📝 Évaluation Intégration (Terminale Complémentaire) avec corrigé

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Numi, la mascotteÉvaluation · Terminale Complémentaire
Nom : Classe : Date :

📝 Intégration — sujet A

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.

Exercice 1/ 1 pt

Une fonction y vérifie y' = 2y et y(0) = 3. Que vaut y'(0) ?

Réponse :

Exercice 2/ 1 pt

F est une primitive de f sur [3\,;\,5], avec F(3) = 3 et F(5) = -2. Calcule \displaystyle\int_{3}^{5} f(x)\,dx.

Réponse :

Exercice 3/ 1 pt

Dire que F est une primitive de f sur un intervalle I signifie :

Coche la bonne réponse.

  • A. F = f + C sur I
  • B. f' = F sur I
  • C. F' = f sur I
  • D. F(0) = f(0)

Exercice 4/ 1,5 pt

Quelle est la valeur moyenne de f(x) = 7 sur [0 ; 4] ?

Coche la bonne réponse.

  • A. 8
  • B. 7
  • C. 28
  • D. 6

Exercice 5/ 1,5 pt

Donner une primitive de f(x) = e^{2x}.

Coche la bonne réponse.

  • A. \dfrac{1}{2}e^{2x} + C
  • B. e^{2x} + C
  • C. 2e^{2x} + C
  • D. \dfrac{e^{2x}}{2x} + C

Exercice 6/ 1,5 pt

Calculer \int_{1}^{5} (3x + 1)\,dx.

Coche la bonne réponse.

  • A. 40
  • B. 42
  • C. 13
  • D. 41

Exercice 7/ 2 pts

La solution générale de y' = -y est y = k\,e^{-x}. Déterminer k sachant que y(0) = 4.

Réponse :

Exercice 8/ 2 pts

Pour y' = -2y + 7, déterminer la solution particulière constante y. (Réponse entière ou fraction irréductible.)

Réponse :

Exercice 9/ 2 pts

Calculer \int_{1}^{4} x\, dx. (Réponse entière ou fraction irréductible.)

Réponse :

Exercice 10/ 2 pts

On cherche l'aire du domaine délimité par y = x^2 et y = 3x.

  1. a) Les deux courbes se coupent en x = 0 et en un autre point. Résous x^2 = 3x : cet autre point est x = ?

    Réponse :

  2. b) Sur [0;3], quelle intégrale donne l'aire entre les deux courbes ?
    • A. \int_0^{3} (3x - x^2)\,dx
    • B. \int_0^{3} (x^2 - 3x)\,dx
    • C. \int_0^{3} (x^2 + 3x)\,dx
    • D. \int_0^{3} x^2\,dx
  3. c) Une primitive est F(x) = \dfrac{3}{2}x^2 - \dfrac{x^3}{3}. Aire = F(3) - F(0) = ? (fraction irréductible ou entier)

    Réponse :

Exercice 11/ 2 pts

f(x) = 2x(x-4) = 2x^2 - 8x est négative sur [0;4] (produit d'un facteur positif et d'un facteur négatif).

  1. a) Quel est le signe de f sur [0;4] ?
    • A. f \leq 0
    • B. f \geq 0
    • C. f change de signe
    • D. On ne peut pas savoir
  2. b) Une primitive est F(x) = \dfrac{2}{3}x^3 - 4x^2. Calcule \int_0^{4} f(x)\,dx = F(4) - F(0) (fraction irréductible ou entier).

    Réponse :

  3. c) L'aire (en u.a.) est la valeur absolue de cette intégrale. Aire = ?

    Réponse :

Exercice 12/ 2,5 pts

Sans calculer, déterminer la valeur de \int_{-1}^{1} x^{3}\,dx.

Coche la bonne réponse.

