📝 Évaluation Géométrie de l'espace (Terminale Spécialité) avec corrigé

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NumiÉvaluation · Terminale Spécialité

Nom : Classe : Date :

📝 Géométrie de l'espace — sujet A

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.

Exercice 1/ 1 pt

Le plan d'équation 4x + 4y + z = 1 a pour vecteur normal :

Coche la bonne réponse.

A. (1 ; 4 ; 1)
B. (4 ; 4 ; 1)

Exercice 2/ 1 pt

Le point P(4 ; 1 ; 3) appartient-il au plan x + y + z = 8 ?

Coche la bonne réponse.

A. Oui, il appartient au plan
B. Non, il n'est pas sur le plan

Exercice 3/ 1 pt

Le plan d'équation 3x + y + 3z = 1 a pour vecteur normal :

Coche la bonne réponse.

A. (3 ; 1 ; 3)
B. (1 ; 1 ; 3)
C. (1 ; 3 ; 3)
D. (3 ; 1 ; 1)

Exercice 4/ 1,5 pt

Pour la droite x=1+t, y=-2-2t, z=-2+t, un vecteur directeur est :

Coche la bonne réponse.

A. (-1; 2; -1)
B. (1; -2; -2)
C. (1; -2; 1)
D. (-2; 1; 1)

Exercice 5/ 1,5 pt

Calculer la norme de \vec{u} = (4;3;2).

Coche la bonne réponse.

A. \sqrt{28}
B. \sqrt{30}
C. \sqrt{29}
D. 9

Exercice 6/ 1,5 pt

Deux droites non coplanaires D_1 (point A, vecteur \vec{u}) et D_2 (point B, vecteur \vec{v}). Quelle formule donne la distance entre elles ?

Coche la bonne réponse.

A. d = \dfrac{\left|\vec{AB} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})\right|}{\left\|\vec{u} \times \vec{v}\right\|}
B. d = \left\|\vec{AB}\right\|
C. d = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\left\|\vec{u}\right\|\left\|\vec{v}\right\|}
D. d = 0

Exercice 7/ 2 pts

Une droite est parallèle à un plan si et seulement si :

Coche la bonne réponse.

A. La droite ne coupe pas le plan (distance constante)
B. La droite est perpendiculaire au plan
C. La droite est incluse dans le plan
D. La droite perce le plan en un point

Exercice 8/ 2 pts

Calculer \vec{u} \cdot \vec{v} pour \vec{u} = (0;1;3) et \vec{v} = (3;-2;3).

Réponse :

Exercice 9/ 2 pts

La droite D est paramétrée par : x=0+t, y=0+2t, z=1+t. Le point P(3; 6; 4) appartient à D. Pour quelle valeur du paramètre t ?

Réponse :

Exercice 10/ 2 pts

Plan parallèle à x+2y-z=3 passant par (0,0,5) ?

Coche la bonne réponse.

A. x+2y−z=−5
B. x+2y+z=5
C. x+2y−z=5

Exercice 11/ 2 pts

u=(1,0,1), v=(1,1,0). cos(angle) = ?

Coche la bonne réponse.

A. \dfrac{1}{\sqrt{2}}
B. \dfrac{1}{2}
C. \dfrac{\sqrt{3}}{3}

Exercice 12/ 2,5 pts

Droite direction (1,1,1). Plan normal (1,0,0).

a) Calcule d·n pour d=(1,1,1) et n=(1,0,0). d·n = ?
Réponse :
b) Calcule la norme \|d\| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} sous forme exacte.
- A. \sqrt{3}
- B. 3
- C. \sqrt{2}
- D. \sqrt{6}
c) \sin(\theta) = \dfrac{|d \cdot n|}{\|d\|\,\|n\|} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}. Quelle est l'écriture exacte simplifiée ?
- A. \dfrac{\sqrt{3}}{3}
- B. \dfrac{1}{3}
- C. \dfrac{\sqrt{2}}{2}
- D. \dfrac{3}{\sqrt{3}}

Corrigé et barème — Géométrie de l'espace — sujet A (Terminale Spécialité) · Sujet n°1

