📝 Évaluation Suites & fonctions (Terminale Complémentaire) avec corrigé

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NumiÉvaluation · Terminale Complémentaire

Nom : Classe : Date :

📝 Suites & fonctions — sujet A

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.

Exercice 1/ 1 pt

Laquelle de ces inégalités caractérise la convexité de f sur I ?

Coche la bonne réponse.

A. f(\lambda a + (1-\lambda)b) \leq \lambda f(a)+(1-\lambda)f(b)
B. f(\lambda a + (1-\lambda)b) \geq \lambda f(a)+(1-\lambda)f(b)
C. f(a+b) \leq f(a)+f(b)
D. f(\lambda a + (1-\lambda)b) = \lambda f(a)+(1-\lambda)f(b)

Exercice 2/ 1 pt

Une suite numérique est croissante et majorée par M. Que peut-on conclure ?

Coche la bonne réponse.

A. Elle diverge car elle est croissante.
B. Elle converge vers 0.
C. Elle converge vers une limite finie \ell avec \ell \le M.
D. On ne peut pas conclure sans calculer sa limite.

Exercice 3/ 1 pt

Si f'(x) > 0 sur un intervalle I, alors :

Coche la bonne réponse.

A. f est décroissante
B. on ne sait pas
C. f est constante
D. f est croissante

Exercice 4/ 1,5 pt

Calculer la dérivée de f(x) = \ln(2x).

Coche la bonne réponse.

A. \dfrac{1}{x}
B. \dfrac{2}{x}
C. \dfrac{1}{2x}
D. \dfrac{1}{2}

Exercice 5/ 1,5 pt

Taux de variation de f(x) = x^3 entre x = 4 et x = 6.

Coche la bonne réponse.

A. 75
B. 76
C. 152
D. 77

Exercice 6/ 1,5 pt

Suite définie par u_0 = 5 et u_{n+1} = 2u_n + 3. Calculer u_2.

Coche la bonne réponse.

A. 28
B. 16
C. 30
D. 29

Exercice 7/ 2 pts

Calculer \lim_{n \to +\infty} \frac{1 n^{2}}{e^n}.

Coche la bonne réponse.

A. 0
B. +∞
C. 1
D. -1

Exercice 8/ 2 pts

Classe chaque fonction (sur son domaine usuel) selon le signe de f'' : convexe ou concave ?

Classe chaque élément dans la bonne colonne.

f(x) = \ln(x)f(x) = \sqrt{x}f(x) = e^xf(x) = -x^2

Convexe	Concave

Exercice 9/ 2 pts

Suite géométrique : 16, 8, ?, 2, 1, \dots — division par 2 à chaque étape. Quel est le terme manquant (« ? ») ?

Réponse :

Exercice 10/ 2 pts

On étudie f(x) = 4x^3 - 3x et on cherche son point d'inflexion.

a) Quelle condition caractérise un point d'inflexion de f ?
- A. f'' s'annule EN CHANGEANT DE SIGNE
- B. f' s'annule en changeant de signe
- C. f'' est positive
- D. f s'annule
b) Résous f''(x) = 0 : en quelle abscisse x ?
Réponse :
c) Calcule l'ordonnée du point d'inflexion, c'est-à-dire f en cette abscisse.
Réponse :
d) Que traduit géométriquement ce point d'inflexion ?
- A. La courbe passe de concave à convexe (la tangente traverse la courbe)
- B. La courbe atteint son maximum
- C. La courbe admet une asymptote horizontale

Exercice 11/ 2 pts

On étudie f(x) = 2x^2 - 6x + 5 sur l'intervalle [0\,;3]. On a f''(x) = 4 > 0.

a) Comme f est convexe sur [0\,;3], où faut-il chercher son minimum ?
- A. Au point où f' s'annule (s'il est dans l'intervalle)
- B. À l'une des deux bornes de l'intervalle
- C. Au milieu de l'intervalle, en x = 1{,}5
- D. Là où f'' s'annule
b) Résous f'(x) = 0 : en quelle valeur de x le minimum est-il atteint ? (fraction irréductible)
Réponse :
c) Calcule la valeur minimale de f sur l'intervalle. (fraction irréductible)
Réponse :
d) Pourquoi ne teste-t-on pas f(0) et f(3) pour le minimum ici ?
- A. Le point critique est dans l'intervalle : pour une convexe, il donne le minimum global
- B. Parce que f(0) et f(3) sont toujours égaux
- C. Parce qu'une fonction convexe n'a jamais de minimum

Exercice 12/ 2,5 pts

Une dose de 1000 mg décroît de facteur \dfrac{3}{4} par heure : D_n = 1000 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n. Au bout de combien d'heures n la dose passe-t-elle pour la première fois sous 250 mg ? (donne le plus petit entier n)