  • A. Égal à \dfrac{21^{4}}{4}.
  • B. Strictement positif : l'intégrande est une puissance de x.
  • C. Nul : la fonction est impaire, l'intervalle est symétrique.
  • D. Strictement négatif.
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Corrigé et barème — Intégration — sujet A (Terminale Complémentaire) · Sujet n°1

  1. 1. (1 pt) 6 — L'équation donne y'(0) = 2 \times y(0) = 2 \times 3 = 6.
  2. 2. (1 pt) -5 — \displaystyle\int_{3}^{5} f(x)\,dx = F(5) - F(3) = -2 - (3) = -5.
  3. 3. (1 pt) F' = f sur I — Par définition, F est une primitive de f sur I lorsque F est dérivable sur I et F' = f.
  4. 4. (1,5 pt) 7 — Valeur moyenne = \frac{1}{4} \int_{0}^{4} 7\,dx = 7.
  5. 5. (1,5 pt) \dfrac{1}{2}e^{2x} + C — Primitive de e^{ax} : e^{ax}/a → F(x) = \dfrac{1}{2}e^{2x} + C.
  6. 6. (1,5 pt) 40 — F(x)=\dfrac{3}{2}x^2+x. Résultat : F(5)-F(1)=85/2-5/2=40.
  7. 7. (2 pts) 4 — y(0) = k\,e^0 = k = 4.
  8. 8. (2 pts) 7/2 — Si y constante, y'=0 donc 0 = -2y+7 → y = 7/2.
  9. 9. (2 pts) 15/2 — \int_{1}^{4} x\, dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{4} = \frac{16}{2} - \frac{1}{2} = 15/2.
  10. 10. (2 pts) a) 3 ; b) \int_0^{3} (3x - x^2)\,dx ; c) 9/2 — Intersections : x^2 = 3x → x=0 ou x=3. Aire = \int_0^{3} (3x - x^2)\,dx = \dfrac{27}{2} - \dfrac{27}{3} = 9/2 u.a.
  11. 11. (2 pts) a) f \leq 0 ; b) -64/3 ; c) 64/3 — Aire = \left|\int_0^{4} 2x(x-4)\,dx\right| = |-64/3| = 64/3 u.a.
  12. 12. (2,5 pts) Nul : la fonction est impaire, l'intervalle est symétrique. — x \mapsto x^{3} est impaire et l'intervalle [-1;1] est symétrique : \int_{-1}^{1} x^{3}\,dx = 0 (les aires de part et d'autre de 0 s'opposent). Aucun calcul n'est nécessaire.
Pour retravailler les erreurs : ce chapitre se rejoue en ligne sur numimaths.fr, avec correction instantanée et difficulté adaptée.
Numi, la mascotteÉvaluation · Terminale Complémentaire
Nom : Classe : Date :

📝 Intégration — sujet B

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°2.

Exercice 1/ 1 pt

Calculer \int_{3}^{5} 2 \; dx.

Coche la bonne réponse.

  • A. 10
  • B. 2
  • C. 5
  • D. 4

Exercice 2/ 1 pt

Dire que F est une primitive de f sur un intervalle I signifie :

Coche la bonne réponse.

  • A. F(0) = f(0)
  • B. F' = f sur I
  • C. F = f + C sur I
  • D. f' = F sur I

Exercice 3/ 1 pt

Une fonction y vérifie y' = 3y et y(0) = 2. Que vaut y'(0) ?

Réponse :

Exercice 4/ 1,5 pt

Quelle est la solution générale de l'équation différentielle y' = 5y ?

Coche la bonne réponse.

  • A. Ce^{6x}
  • B. e^{5x} + C
  • C. Ce^{5x}
  • D. C \cdot x^{5}

Exercice 5/ 1,5 pt

Donner une primitive de f(x)=x^{5}.

Coche la bonne réponse.

  • A. \dfrac{x^{6}}{6} + C
  • B. x^{6} + C
  • C. \dfrac{x^{5}}{6} + C
  • D. 5x^{4} + C

Exercice 6/ 1,5 pt

Quelle est la valeur moyenne de f(x) = x sur [2 ; 3] ?

Coche la bonne réponse.

  • A. 5/2
  • B. 2
  • C. 5
  • D. 3

Exercice 7/ 2 pts

Pour y' = 3y + 6, déterminer la solution particulière constante y. (Réponse entière ou fraction irréductible.)

Réponse :

Exercice 8/ 2 pts

On sait que \int_{1}^{3} f(x)\,dx = 2 et \int_{3}^{4} f(x)\,dx = 8. Calculer \int_{1}^{4} f(x)\,dx.

Réponse :

Exercice 9/ 2 pts

Calculer \int_{1}^{2} 3\, dx. (Réponse entière ou fraction irréductible.)

Réponse :

Exercice 10/ 2 pts

Calcule la valeur moyenne de f(x) = x^2 sur [2;6]. (Réponse entière ou fraction irréductible.)

