📈 Exercices à imprimer — Suites & fonctions (Terminale Complémentaire)
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NumiFeuille d'exercices · Terminale Complémentaire📈 Suites & fonctions
Exercice 1★☆☆☆☆
Une suite numérique est croissante et majorée par M. Que peut-on conclure ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 2★☆☆☆☆
Quelle est la limite de \ln(x) quand x \to +\infty ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 3★☆☆☆☆
Une suite est croissante et majorée par 6. Que peut-on conclure ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 4★★☆☆☆
Pour une fonction convexe, quelle propriété géométrique est vraie ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 5★★☆☆☆
La suite géométrique de raison q = 2 et u_0 = 1. Que vaut \lim_{n \to +\infty} u_n ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 6★★☆☆☆
Suite géométrique : u_0 = 1, u_1 = 3, u_2 = 9. Quelle est la raison ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 7★★★☆☆
f est continue sur chaque intervalle [a;b]. Classe chaque situation : le TVI garantit-il un zéro de f sur ]a;b[ ?
Classe chaque élément dans la bonne colonne.
f(-2)=-4 et f(2)=-1f(-1)=-5 et f(1)=1f(-3)=2 et f(2)=3f(-3)=-2 et f(1)=2
| Zéro garanti (TVI) | Pas de garantie |
|---|---|
Exercice 8★★★☆☆
Calculer \lim_{x\to+\infty} \dfrac{5x+3}{x+1}.
Réponse :
Exercice 9★★★☆☆
Donner les variations de f(x) = -2x^2 - 4x - 3.
Coche la bonne réponse.
Exercice 10★★★★☆
On étudie f(x) = 4x - \dfrac{2}{x} quand x \to +\infty.
- a) Comment montre-t-on que y = 4x pourrait être asymptote oblique ?
- b) Calcule la limite du reste f(x) - 4x quand x \to +\infty.
Réponse :
- c) Quelle est donc l'équation de l'asymptote oblique ?
- d) Près de +\infty, la courbe est-elle au-dessus ou en dessous de son asymptote ?
Exercice 11★★★★☆
On veut le nombre de solutions de x = 3\ln(x) sur ]0\,;+\infty[. On pose f(x) = x - 3\ln(x) (résoudre l'équation revient à trouver les zéros de f).
- a) Quelle démarche permet de compter les solutions sans les calculer ?
- b) On dérive f. En quelle abscisse x la dérivée f' s'annule-t-elle ?
Réponse :
- c) Que vaut approximativement le minimum de f ? (on donne \ln 2\approx0{,}69, \ln 3\approx1{,}10, \ln 4\approx1{,}39)
- d) Ce minimum est strictement NÉGATIF. Combien l'équation a-t-elle de solutions ?
🏆 Défi★★★★★
On clôture un enclos RECTANGULAIRE le long d'un mur droit (le mur forme un côté, on ne le clôture pas). On dispose de 80 m de grillage pour les TROIS autres côtés. Quelle est l'aire MAXIMALE (en \text{m}^2) que l'enclos peut atteindre ?
Réponse :
Corrigé — Suites & fonctions (Terminale Complémentaire) · Feuille n°0
- 1. Elle converge vers une limite finie \ell avec \ell \le M. — Théorème de la convergence monotone : toute suite croissante et majorée converge, donc elle admet une limite réelle finie \ell et \ell \le M.
- 2. +∞ — \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty car le logarithme est une fonction croissante non bornée.
- 3. Elle converge — Toute suite croissante et majorée converge (théorème de la convergence monotone).
- 4. La courbe est au-dessus de ses tangentes — Une fonction convexe a son graphe au-dessus de toutes ses tangentes.
- 5. +∞ — |q| = 2 > 1 : la suite diverge.
- 6. 3 — Raison q = u_1/u_0 = 3/1 = 3.
- 7. Zéro garanti (TVI) : f(-1)=-5 et f(1)=1, f(-3)=-2 et f(1)=2 — Pas de garantie : f(-2)=-4 et f(2)=-1, f(-3)=2 et f(2)=3 — TVI : si f continue sur [a;b] et f(a) et f(b) de signes opposés, il existe c\in]a;b[ avec f(c)=0. Sans changement de signe, on ne peut rien garantir.
- 8. 5 — Terme dominant : \dfrac{5x}{x} = 5.
- 9. Croissante puis décroissante — f'(x) = -4x - 4. Annulation en x_0 = -1. a = -2 < 0 : maximum.
- 10. a) En montrant que f(x) - 4x \to 0 quand x \to +\infty ; b) 0 ; c) y = 4x ; d) En dessous (car \dfrac{b}{x} < 0 en +\infty) — f(x) - 4x = \dfrac{2}{x}, dont la limite est 0 en +\infty : la droite y = 4x est asymptote oblique. Le signe du reste \dfrac{2}{x} (celui de -2) donne la position : la courbe reste en dessous de l'asymptote.
- 11. a) Étudier les variations de f et comparer son minimum à 0 (TVI) ; b) 3 ; c) -0.3 ; d) admet DEUX solutions — f(x) = x - 3\ln(x) atteint son minimum en x = 3, où f(3) \approx -0.3. Ce minimum est strictement négatif : par le TVI, f s'annule de part et d'autre de x = 3, donc l'équation admet **deux solutions**.
- 🏆 800 — En notant x la longueur des deux côtés perpendiculaires au mur, le côté parallèle mesure 80-2x et l'aire vaut A(x)=x(80-2x)=80x-2x^2. On dérive : A'(x)=80-4x, qui s'annule en x=\dfrac{80}{4}=20. Comme A''(x)=-4<0, c'est un maximum : A(20)=20\times40=800\ \text{m}^2.
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