- 3. 0 — Quand x \to +\infty, \frac{1}{x} \to 0.
- 4. +∞ — Terme dominant : 2n^{2} \to +\infty.
- 5. 24 — La suite est [3, 6, 12, 24, 48]. Le quotient de deux termes consécutifs est constant (suite géométrique). Le terme manquant vaut 24.
- 6. On ne peut pas conclure avec le TVI seul — f(-1) et f(2) sont de même signe : le TVI ne s'applique pas ici. f peut très bien s'annuler entre-temps (ou non) — impossible de conclure avec ces seules données.
- 7. a) La position de |q| par rapport à 1 ; b) 0 — Comme |q| = \dfrac{1}{4} < 1, q^n \to 0, donc u_n = 2 \times q^n \to 0.
- 8. 4 — On passe d'un terme au suivant en divisant par 2 (raison \frac{1}{2}, |q|<1). Le terme manquant vaut 4. Les termes décroissent vers 0 : \lim u_n = 0.
- 9. \dfrac{e^n}{n^{2}} → +\infty ; \dfrac{n^{2}}{e^n} → 0 ; \dfrac{\ln n}{n} → 0 ; \dfrac{n^{2}}{\ln n} → +\infty — Hiérarchie en +\infty : \ln n \ll n^k \ll e^n. Donc e^n/n^{2} \to +\infty, n^{2}/e^n \to 0, \ln n / n \to 0 et n^{2}/\ln n \to +\infty.
- 10. a) (x+a) - (x+b), une constante ; b) -1 ; c) 0 (numérateur constant, dénominateur \to +\infty) — En multipliant par le conjugué : g(x) = \dfrac{(x+2)-(x+3)}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}} = \dfrac{-1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}}. Numérateur constant sur dénominateur \to +\infty, donc la limite est 0.
- 11. a) \ell = \dfrac{\ell}{2} + 3 ; b) 6 — Si (u_n) \to \ell, alors \ell = \dfrac{\ell}{2} + 3, soit \ell\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) = 3, d'où \ell = 6.
- 🏆 Théorème de la limite monotone (croissante + majorée \Rightarrow converge) — Le bon outil dépend de la FORME de la suite : une suite monotone et bornée converge (existence, sans valeur explicite) ; un terme borné divisé par n s'encadre (gendarmes) ; une multiplication par une raison fixe est une géométrique ; une minoration par une suite qui explose relève de la comparaison. Confondre « majorée » et « majorée + monotone », ou appliquer les gendarmes sans encadrement convergent, sont les pièges classiques.
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