📝 Évaluation Combinatoire (Terminale Spécialité) avec corrigé
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Sujets A et B ci-dessous : exercices différents, même notion et même barème — un sujet par rangée pour limiter la copie.
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NumiÉvaluation · Terminale Spécialité📝 Combinatoire — sujet A
Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.
Exercice 1/ 1 pt
Calcule A_{6}^{3} = \dfrac{6!}{(6-3)!}.
Coche la bonne réponse.
Exercice 2/ 1 pt
|A| = 6, |B| = 10, |A \cap B| = 1. Calcule |A \cup B|.
Coche la bonne réponse.
Exercice 3/ 1 pt
Quelles sont les deux étapes d'une démonstration par récurrence ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 4/ 1,5 pt
Combien d'anagrammes (arrangements) du mot « MATHS » (5 lettres toutes différentes) ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 5/ 1,5 pt
Calculer C_{7}^{3}.
Réponse :
Exercice 6/ 1,5 pt
Calculer 4!
Coche la bonne réponse.
Exercice 7/ 2 pts
Dans le développement de (3x - 2)^{5}, quel est le coefficient de x^{4} ?
Réponse :
Exercice 8/ 2 pts
Calculer \binom{7}{5} + \binom{7}{6}.
Réponse :
Exercice 9/ 2 pts
En utilisant la relation de Pascal : \binom{7}{4} = 35 et \binom{7}{5} = 21. Calcule \binom{8}{5}.
Réponse :
Exercice 10/ 2 pts
On forme un comité de 3 personnes parmi 13. Une personne désignée d'avance doit obligatoirement en faire partie.
- a) Comment tenir compte de la condition « la personne désignée est obligatoirement dans le comité » ?
- b) Une fois la personne désignée placée d'office, combien de places reste-t-il à pourvoir dans le comité ?
Réponse :
- c) Parmi combien de personnes choisit-on ces membres restants ?
Réponse :
- d) Combien de comités respectant la condition peut-on former en tout ?
Réponse :
Exercice 11/ 2 pts
Un jeu de 52 cartes contient 13 cœurs. On tire 5 cartes sans remise.
- a) Combien de mains de 5 cartes peut-on former parmi 52 ?
Réponse :
- b) Combien de mains contiennent uniquement des cœurs (13 cœurs disponibles) ?
Réponse :
- c) La probabilité est \frac{1287}{2598960}. Sous forme décimale arrondie à 10^{-6}, elle vaut :
Exercice 12/ 2,5 pts
L'identité \binom{6}{2} = \binom{6}{4} est-elle vraie ? Choisis la justification correcte.
Coche la bonne réponse.
Corrigé et barème — Combinatoire — sujet A (Terminale Spécialité) · Sujet n°1
- 1. (1 pt) 120 — A_{6}^{3} = 6 \times 5 \times ... \times 4 = 120.
- 2. (1 pt) 15 — |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 6 + 10 - 1 = 15.
- 3. (1 pt) Initialisation, puis hérédité — Étape 1 (initialisation) : vérifier que la propriété est vraie au rang de départ. Étape 2 (hérédité) : montrer que si elle est vraie au rang n, elle l'est au rang n+1.
- 4. (1,5 pt) 120 — 5 lettres distinctes → 5! = 120 arrangements.
- 5. (1,5 pt) 35 — C_{7}^{3} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = 35.
- 6. (1,5 pt) 24 — 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24.
- 7. (2 pts) -810 — \binom{5}{4} \times (3)^{4} \times (-2)^{1} = 5 \times 81 \times (-2) = -810.
- 8. (2 pts) 28 — Relation de Pascal : \binom{7}{5} + \binom{7}{6} = \binom{8}{6} = 28.
- 9. (2 pts) 56 — \binom{8}{5} = \binom{7}{4} + \binom{7}{5} = 35 + 21 = 56.
- 10. (2 pts) a) On la place d'office, puis on choisit les membres manquants parmi les autres personnes ; b) 2 ; c) 12 ; d) 66 — La personne désignée est placée d'office. Il reste à choisir 2 membres parmi les 12 autres, sans ordre : C_{12}^{2} = 66.
- 11. (2 pts) a) 2598960 ; b) 1287 ; c) 0,000495 — P = \frac{C_{13}^5}{C_{52}^5} = \frac{1287}{2598960} \approx 0{,}000495.
- 12. (2,5 pts) Vrai : choisir k éléments à garder revient à choisir les n-k à exclure (symétrie). — On juge l'identité \binom{6}{2} = \binom{6}{4} en identifiant la règle en jeu (symétrie \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}, relation de Pascal, ou somme d'une ligne =2^n) : Vrai : choisir k éléments à garder revient à choisir les n-k à exclure (symétrie).