1. (1 pt) (4 ; 4 ; 1) — Pour le plan ax + by + cz = d, le vecteur normal est \vec{n}(a ; b ; c) = (4 ; 4 ; 1).
2. (1 pt) Oui, il appartient au plan — On vérifie : 4 + 1 + 3 = 8 ✓. Oui.
3. (1 pt) (3 ; 1 ; 3) — Pour le plan ax + by + cz = d, le vecteur normal est \vec{n}(a ; b ; c) = (3 ; 1 ; 3).
4. (1,5 pt) (1; -2; 1) — Les coefficients de t donnent un vecteur directeur.
5. (1,5 pt) \sqrt{29} — \|\vec{u}\| = \sqrt{4^2+3^2+2^2} = \sqrt{29}.
6. (1,5 pt) d = \dfrac{\left|\vec{AB} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})\right|}{\left\|\vec{u} \times \vec{v}\right\|} — Pour deux droites gauches : d = \dfrac{\left|\vec{AB} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})\right|}{\left\|\vec{u} \times \vec{v}\right\|}, avec A \in D_1, B \in D_2 et \vec{u}, \vec{v} les vecteurs directeurs.
7. (2 pts) La droite ne coupe pas le plan (distance constante) — Droite parallèle au plan \Leftrightarrow la droite ne rencontre pas le plan (et n'est pas incluse dedans).
8. (2 pts) 7 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \times 3 + 1 \times (-2) + 3 \times 3 = 7.
9. (2 pts) 3 — De l'équation en x : 3 = 0+1t donne t = 3. On vérifie : y = 0+2\times3 = 6 et z = 1+1\times3 = 4. Donc t = 3.
10. (2 pts) x+2y−z=−5 — Même normale (1,2,−1). Éq: 1(x−0)+2(y−0)−1(z−5)=0 → x+2y−z=−5.
11. (2 pts) \dfrac{1}{2} — \cos = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|} = \dfrac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}.
12. (2,5 pts) a) 1 ; b) \sqrt{3} ; c) \dfrac{\sqrt{3}}{3} — sin(angle droite-plan) = |cos(droite, normale)|.

NumiÉvaluation · Terminale Spécialité

Nom : Classe : Date :

📝 Géométrie de l'espace — sujet B

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°2.

Exercice 1/ 1 pt

Dans l'espace, A(-3 ; -1 ; 2) et B(0 ; -1 ; 2). Coordonnées de \vec{AB} ?

Coche la bonne réponse.

A. (-3 ; -1 ; 2)
B. (4 ; 0 ; 0)
C. (-3 ; 0 ; 0)
D. (3 ; 0 ; 0)

Exercice 2/ 1 pt

Distance de l'origine O au point A(2 ; 0 ; 0) (arrondi au centième) :

Coche la bonne réponse.

A. 2
B. 4
C. 3
D. 1

Exercice 3/ 1 pt

Dans l'espace, si \vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v}, que peut-on dire de \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ?

Coche la bonne réponse.

A. Les vecteurs sont coplanaires
B. Ils forment une base de l'espace
C. On ne peut pas déterminer
D. Les vecteurs sont linéairement indépendants

Exercice 4/ 1,5 pt

Donner un vecteur normal au plan d'équation 3x - y + 3z = 2.

Coche la bonne réponse.

A. (-1; 3; 3)
B. (-3; -1; 3)
C. (3; -1; 3)
D. (3; 3; -1)

Exercice 5/ 1,5 pt

\vec{u} = (1;3;1) et \vec{v} = (2;6;2). Ces vecteurs sont-ils colinéaires ?

Coche la bonne réponse.

A. Oui, colinéaires
B. Non, non colinéaires
C. On ne peut pas conclure

Exercice 6/ 1,5 pt

Donner un vecteur normal au plan d'équation x + 2z = -1.

Coche la bonne réponse.

A. (1; 2; 0)
B. (-1; 0; 2)
C. (1; 0; 2)
D. (0; 1; 2)

Exercice 7/ 2 pts

\vec{u} = (-1;-2;3), \vec{v} = (3;2;2). Calculer \vec{u} \cdot (\vec{u} + \vec{v}).

Réponse :

Exercice 8/ 2 pts

\vec{u} = (2;-1;-1), \vec{v} = (-2;2;1), \vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v}.

a) Comment obtient-on les coordonnées de \vec{w} à partir de celles de \vec{u} et \vec{v} ?
- A. On multiplie chaque coordonnée de \vec{u} par a, celle de \vec{v} par b, puis on additionne composante par composante
- B. On additionne d'abord \vec{u} et \vec{v}, puis on multiplie le tout par a+b
- C. On multiplie les coordonnées de \vec{u} par celles de \vec{v}
b) Donne la coordonnée x de \vec{w}.
Réponse :
c) Donne la coordonnée z de \vec{w}.
Réponse :
d) Le vecteur \vec{w} est-il colinéaire à \vec{u} ?
- A. Oui, car \vec{w} est une combinaison où intervient \vec{u}
- B. Non, sauf si \vec{v} est lui-même colinéaire à \vec{u}
- C. On ne peut pas le savoir sans calculer la norme de \vec{w}

Exercice 9/ 2 pts

La droite D est paramétrée par : x=2+2t, y=-1+t, z=0+3t. Le point P(10; 3; 12) appartient à D. Pour quelle valeur du paramètre t ?