Réponse :

Corrigé et barème — Suites & fonctions — sujet A (Terminale Complémentaire) · Sujet n°1

1. (1 pt) f(\lambda a + (1-\lambda)b) \leq \lambda f(a)+(1-\lambda)f(b) — L'inégalité de convexité : pour \lambda\in[0,1], f(\lambda a+(1-\lambda)b)\leq\lambda f(a)+(1-\lambda)f(b).
2. (1 pt) Elle converge vers une limite finie \ell avec \ell \le M. — Théorème de la convergence monotone : toute suite croissante et majorée converge, donc elle admet une limite réelle finie \ell et \ell \le M.
3. (1 pt) f est croissante — Signe positif de la dérivée sur I implique croissance stricte sur I.
4. (1,5 pt) \dfrac{1}{x} — \ln(2x) = \ln 2 + \ln x, donc la dérivée est \dfrac{1}{x}.
5. (1,5 pt) 76 — \frac{f(6) - f(4)}{2} = \frac{216 - 64}{2} = 76.
6. (1,5 pt) 29 — u_1=2×5+3=13, u_2=2×13+3=29.
7. (2 pts) 0 — e^n croît plus vite que tout polynôme, donc \frac{1n^2}{e^n} \to 0.
8. (2 pts) Convexe : f(x) = e^x — Concave : f(x) = \ln(x), f(x) = \sqrt{x}, f(x) = -x^2 — f''\geq 0 \Leftrightarrow convexe ; f''\leq 0 \Leftrightarrow concave. f(x) = \ln(x) : f''(x)=-1/x^2<0 | f(x) = \sqrt{x} : f''(x)<0 sur ]0;+\infty[ | f(x) = e^x : f''(x)=e^x>0 | f(x) = -x^2 : f''(x)=-2<0.
9. (2 pts) 4 — On divise par 2 d'un terme au suivant (raison \frac{1}{2}, |q|<1). Terme manquant : 4. La suite décroît vers 0 : \lim u_n = 0.
10. (2 pts) a) f'' s'annule EN CHANGEANT DE SIGNE ; b) 0 ; c) 0 ; d) La courbe passe de concave à convexe (la tangente traverse la courbe) — Un point d'inflexion est là où f'' s'annule EN changeant de signe. Ici f''(x) = 24x s'annule en x = 0 et change de signe, et f(0) = 0 : la courbe présente une inflexion en (0\,;0) (passage concave \to convexe).
11. (2 pts) a) Au point où f' s'annule (s'il est dans l'intervalle) ; b) 3/2 ; c) 1/2 ; d) Le point critique est dans l'intervalle : pour une convexe, il donne le minimum global — f''(x) = 4 > 0 : f est convexe. Son minimum est au point critique f'(x) = 4x - 6 = 0, soit x = 3/2, qui appartient à [0\,;3]. La valeur minimale y vaut f(3/2) = 1/2. Pour une convexe, un point critique intérieur est le minimum GLOBAL : inutile de comparer aux bornes.
12. (2,5 pts) 5 — On résout \left(\dfrac{3}{4}\right)^n \le \dfrac{1}{4}. En passant au \ln (et \ln r < 0 inverse le sens) : n \ge \dfrac{\ln(1/4)}{\ln(3/4)} \approx 4{,}82. Le plus petit entier convenable est n = 5.

NumiÉvaluation · Terminale Complémentaire

Nom : Classe : Date :

📝 Suites & fonctions — sujet B

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°2.

Exercice 1/ 1 pt

Laquelle de ces inégalités caractérise la convexité de f sur I ?

Coche la bonne réponse.

A. f(a+b) \leq f(a)+f(b)
B. f(\lambda a + (1-\lambda)b) \leq \lambda f(a)+(1-\lambda)f(b)
C. f(\lambda a + (1-\lambda)b) = \lambda f(a)+(1-\lambda)f(b)
D. f(\lambda a + (1-\lambda)b) \geq \lambda f(a)+(1-\lambda)f(b)

Exercice 2/ 1 pt

Suite croissante et majorée par 10. Conclusion ?

Coche la bonne réponse.

A. converge vers une limite finie
B. oscille sans converger
C. diverge vers +∞
D. diverge vers −∞

Exercice 3/ 1 pt

Une suite est croissante et majorée par 9. Que peut-on conclure ?

Coche la bonne réponse.

A. Elle converge
B. Elle stagne
C. Elle diverge vers +∞
D. Elle oscille

Exercice 4/ 1,5 pt

Suite définie par u_0 = 4 et u_{n+1} = 3u_n + 3. Calculer u_2.

