📝 Évaluation Géométrie de l'espace (Terminale Spécialité) avec corrigé

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NumiÉvaluation · Terminale Spécialité

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📝 Géométrie de l'espace

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.

Exercice 1/ 1 pt

Le plan d'équation 4x + 4y + z = 1 a pour vecteur normal :

Coche la bonne réponse.

A. (1 ; 4 ; 1)
B. (4 ; 4 ; 1)

Exercice 2/ 1 pt

Le point P(4 ; 1 ; 3) appartient-il au plan x + y + z = 8 ?

Coche la bonne réponse.

A. Oui, il appartient au plan
B. Non, il n'est pas sur le plan

Exercice 3/ 1 pt

Le plan d'équation 3x + y + 3z = 1 a pour vecteur normal :

Coche la bonne réponse.

A. (3 ; 1 ; 3)
B. (1 ; 1 ; 3)
C. (1 ; 3 ; 3)
D. (3 ; 1 ; 1)

Exercice 4/ 1,5 pt

Pour la droite x=1+t, y=-2-2t, z=-2+t, un vecteur directeur est :

Coche la bonne réponse.

A. (-1; 2; -1)
B. (1; -2; -2)
C. (1; -2; 1)
D. (-2; 1; 1)

Exercice 5/ 1,5 pt

Calculer la norme de \vec{u} = (4;3;2).

Coche la bonne réponse.

A. \sqrt{28}
B. \sqrt{30}
C. \sqrt{29}
D. 9

Exercice 6/ 1,5 pt

Deux droites non coplanaires D_1 (point A, vecteur \vec{u}) et D_2 (point B, vecteur \vec{v}). Quelle formule donne la distance entre elles ?

Coche la bonne réponse.

A. d = \dfrac{\left|\vec{AB} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})\right|}{\left\|\vec{u} \times \vec{v}\right\|}
B. d = \left\|\vec{AB}\right\|
C. d = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\left\|\vec{u}\right\|\left\|\vec{v}\right\|}
D. d = 0

Exercice 7/ 2 pts

Une droite est parallèle à un plan si et seulement si :

Coche la bonne réponse.

A. La droite ne coupe pas le plan (distance constante)
B. La droite est perpendiculaire au plan
C. La droite est incluse dans le plan
D. La droite perce le plan en un point

Exercice 8/ 2 pts

Calculer \vec{u} \cdot \vec{v} pour \vec{u} = (0;1;3) et \vec{v} = (3;-2;3).

Réponse :

Exercice 9/ 2 pts

La droite D est paramétrée par : x=0+t, y=0+2t, z=1+t. Le point P(3; 6; 4) appartient à D. Pour quelle valeur du paramètre t ?

Réponse :

Exercice 10/ 2 pts

Plan parallèle à x+2y-z=3 passant par (0,0,5) ?

Coche la bonne réponse.

A. x+2y−z=−5
B. x+2y+z=5
C. x+2y−z=5

Exercice 11/ 2 pts

u=(1,0,1), v=(1,1,0). cos(angle) = ?

Coche la bonne réponse.

A. \dfrac{1}{\sqrt{2}}
B. \dfrac{1}{2}
C. \dfrac{\sqrt{3}}{3}

Exercice 12/ 2,5 pts

Droite direction (1,1,1). Plan normal (1,0,0).

a) Calcule d·n pour d=(1,1,1) et n=(1,0,0). d·n = ?
Réponse :
b) Calcule la norme \|d\| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} sous forme exacte.
- A. \sqrt{3}
- B. 3
- C. \sqrt{2}
- D. \sqrt{6}
c) \sin(\theta) = \dfrac{|d \cdot n|}{\|d\|\,\|n\|} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}. Quelle est l'écriture exacte simplifiée ?
- A. \dfrac{\sqrt{3}}{3}
- B. \dfrac{1}{3}
- C. \dfrac{\sqrt{2}}{2}
- D. \dfrac{3}{\sqrt{3}}

Corrigé et barème — Géométrie de l'espace (Terminale Spécialité) · Sujet n°1

1. (1 pt) (4 ; 4 ; 1) — Pour le plan ax + by + cz = d, le vecteur normal est \vec{n}(a ; b ; c) = (4 ; 4 ; 1).
2. (1 pt) Oui, il appartient au plan — On vérifie : 4 + 1 + 3 = 8 ✓. Oui.
3. (1 pt) (3 ; 1 ; 3) — Pour le plan ax + by + cz = d, le vecteur normal est \vec{n}(a ; b ; c) = (3 ; 1 ; 3).
4. (1,5 pt) (1; -2; 1) — Les coefficients de t donnent un vecteur directeur.
5. (1,5 pt) \sqrt{29} — \|\vec{u}\| = \sqrt{4^2+3^2+2^2} = \sqrt{29}.
6. (1,5 pt) d = \dfrac{\left|\vec{AB} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})\right|}{\left\|\vec{u} \times \vec{v}\right\|} — Pour deux droites gauches : d = \dfrac{\left|\vec{AB} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})\right|}{\left\|\vec{u} \times \vec{v}\right\|}, avec A \in D_1, B \in D_2 et \vec{u}, \vec{v} les vecteurs directeurs.
7. (2 pts) La droite ne coupe pas le plan (distance constante) — Droite parallèle au plan \Leftrightarrow la droite ne rencontre pas le plan (et n'est pas incluse dedans).
8. (2 pts) 7 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \times 3 + 1 \times (-2) + 3 \times 3 = 7.
9. (2 pts) 3 — De l'équation en x : 3 = 0+1t donne t = 3. On vérifie : y = 0+2\times3 = 6 et z = 1+1\times3 = 4. Donc t = 3.
10. (2 pts) x+2y−z=−5 — Même normale (1,2,−1). Éq: 1(x−0)+2(y−0)−1(z−5)=0 → x+2y−z=−5.
11. (2 pts) \dfrac{1}{2} — \cos = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|} = \dfrac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}.
12. (2,5 pts) a) 1 ; b) \sqrt{3} ; c) \dfrac{\sqrt{3}}{3} — sin(angle droite-plan) = |cos(droite, normale)|.

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