📐 Exercices à imprimer — Géométrie de l'espace (Terminale Spécialité)
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NumiFeuille d'exercices · Terminale Spécialité📐 Géométrie de l'espace
Exercice 1★☆☆☆☆
Calcule \vec{u} \cdot \vec{v} avec \vec{u}(-2 ; 0 ; 1) et \vec{v}(0 ; 0 ; 3).
Coche la bonne réponse.
Exercice 2★☆☆☆☆
Dans l'espace, si \vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v}, que peut-on dire de \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 3★☆☆☆☆
Le plan d'équation 3x + 3y + 4z = 5 a pour vecteur normal :
Coche la bonne réponse.
Exercice 4★★☆☆☆
Calculer la norme de \vec{u} = (2;3;1).
Coche la bonne réponse.
Exercice 5★★☆☆☆
Pour la droite x=-1+2t, y=1-2t, z=-1+4t, un vecteur directeur est :
Coche la bonne réponse.
Exercice 6★★☆☆☆
Le point M(3;1;3) appartient-il au plan 2x + y + 2z=13 ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 7★★★☆☆
Calculer \vec{u} \cdot \vec{v} pour \vec{u} = (-1;3;3) et \vec{v} = (-1;1;3).
Réponse :
Exercice 8★★★☆☆
\vec{u} = (-3;-2;2), \vec{v} = (3;-2;3). Calculer \vec{u} \cdot (\vec{u} + \vec{v}).
Réponse :
Exercice 9★★★☆☆
Calculer \vec{u} \cdot \vec{v} pour \vec{u} = (3;1;3) et \vec{v} = (-2;1;3).
Réponse :
Exercice 10★★★★☆
Distance du point P(1,0,0) à droite x=0, y=t, z=0. Réponse ?
Réponse :
Exercice 11★★★★☆
La droite D de vecteur directeur \vec{w} = (3;-9;m) est perpendiculaire au plan \mathcal{P} : x - 3y + z = -1. Calculer m.
Réponse :
🏆 Défi★★★★★
\mathcal{P}_1 : x+y-z=2 (normal (1;1;-1)), \mathcal{P}_2 : x-y+z=4 (normal (1;-1;1)).
- a) Les deux normaux ne sont pas colinéaires. Quelle est la nature de \mathcal{P}_1 \cap \mathcal{P}_2, et comment l'obtenir ?
- b) En additionnant les deux équations, la variable x devient constante. Que vaut x sur la droite ? (fraction)
Réponse :
- c) On paramètre par z=\lambda. Quelle est la composante selon z d'un vecteur directeur de la droite ?
Corrigé — Géométrie de l'espace (Terminale Spécialité) · Feuille n°0
- 1. 3 — \vec{u} \cdot \vec{v} = -2\times0 + 0\times0 + 1\times3 = 0+0+3 = 3.
- 2. Les vecteurs sont coplanaires — \vec{w} est une combinaison linéaire de \vec{u} et \vec{v}, donc ils sont **coplanaires**.
- 3. (3 ; 3 ; 4) — Pour le plan ax + by + cz = d, le vecteur normal est \vec{n}(a ; b ; c) = (3 ; 3 ; 4).
- 4. \sqrt{14} — \|\vec{u}\| = \sqrt{2^2+3^2+1^2} = \sqrt{14}.
- 5. (2; -2; 4) — Les coefficients de t donnent un vecteur directeur.
- 6. Oui — On remplace: 2×3+1×1+2×3=13, donc M est sur le plan.
- 7. 13 — \vec{u} \cdot \vec{v} = -1 \times -1 + 3 \times 1 + 3 \times 3 = 13.
- 8. 18 — \vec{u}+\vec{v} = (0;-4;5), puis \vec{u}\cdot(\vec{u}+\vec{v}) = -3\times(0) + -2\times(-4) + 2\times(5) = 18.
- 9. 4 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times -2 + 1 \times 1 + 3 \times 3 = 4.
- 10. 1 — Droite: {(0,t,0)}. Distance = 1.
- 11. 3 — D \perp \mathcal{P} ⟺ \vec{w} colinéaire au vecteur normal \vec{n}=(1;-3;1). Ici \vec{w} = 3\vec{n} (car 3=3\times1 et -9=3\times(-3)), donc m = 3\times1 = 3.
- 🏆 a) Une droite ; on résout le système des deux équations avec un paramètre libre ; b) 3 ; c) 1, car z=\lambda varie librement le long de la droite — Somme : 2x=6 → x=3 (constant). Différence : 2y-2z=-2 donne y en fonction de z. En posant z=\lambda, un vecteur directeur a pour composante z égale à 1.
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