Coche la bonne réponse.

A. 18
B. 47
C. 49
D. 48

Exercice 5/ 1,5 pt

f(x) = x^2. Calculer f'(1).

Coche la bonne réponse.

A. 1
B. 3
C. 2
D. 4

Exercice 6/ 1,5 pt

Pour une fonction convexe, quelle propriété géométrique est vraie ?

Coche la bonne réponse.

A. La courbe est au-dessus de ses tangentes
B. La courbe est une droite
C. La courbe est en dessous de ses tangentes
D. La courbe coupe toujours ses tangentes

Exercice 7/ 2 pts

Suite géométrique : 81, 27, 9, ?, 1, \dots — division par 3 à chaque étape. Quel est le terme manquant (« ? ») ?

Réponse :

Exercice 8/ 2 pts

Calculer \lim_{x\to+\infty} \dfrac{3x+2}{x+1}.

Réponse :

Exercice 9/ 2 pts

La suite u_n = 3 \cdot \left(\dfrac{-1}{2}\right)^n + 5 converge car |q|<1. Calcule sa limite.

Réponse :

Exercice 10/ 2 pts

On étudie f(x) = 3x^3 - 3x et on cherche son point d'inflexion.

a) Quelle condition caractérise un point d'inflexion de f ?
- A. f'' s'annule EN CHANGEANT DE SIGNE
- B. f' s'annule en changeant de signe
- C. f'' est positive
- D. f s'annule
b) Résous f''(x) = 0 : en quelle abscisse x ?
Réponse :
c) Calcule l'ordonnée du point d'inflexion, c'est-à-dire f en cette abscisse.
Réponse :
d) Que traduit géométriquement ce point d'inflexion ?
- A. La courbe passe de concave à convexe (la tangente traverse la courbe)
- B. La courbe atteint son maximum
- C. La courbe admet une asymptote horizontale

Exercice 11/ 2 pts

\lim_{x→+∞} \dfrac{3x^2+1}{3x^2 + 3x} = ?

Coche la bonne réponse.

A. 1
B. 0
C. 3
D. ∞

Exercice 12/ 2,5 pts

Une dose de 1600 mg décroît de facteur \dfrac{3}{4} par heure : D_n = 1600 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n. Au bout de combien d'heures n la dose passe-t-elle pour la première fois sous 400 mg ? (donne le plus petit entier n)

Réponse :

Corrigé et barème — Suites & fonctions — sujet B (Terminale Complémentaire) · Sujet n°2

1. (1 pt) f(\lambda a + (1-\lambda)b) \leq \lambda f(a)+(1-\lambda)f(b) — L'inégalité de convexité : pour \lambda\in[0,1], f(\lambda a+(1-\lambda)b)\leq\lambda f(a)+(1-\lambda)f(b).
2. (1 pt) converge vers une limite finie — Théorème: suite monotone et bornée → convergente.
3. (1 pt) Elle converge — Toute suite croissante et majorée converge (théorème de la convergence monotone).
4. (1,5 pt) 48 — u_1=3×4+3=15, u_2=3×15+3=48.
5. (1,5 pt) 2 — f'(x) = 2x, donc f'(1) = 2.
6. (1,5 pt) La courbe est au-dessus de ses tangentes — Une fonction convexe a son graphe au-dessus de toutes ses tangentes.
7. (2 pts) 3 — On divise par 3 d'un terme au suivant (raison \frac{1}{3}, |q|<1). Terme manquant : 3. La suite décroît vers 0 : \lim u_n = 0.
8. (2 pts) 3 — Terme dominant : \dfrac{3x}{x} = 3.
9. (2 pts) 5 — \left(\dfrac{-1}{2}\right)^n \to 0 car |q|<1, donc u_n \to 5.
10. (2 pts) a) f'' s'annule EN CHANGEANT DE SIGNE ; b) 0 ; c) 0 ; d) La courbe passe de concave à convexe (la tangente traverse la courbe) — Un point d'inflexion est là où f'' s'annule EN changeant de signe. Ici f''(x) = 18x s'annule en x = 0 et change de signe, et f(0) = 0 : la courbe présente une inflexion en (0\,;0) (passage concave \to convexe).
11. (2 pts) 1 — Degrés égaux : limite = rapport des coefficients dominants = 3/3 = 1.
12. (2,5 pts) 5 — On résout \left(\dfrac{3}{4}\right)^n \le \dfrac{1}{4}. En passant au \ln (et \ln r < 0 inverse le sens) : n \ge \dfrac{\ln(1/4)}{\ln(3/4)} \approx 4{,}82. Le plus petit entier convenable est n = 5.

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