Réponse :

Exercice 10/ 2 pts

Droite D : x=0+t, y=-1+t, z=2. Plan \mathcal{P} : x+y=2.

a) Comment trouver le paramètre t du point d'intersection ?
- A. Substituer x(t) et y(t) dans l'équation du plan, puis résoudre en t
- B. Égaler le vecteur directeur de D à celui du plan
- C. Calculer la distance de D au plan et la poser égale à 0
b) Résous l'équation obtenue en injectant x(t) et y(t) dans \mathcal{P} : t = ? (fraction)
Réponse :
c) Reporte cette valeur de t dans x(t) pour obtenir l'abscisse du point. x = ? (fraction)
Réponse :
d) Quelle est la cote z du point d'intersection ?
- A. z=2, car z est constant sur D (indépendant de t)
- B. z=2+t, il faut ajouter le paramètre
- C. On ne peut pas la déterminer sans l'équation du plan en z

Exercice 11/ 2 pts

Vecteur normal \vec{n} = (2;-1;1), point A(0;1;2).

a) L'équation de \mathcal{P} s'écrit ax+by+cz=d. Comment déterminer le second membre d ?
- A. En calculant \vec{n} \cdot \overrightarrow{OA} (le plan passe par A)
- B. En calculant \|\vec{n}\|, la norme du vecteur normal
- C. En prenant d = 0 car le plan contient un point donné
b) Calcule le second membre d = \vec{n} \cdot \overrightarrow{OA}.
Réponse :
c) Injecte les coordonnées de Q(0;1;3) dans le membre de gauche 2x - y + z.
Réponse :
d) Que peut-on conclure sur la position de Q par rapport à \mathcal{P} ?
- A. Q n'appartient pas à \mathcal{P} : le membre de gauche vaut d à une constante près
- B. Q appartient à \mathcal{P} car ses coordonnées sont entières
- C. Q est le projeté orthogonal de A sur \mathcal{P}

Exercice 12/ 2,5 pts

Le plan (ABC) passe par A(-3;1;3), B(3;-2;-2), C(-1;-1;1) et admet \vec{n}=(2;-1;3) pour vecteur normal. Son équation cartésienne s'écrit 2x - y + 3z=d. Que vaut d ?

Réponse :

Corrigé et barème — Géométrie de l'espace — sujet B (Terminale Spécialité) · Sujet n°2

1. (1 pt) (3 ; 0 ; 0) — \vec{AB} = (0-(-3) ; -1-(-1) ; 2-2) = (3 ; 0 ; 0).
2. (1 pt) 2 — OA = \sqrt{2^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{4} \approx 2.
3. (1 pt) Les vecteurs sont coplanaires — \vec{w} est une combinaison linéaire de \vec{u} et \vec{v}, donc ils sont coplanaires.
4. (1,5 pt) (3; -1; 3) — Le vecteur normal se lit directement sur les coefficients : \vec{n} = (3;-1;3).
5. (1,5 pt) Oui, colinéaires — Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est multiple de l'autre. Ici \vec{v} = 2\vec{u}.
6. (1,5 pt) (1; 0; 2) — Le vecteur normal se lit directement sur les coefficients : \vec{n} = (1;0;2).
7. (2 pts) 13 — \vec{u}+\vec{v} = (2;0;5), puis \vec{u}\cdot(\vec{u}+\vec{v}) = -1\times(2) - 2\times(0) + 3\times(5) = 13.
8. (2 pts) a) On multiplie chaque coordonnée de \vec{u} par a, celle de \vec{v} par b, puis on additionne composante par composante ; b) -2 ; c) 1 ; d) Non, sauf si \vec{v} est lui-même colinéaire à \vec{u} — \vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v} = (2×2+3×(-2);\,2×(-1)+3×2;\,2×(-1)+3×1) = (-2; 4; 1). \vec{v} n'étant pas colinéaire à \vec{u}, \vec{w} ne l'est pas non plus.
9. (2 pts) 4 — De l'équation en x : 10 = 2+2t donne t = 4. On vérifie : y = -1+1\times4 = 3 et z = 0+3\times4 = 12. Donc t = 4.
10. (2 pts) a) Substituer x(t) et y(t) dans l'équation du plan, puis résoudre en t ; b) 3/2 ; c) 3/2 ; d) z=2, car z est constant sur D (indépendant de t) — En substituant : (0+t)+(-1+t)=2 → 2t=3 → t=3/2. Point : \left(\frac{3}{2};\frac{1}{2};2\right) (la cote z=2 est constante sur D).
11. (2 pts) a) En calculant \vec{n} \cdot \overrightarrow{OA} (le plan passe par A) ; b) 1 ; c) 2 ; d) Q n'appartient pas à \mathcal{P} : le membre de gauche vaut d à une constante près — d = 2(0) + (-1)(1) + 1(2) = 1, donc \mathcal{P} : 2x - y + z = 1. En Q le membre de gauche vaut 2 \neq 1 : Q \notin \mathcal{P}.
12. (2,5 pts) 2 — L'équation vaut 2x - y + 3z=d où d=\vec{n}\cdot\overrightarrow{OA} : on remplace les coordonnées de n'importe quel point du plan. Avec A(-3;1;3) : d=2\times(-3)+(-1)\times(1)+3\times(3)=2. B et C donnent la même valeur, ce qui confirme qu'ils sont coplanaires.

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