Réponse :

Exercice 11/ 2 pts

Sur [0\,;2], la droite y=2^2 et la parabole y=x^2 délimitent un domaine. L'aire est l'intégrale de la fonction « du haut » moins la fonction « du bas ».

  1. a) Quelle intégrale donne l'aire de ce domaine sur [0\,;2] ?
    • A. \int_0^{2} (2^2 - x^2)\,dx
    • B. \int_0^{2} (x^2 - 2^2)\,dx
    • C. \int_0^{2} (x^2 + 2^2)\,dx
    • D. \int_0^{2} x^2\,dx
  2. b) Calcule cette aire (une primitive est F(x)=4x - \dfrac{x^3}{3}). Résultat en u.a. (fraction irréductible).

    Réponse :

  3. c) Le domaine est inclus dans le rectangle [0\,;2]\times[0\,;2^2], d'aire 8. L'aire trouvée est-elle cohérente ?
    • A. Oui : elle vaut les deux tiers de 8, donc entre 0 et 8
    • B. Non : une aire ne peut pas être une fraction
    • C. Non : elle devrait dépasser 8
    • D. Impossible à dire sans tracer la figure

Exercice 12/ 2,5 pts

Sans calculer les valeurs, comparer I = \int_0^1 x\,dx et J = \int_0^1 x^{3}\,dx.

Coche la bonne réponse.

  • A. I > J : sur ]0;1[, x > x^{3} (l'exposant plus grand donne un nombre plus petit).
  • B. I = J : les deux intégrandes valent 1 en x=1.
  • C. I < J.
  • D. On ne peut pas comparer sans calculer.
Évaluation générée par numimaths.fr — conforme au programme officiel. Le corrigé et le barème sont page suivante.

Corrigé et barème — Intégration — sujet B (Terminale Complémentaire) · Sujet n°2

  1. 1. (1 pt) 4 — \int_a^b c\,dx = c(b-a) = 2(5-3) = 4.
  2. 2. (1 pt) F' = f sur I — Par définition, F est une primitive de f sur I lorsque F est dérivable sur I et F' = f.
  3. 3. (1 pt) 6 — L'équation donne y'(0) = 3 \times y(0) = 3 \times 2 = 6.
  4. 4. (1,5 pt) Ce^{5x} — La solution générale de y' = ky est y = Ce^{kx} avec C \in \mathbb{R}.
  5. 5. (1,5 pt) \dfrac{x^{6}}{6} + C — \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C, ici F(x) = \dfrac{x^{6}}{6} + C.
  6. 6. (1,5 pt) 5/2 — Valeur moyenne de x sur [a, b] = \frac{a+b}{2} = \frac{5}{2} = 5/2.
  7. 7. (2 pts) -2 — Si y constante, y'=0 donc 0 = 3y+6 → y = -2.
  8. 8. (2 pts) 10 — Relation de Chasles : \int_{1}^{4} = \int_{1}^{3} + \int_{3}^{4} = 2 + 8 = 10.
  9. 9. (2 pts) 3 — \int_{1}^{2} 3\, dx = 3 \times (2 - 1) = 3.
  10. 10. (2 pts) 52/3 — \mu = \dfrac{1}{6-2}\int_{2}^{6} x^2\,dx = \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{216}{3} - \dfrac{8}{3}\right) = \dfrac{208}{12} = 52/3.
  11. 11. (2 pts) a) \int_0^{2} (2^2 - x^2)\,dx ; b) 16/3 ; c) Oui : elle vaut les deux tiers de 8, donc entre 0 et 8 — Sur [0\,;2] la droite y=2^2 est au-dessus de y=x^2, donc aire = \int_0^{2} (2^2 - x^2)\,dx = \left[4x - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^{2} = \dfrac{2\times2^3}{3} = 16/3 u.a. C'est bien les deux tiers du rectangle englobant (aire 8).
  12. 12. (2,5 pts) I > J : sur ]0;1[, x > x^{3} (l'exposant plus grand donne un nombre plus petit). — Sur ]0;1[, 0 < x < 1 donc x^{3} < x (plus l'exposant est grand, plus la puissance est petite). Par positivité/monotonie de l'intégrale, \int_0^1 x^{3} < \int_0^1 x, soit J < I. Aucun calcul nécessaire.
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