📐 Exercices à imprimer — Géométrie de l'espace (Terminale Spécialité)
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NumiFeuille d'exercices · Terminale Spécialité📐 Géométrie de l'espace
Exercice 1★☆☆☆☆
Dans l'espace, A(-2 ; 0 ; 1) et B(-3 ; -2 ; 0). Coordonnées de \vec{AB} ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 2★☆☆☆☆
Distance de l'origine O au point A(2 ; 2 ; 0) (arrondi au centième) :
Coche la bonne réponse.
Exercice 3★☆☆☆☆
Calcule \vec{u} \cdot \vec{v} avec \vec{u}(0 ; 0 ; 0) et \vec{v}(0 ; -2 ; 3).
Coche la bonne réponse.
Exercice 4★★☆☆☆
\vec{u} = (3;3;1) et \vec{v} = (7;6;2). Ces vecteurs sont-ils colinéaires ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 5★★☆☆☆
Donner un vecteur normal au plan d'équation 2x + 4z = -2.
Coche la bonne réponse.
Exercice 6★★☆☆☆
Calcule AB avec A(3;0;3) et B(5;3;5).
Coche la bonne réponse.
Exercice 7★★★☆☆
\vec{u} = (2;-2;1), \vec{v} = (1;-2;-2), \vec{w} = 3\vec{u} + 2\vec{v}.
- a) Comment obtient-on les coordonnées de \vec{w} à partir de celles de \vec{u} et \vec{v} ?
- b) Donne la coordonnée x de \vec{w}.
Réponse :
- c) Donne la coordonnée z de \vec{w}.
Réponse :
- d) Le vecteur \vec{w} est-il colinéaire à \vec{u} ?
Exercice 8★★★☆☆
Calculer \vec{u} \cdot \vec{v} pour \vec{u} = (0;-1;2) et \vec{v} = (2;-1;2).
Réponse :
Exercice 9★★★☆☆
\vec{u} = (-3;-3;-3), \vec{v} = (-2;3;2). Calculer \vec{u} \cdot (\vec{u} + \vec{v}).
Réponse :
Exercice 10★★★★☆
A(3;2;1), B(-1;0;0), C(2;1;-2).
- a) Comment calcule-t-on les coordonnées de \overrightarrow{AB} ?
- b) Donne les coordonnées de \overrightarrow{AB} sous la forme (x;y;z).
Réponse :
- c) Calcule le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}.
Réponse :
- d) Que peut-on en déduire sur l'angle \widehat{BAC} ?
Exercice 11★★★★☆
A(-3;-1;0), B(3;2;-1), C(1;-1;0).
- a) Comment calcule-t-on les coordonnées de \overrightarrow{AB} ?
- b) Donne les coordonnées de \overrightarrow{AB} sous la forme (x;y;z).
Réponse :
- c) Calcule le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}.
Réponse :
- d) Que peut-on en déduire sur l'angle \widehat{BAC} ?
🏆 Défi★★★★★
Le plan (ABC) passe par A(-3;0;6), B(-1;-1;4), C(3;1;-8) et admet \vec{n}=(2;2;1) pour vecteur normal. Son équation cartésienne s'écrit 2x + 2y + z=d. Que vaut d ?
Réponse :
Corrigé — Géométrie de l'espace (Terminale Spécialité) · Feuille n°0
- 1. (-1 ; -2 ; -1) — \vec{AB} = (-3--2 ; -2-0 ; 0-1) = (-1 ; -2 ; -1).
- 2. 2.83 — OA = \sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{8} \approx 2.83.
- 3. 0 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\times0 + 0\times-2 + 0\times3 = 0+0+0 = 0.
- 4. Non, non colinéaires — Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est multiple de l'autre. Ici aucun multiple entier ne convient.
- 5. (2; 0; 4) — Le vecteur normal se lit directement sur les coefficients : \vec{n} = (2;0;4).
- 6. √17 — AB = \sqrt{(2)^2 + (3)^2 + (2)^2} = \sqrt{17} = √17.
- 7. a) On multiplie chaque coordonnée de \vec{u} par a, celle de \vec{v} par b, puis on additionne composante par composante ; b) 8 ; c) -1 ; d) Non, sauf si \vec{v} est lui-même colinéaire à \vec{u} — \vec{w} = 3\vec{u} + 2\vec{v} = (3×2+2×1;\,3×-2+2×-2;\,3×1+2×-2) = (8; -10; -1). \vec{v} n'étant pas colinéaire à \vec{u}, \vec{w} ne l'est pas non plus.
- 8. 5 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \times 2 + -1 \times -1 + 2 \times 2 = 5.
- 9. 18 — \vec{u}+\vec{v} = (-5;0;-1), puis \vec{u}\cdot(\vec{u}+\vec{v}) = -3\times(-5) + -3\times(0) + -3\times(-1) = 18.
- 10. a) Coordonnées de B moins coordonnées de A ; b) (-4;-2;-1) ; c) 9 ; d) Il est aigu : le produit scalaire est strictement positif — \overrightarrow{AB}=(-4;-2;-1), \overrightarrow{AC}=(-1;-1;-3), \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=9. Positif → angle aigu.
- 11. a) Coordonnées de B moins coordonnées de A ; b) (6;3;-1) ; c) 24 ; d) Il est aigu : le produit scalaire est strictement positif — \overrightarrow{AB}=(6;3;-1), \overrightarrow{AC}=(4;0;0), \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=24. Positif → angle aigu.
- 🏆 0 — L'équation vaut 2x + 2y + z=d où d=\vec{n}\cdot\overrightarrow{OA} : on remplace les coordonnées de n'importe quel point du plan. Avec A(-3;0;6) : d=2\times(-3)+(2)\times(0)+1\times(6)=0. B et C donnent la même valeur, ce qui confirme qu'ils sont coplanaires.
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