📝 Évaluation Suites & limites (Terminale Spécialité) avec corrigé
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NumiÉvaluation · Terminale Spécialité📝 Suites & limites
Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.
Exercice 1/ 1 pt
Quelle est \displaystyle\lim_{x \to +\infty} 5x^{3} ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 2/ 1 pt
Soit u_n = \left(\frac{-1}{4}\right)^n. Vers quoi converge u_n quand n \to +\infty ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 3/ 1 pt
Soit u_n = \left(\frac{1}{4}\right)^n. Vers quoi converge u_n quand n \to +\infty ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 4/ 1,5 pt
Quelle est la limite de la suite géométrique de raison q = -2 quand n \to +\infty ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 5/ 1,5 pt
Quel nombre complète la suite : 3, 9, ?, 81, 243 ?
Réponse :
Exercice 6/ 1,5 pt
Limite de la suite u_n = 5n^{3} - 1 quand n \to +\infty ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 7/ 2 pts
Croissances comparées : associe chaque suite à sa limite quand n \to +\infty.
Relie chaque élément de gauche à celui qui correspond à droite.
- \dfrac{e^n}{n^{2}} •
- \dfrac{n^{3}}{e^n} •
- \dfrac{\ln n}{n} •
- \dfrac{n^{2}}{\ln n} •
- • +\infty
- • 0
- • 0
- • +\infty
Exercice 8/ 2 pts
Calculer \lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{x^{3}}.
Réponse :
Exercice 9/ 2 pts
Suite géométrique : 16, 8, ?, 2, 1, \dots — on divise par 2 à chaque étape. Quel est le terme manquant (noté « ? ») ?
Réponse :
Exercice 10/ 2 pts
Calculer \lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x^2 - 2x}{2x^2 + 3} (réponse sous forme de fraction si besoin).
Réponse :
Exercice 11/ 2 pts
Calculer \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 + 3x}{5x^2 + 2} (réponse sous forme de fraction si besoin).
Réponse :
Exercice 12/ 2,5 pts
u_n = n + (-1)^n : pour tout n, u_n \ge n - 1, et cette borne inférieure tend vers +\infty. Quel théorème (et lui seul) permet d'établir rigoureusement le comportement de (u_n) en +\infty ?
Coche la bonne réponse.
Corrigé et barème — Suites & limites (Terminale Spécialité) · Sujet n°1
- 1. (1 pt) +\infty — 5x^{3} \to +\infty quand x \to +\infty car a = 5 > 0.
- 2. (1 pt) 0 — |\frac{-1}{4}| < 1, donc u_n \to 0.
- 3. (1 pt) 0 — |\frac{1}{4}| < 1, donc u_n \to 0.
- 4. (1,5 pt) Pas de limite (diverge) — q = -2 avec |q|>1 et q<0 → les termes alternent et tendent vers \pm\infty, pas de limite.
- 5. (1,5 pt) 27 — La suite est [3, 9, 27, 81, 243]. Le quotient de deux termes consécutifs est constant (suite géométrique). Le terme manquant vaut 27.
- 6. (1,5 pt) +∞ — Terme dominant : 5n^{3} \to +\infty.
- 7. (2 pts) \dfrac{e^n}{n^{2}} → +\infty ; \dfrac{n^{3}}{e^n} → 0 ; \dfrac{\ln n}{n} → 0 ; \dfrac{n^{2}}{\ln n} → +\infty — Hiérarchie en +\infty : \ln n \ll n^k \ll e^n. Donc e^n/n^{2} \to +\infty, n^{3}/e^n \to 0, \ln n / n \to 0 et n^{2}/\ln n \to +\infty.
- 8. (2 pts) 0 — Croissances comparées : le logarithme croît plus lentement que toute puissance de x, donc \dfrac{\ln x}{x^{3}} \to 0.
- 9. (2 pts) 4 — On passe d'un terme au suivant en divisant par 2 (raison \frac{1}{2}, |q|<1). Le terme manquant vaut 4. Les termes décroissent vers 0 : \lim u_n = 0.
- 10. (2 pts) 2 — Degrés égaux → limite = rapport des coefficients dominants = 4/2 = 2.
- 11. (2 pts) 2/5 — Degrés égaux → limite = rapport des coefficients dominants = 2/5 = 2/5.
- 12. (2,5 pts) Théorème de comparaison (u_n \ge v_n avec v_n \to +\infty) — Le bon outil dépend de la FORME de la suite : une suite monotone et bornée converge (existence, sans valeur explicite) ; un terme borné divisé par n s'encadre (gendarmes) ; une multiplication par une raison fixe est une géométrique ; une minoration par une suite qui explose relève de la comparaison. Confondre « majorée » et « majorée + monotone », ou appliquer les gendarmes sans encadrement convergent, sont les pièges classiques.
Une évaluation Suites & limites Terminale Spécialité toujours nouvelle
Ce contrôle est généré par le moteur Numi : chaque « Nouveau sujet » produit des exercices inédits de Suites & limites (Terminale Spécialité, Spé Maths), gradués du plus simple au plus exigeant, strictement conformes au programme officiel de l'Éducation nationale. Le barème sur 20 suit la difficulté des exercices ; le corrigé occupe la deuxième page.
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