NumiÉvaluation · Terminale Spécialité📝 Combinatoire — sujet B
Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°2.
Exercice 1/ 1 pt
Calcule \binom{6}{1}.
Coche la bonne réponse.
Exercice 2/ 1 pt
Calcule A_{5}^{3} = \dfrac{5!}{(5-3)!}.
Coche la bonne réponse.
Exercice 3/ 1 pt
Sachant que \binom{7}{4} = 35, quelle est la valeur de \binom{7}{3} ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 4/ 1,5 pt
Par symétrie, C(9,6) est égal à :
Coche la bonne réponse.
Exercice 5/ 1,5 pt
Si P(A) = \dfrac{8}{100}, quelle est P(\overline{A}) ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 6/ 1,5 pt
Combien d'anagrammes (arrangements) du mot « CODER » (5 lettres toutes différentes) ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 7/ 2 pts
Calculer \binom{11}{5}.
Réponse :
Exercice 8/ 2 pts
En utilisant la relation de Pascal : \binom{5}{3} = 10 et \binom{5}{4} = 5. Calcule \binom{6}{4}.
Réponse :
Exercice 9/ 2 pts
On choisit 3 équipes parmi 9 sans ordre ni répétition. Combien y a-t-il de choix possibles ?
Réponse :
Exercice 10/ 2 pts
2 cadeaux distincts à répartir entre 6 personnes, chaque personne recevant au plus un cadeau.
- a) Quel modèle de dénombrement convient (cadeaux distincts, chaque personne reçoit au plus 1 cadeau) ?
- b) Combien de destinataires possibles pour le 1er cadeau ?
Réponse :
- c) Combien de destinataires restent pour le 2e cadeau ?
Réponse :
- d) Combien de distributions au total (règle du produit) ?
Réponse :
Exercice 11/ 2 pts
On tire 4 boules simultanément d'une boîte contenant 7 boules différentes. Combien de tirages possibles ?
Réponse :
Exercice 12/ 2,5 pts
Une surjection f : {1..5} → {1..2} assure que chaque élément de {1..2} est l'image d'au moins un élément de {1..5}.
- a) Nombre total de fonctions f : {1..5} → {1..2} ?
Réponse :
- b) Parmi ces 32 fonctions, laquelle des expressions représente le nombre de fonctions non surjectives (inclusion-exclusion) ?
- c) Combien y a-t-il de surjections de {1..5} vers {1..2} ? (formule des nombres de Stirling de 2e espèce : k! \times S(n,k))
Réponse :
Corrigé et barème — Combinatoire — sujet B (Terminale Spécialité) · Sujet n°2
- 1. (1 pt) 6 — \binom{6}{1} = \dfrac{6!}{1! \times 5!} = 6.
- 2. (1 pt) 60 — A_{5}^{3} = 5 \times 4 \times ... \times 3 = 60.
- 3. (1 pt) 35 — \binom{7}{3} = \binom{7}{4} = 35 (symétrie).
- 4. (1,5 pt) C(9,3) — Identité: C(n,k)=C(n,n-k), donc C(9,6)=C(9,3).
- 5. (1,5 pt) 23/25 — P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \dfrac{8}{100} = 23/25.
- 6. (1,5 pt) 120 — 5 lettres distinctes → 5! = 120 arrangements.
- 7. (2 pts) 462 — \binom{11}{5} = \dfrac{11!}{5! \times 6!} = 462.
- 8. (2 pts) 15 — \binom{6}{4} = \binom{5}{3} + \binom{5}{4} = 10 + 5 = 15.
- 9. (2 pts) 84 — \binom{9}{3} = 84.
- 10. (2 pts) a) Arrangement A_{6}^{2} (l'ordre compte) ; b) 6 ; c) 5 ; d) 30 — Chaque cadeau va à une personne distincte (arrangements). 2 parmi 6 avec ordre : A_{6}^{2} = 30.
- 11. (2 pts) 35 — Tirage simultané = combinaison (ordre ne compte pas). 4 parmi 7 : C_{7}^{4} = 35.
- 12. (2,5 pts) a) 32 ; b) 2·1 - C_{2}^{2}·0 + ... ; c) 30 — Nombre de surjections de n éléments vers k éléments = k! × S(n,k) (Stirling 2e espèce) = 30.
Une évaluation Combinatoire Terminale Spécialité toujours nouvelle
Ce contrôle est généré par le moteur Numi : chaque « Nouveau sujet » produit des exercices inédits de Combinatoire (Terminale Spécialité, Spé Maths), gradués du plus simple au plus exigeant, strictement conformes au programme officiel de l'Éducation nationale. Le barème sur 20 suit la difficulté des exercices ; le corrigé occupe la deuxième page.
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