📈 Exercices à imprimer — Suites & fonctions (Terminale Complémentaire)
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NumiFeuille d'exercices · Terminale Complémentaire📈 Suites & fonctions
Exercice 1★☆☆☆☆
Quelle est la limite de \ln(x) quand x \to +\infty ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 2★☆☆☆☆
Si f'(x) > 0 sur un intervalle I, alors :
Coche la bonne réponse.
Exercice 3★☆☆☆☆
Une suite est croissante et majorée par 6. Que peut-on conclure ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 4★★☆☆☆
Taux de variation de f(x) = x^2 entre x = 3 et x = 5.
Coche la bonne réponse.
Exercice 5★★☆☆☆
f(x) = x^2. Calculer f'(1).
Coche la bonne réponse.
Exercice 6★★☆☆☆
Suite géométrique : u_0 = 3, u_1 = 6, u_2 = 12. Quelle est la raison ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 7★★★☆☆
Associe chaque fonction à sa dérivée.
Relie chaque élément de gauche à celui qui correspond à droite.
- e^x •
- e^{4x} •
- e^{5x+2} •
- e^{2x} •
- • 2e^{2x}
- • 5e^{5x+2}
- • 4e^{4x}
- • e^x
Exercice 8★★★☆☆
Classe chaque fonction (sur son domaine usuel) selon le signe de f'' : convexe ou concave ?
Classe chaque élément dans la bonne colonne.
f(x) = x^2f(x) = -x^2f(x) = e^xf(x) = -e^x
| Convexe | Concave |
|---|---|
Exercice 9★★★☆☆
Vérifier que f(x) = 3e^{-3x} est solution de y' = -3y. Quelle est la valeur de f'(x) ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 10★★★★☆
f(x) = 3x^2 +4x. Type et position de l'extremum ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 11★★★★☆
f(x) = 4x^2 -4x. Type et position de l'extremum ?
Coche la bonne réponse.
🏆 Défi★★★★★
Une suite converge et vérifie u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\,u_n - 5 (avec u_0 = 0). Vers quelle valeur \ell tend-elle ? (donne la fraction irréductible, ex. -7/2)
Réponse :
Corrigé — Suites & fonctions (Terminale Complémentaire) · Feuille n°0
- 1. +∞ — \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty car le logarithme est une fonction croissante non bornée.
- 2. f est croissante — Signe positif de la dérivée sur I implique croissance stricte sur I.
- 3. Elle converge — Toute suite croissante et majorée converge (théorème de la convergence monotone).
- 4. 8 — \frac{f(5) - f(3)}{2} = \frac{25 - 9}{2} = 8.
- 5. 2 — f'(x) = 2x, donc f'(1) = 2.
- 6. 2 — Raison q = u_1/u_0 = 6/3 = 2.
- 7. e^x → e^x ; e^{4x} → 4e^{4x} ; e^{5x+2} → 5e^{5x+2} ; e^{2x} → 2e^{2x} — (e^{u})' = u'e^u : e^{4x} \to 4e^{4x}, e^{2x} \to 2e^{2x}, e^{5x+2} \to 5e^{5x+2} et (e^x)' = e^x.
- 8. Convexe : f(x) = x^2, f(x) = e^x — Concave : f(x) = -x^2, f(x) = -e^x — f''\geq 0 \Leftrightarrow convexe ; f''\leq 0 \Leftrightarrow concave. f(x) = x^2 : f''(x)=2>0 | f(x) = -x^2 : f''(x)=-2<0 | f(x) = e^x : f''(x)=e^x>0 | f(x) = -e^x : f''(x)=-e^x<0.
- 9. -9e^{-3x} — f'(x) = -9e^{-3x} = -3 \times f(x) = -3y. ✓
- 10. minimum en x=-2/3 — f'(x) = 6x +4. Zéro en x=-2/3. Comme a=3>0, c'est un minimum.
- 11. minimum en x=1/2 — f'(x) = 8x -4. Zéro en x=1/2. Comme a=4>0, c'est un minimum.
- 🏆 -10 — Comme la suite converge vers \ell, la limite est INVARIANTE par la relation : \ell = \dfrac{1}{2}\,\ell - 5, soit \ell\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) = -5, donc \ell = -10. (Le premier terme u_0 ne change pas la limite.)
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