🧮 Exercices à imprimer — Intégration (Terminale Complémentaire)
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NumiFeuille d'exercices · Terminale Complémentaire🧮 Intégration
Exercice 1★☆☆☆☆
Calculer \int_{2}^{4} 2 \; dx.
Coche la bonne réponse.
Exercice 2★★☆☆☆
Donner une primitive de f(x) = e^{-3x}.
Coche la bonne réponse.
Exercice 3★★☆☆☆
La fonction y(x)=2e^{x} est-elle solution de y'=y ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 4★★☆☆☆
Quelle est la solution générale de l'équation différentielle y' = 4y ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 5★★☆☆☆
Si f(x) < 0 pour tout x \in [a, b] (avec a < b), quel est le signe de \int_a^b f(x)\,dx ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 6★★☆☆☆
Si f(x) > 0 pour tout x \in [a, b] (avec a < b), quel est le signe de \int_a^b f(x)\,dx ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 7★★★☆☆
On sait que \int_{1}^{2} f(x)\,dx = 8 et \int_{2}^{5} f(x)\,dx = 2. Calculer \int_{1}^{5} f(x)\,dx.
Réponse :
Exercice 8★★★☆☆
Calcule \int_{-2}^{2} x \, dx. (Réponse entière ou fraction irréductible.)
Réponse :
Exercice 9★★★☆☆
Pour y' = -2y + 6, déterminer la solution particulière **constante** y. (Réponse entière ou fraction irréductible.)
Réponse :
Exercice 10★★★★☆
Sur [0\,;4], la droite y=4^2 et la parabole y=x^2 délimitent un domaine. L'aire est l'intégrale de la fonction « du haut » moins la fonction « du bas ».
- a) Quelle intégrale donne l'aire de ce domaine sur [0\,;4] ?
- b) Calcule cette aire (une primitive est F(x)=16x - \dfrac{x^3}{3}). Résultat en u.a. (fraction irréductible).
Réponse :
- c) Le domaine est inclus dans le rectangle [0\,;4]\times[0\,;4^2], d'aire 64. L'aire trouvée est-elle cohérente ?
Exercice 11★★★★☆
On résout y' = -y + 3, puis on utilise y(0) = 5.
- a) Solution particulière **constante** : poser y' = 0. On obtient y = ?
Réponse :
- b) Quelle est la forme des solutions de l'équation homogène y' = -y ?
- c) Solution générale : y = k\,e^{-x} + 3. Avec y(0) = 5, calcule k.
Réponse :
🏆 Défi★★★★★
Soit la parabole y = x^2 et la droite y = -2x + 3. Calculer l'aire (en u.a.) du domaine compris entre les deux courbes. (Réponse entière ou fraction irréductible.)
Réponse :
Corrigé — Intégration (Terminale Complémentaire) · Feuille n°0
- 1. 4 — \int_a^b c\,dx = c(b-a) = 2(4-2) = 4.
- 2. -\dfrac{1}{3}e^{-3x} + C — Primitive de e^{ax} : e^{ax}/a → F(x) = -\dfrac{1}{3}e^{-3x} + C.
- 3. Oui — y'=2e^{x}=y, donc oui.
- 4. Ce^{4x} — La solution générale de y' = ky est y = Ce^{kx} avec C \in \mathbb{R}.
- 5. Négatif — Si f < 0 sur [a,b] avec a<b, l'intégrale est strictement négative.
- 6. Positif — Si f > 0 sur [a,b] avec a<b, l'intégrale est strictement positive.
- 7. 10 — Relation de Chasles : \int_{1}^{5} = \int_{1}^{2} + \int_{2}^{5} = 8 + 2 = 10.
- 8. 0 — \int x \, dx = \dfrac{x^2}{2}. Valeur = \dfrac{2^2}{2} - \dfrac{(-2)^2}{2} = \dfrac{4}{2} - \dfrac{4}{2} = 0.
- 9. 3 — Si y constante, y'=0 donc 0 = -2y+6 → y = 3.
- 10. a) \int_0^{4} (4^2 - x^2)\,dx ; b) 128/3 ; c) Oui : elle vaut les deux tiers de 64, donc entre 0 et 64 — Sur [0\,;4] la droite y=4^2 est au-dessus de y=x^2, donc aire = \int_0^{4} (4^2 - x^2)\,dx = \left[16x - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^{4} = \dfrac{2\times4^3}{3} = 128/3 u.a. C'est bien les deux tiers du rectangle englobant (aire 64).
- 11. a) 3 ; b) k\,e^{-x} ; c) 2 — Solution générale = homogène + particulière : y = k\,e^{-x} + 3. y(0) = 5 donne k = 2, donc y = 2e^{-x} + 3.
- 🏆 32/3 — Les courbes se coupent là où x^2 = -2x + 3, soit (x-(-3))(x-(1)) = 0 : bornes x=-3 et x=1. Sur [-3;1] la droite est au-dessus, donc aire = \int_{-3}^{1} \big((-2x + 3) - x^2\big)\,dx = \dfrac{(1-(-3))^3}{6} = 32/3 u.a.
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