📝 Évaluation Suites & fonctions (Terminale Complémentaire) avec corrigé
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NumiÉvaluation · Terminale Complémentaire📝 Suites & fonctions
Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.
Exercice 1/ 1 pt
Laquelle de ces inégalités caractérise la convexité de f sur I ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 2/ 1 pt
Une suite numérique est croissante et majorée par M. Que peut-on conclure ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 3/ 1 pt
Si f'(x) > 0 sur un intervalle I, alors :
Coche la bonne réponse.
Exercice 4/ 1,5 pt
Calculer la dérivée de f(x) = \ln(2x).
Coche la bonne réponse.
Exercice 5/ 1,5 pt
Taux de variation de f(x) = x^3 entre x = 4 et x = 6.
Coche la bonne réponse.
Exercice 6/ 1,5 pt
Suite définie par u_0 = 5 et u_{n+1} = 2u_n + 3. Calculer u_2.
Coche la bonne réponse.
Exercice 7/ 2 pts
Calculer \lim_{n \to +\infty} \frac{1 n^{2}}{e^n}.
Coche la bonne réponse.
Exercice 8/ 2 pts
Classe chaque fonction (sur son domaine usuel) selon le signe de f'' : convexe ou concave ?
Classe chaque élément dans la bonne colonne.
f(x) = \ln(x)f(x) = \sqrt{x}f(x) = e^xf(x) = -x^2
| Convexe | Concave |
|---|---|
Exercice 9/ 2 pts
Suite géométrique : 16, 8, ?, 2, 1, \dots — division par 2 à chaque étape. Quel est le terme manquant (« ? ») ?
Réponse :
Exercice 10/ 2 pts
On étudie f(x) = 4x^3 - 3x et on cherche son point d'inflexion.
- a) Quelle condition caractérise un point d'inflexion de f ?
- b) Résous f''(x) = 0 : en quelle abscisse x ?
Réponse :
- c) Calcule l'ordonnée du point d'inflexion, c'est-à-dire f en cette abscisse.
Réponse :
- d) Que traduit géométriquement ce point d'inflexion ?
Exercice 11/ 2 pts
On étudie f(x) = 2x^2 - 6x + 5 sur l'intervalle [0\,;3]. On a f''(x) = 4 > 0.
- a) Comme f est convexe sur [0\,;3], où faut-il chercher son minimum ?
- b) Résous f'(x) = 0 : en quelle valeur de x le minimum est-il atteint ? (fraction irréductible)
Réponse :
- c) Calcule la valeur minimale de f sur l'intervalle. (fraction irréductible)
Réponse :
- d) Pourquoi ne teste-t-on pas f(0) et f(3) pour le minimum ici ?
Exercice 12/ 2,5 pts
Une dose de 1000 mg décroît de facteur \dfrac{3}{4} par heure : D_n = 1000 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n. Au bout de combien d'heures n la dose passe-t-elle pour la première fois sous 250 mg ? (donne le plus petit entier n)
Réponse :
Corrigé et barème — Suites & fonctions (Terminale Complémentaire) · Sujet n°1
- 1. (1 pt) f(\lambda a + (1-\lambda)b) \leq \lambda f(a)+(1-\lambda)f(b) — L'inégalité de convexité : pour \lambda\in[0,1], f(\lambda a+(1-\lambda)b)\leq\lambda f(a)+(1-\lambda)f(b).
- 2. (1 pt) Elle converge vers une limite finie \ell avec \ell \le M. — Théorème de la convergence monotone : toute suite croissante et majorée converge, donc elle admet une limite réelle finie \ell et \ell \le M.
- 3. (1 pt) f est croissante — Signe positif de la dérivée sur I implique croissance stricte sur I.
- 4. (1,5 pt) \dfrac{1}{x} — \ln(2x) = \ln 2 + \ln x, donc la dérivée est \dfrac{1}{x}.
- 5. (1,5 pt) 76 — \frac{f(6) - f(4)}{2} = \frac{216 - 64}{2} = 76.
- 6. (1,5 pt) 29 — u_1=2×5+3=13, u_2=2×13+3=29.
- 7. (2 pts) 0 — e^n croît plus vite que tout polynôme, donc \frac{1n^2}{e^n} \to 0.
- 8. (2 pts) Convexe : f(x) = e^x — Concave : f(x) = \ln(x), f(x) = \sqrt{x}, f(x) = -x^2 — f''\geq 0 \Leftrightarrow convexe ; f''\leq 0 \Leftrightarrow concave. f(x) = \ln(x) : f''(x)=-1/x^2<0 | f(x) = \sqrt{x} : f''(x)<0 sur ]0;+\infty[ | f(x) = e^x : f''(x)=e^x>0 | f(x) = -x^2 : f''(x)=-2<0.
- 9. (2 pts) 4 — On divise par 2 d'un terme au suivant (raison \frac{1}{2}, |q|<1). Terme manquant : 4. La suite décroît vers 0 : \lim u_n = 0.
- 10. (2 pts) a) f'' s'annule EN CHANGEANT DE SIGNE ; b) 0 ; c) 0 ; d) La courbe passe de concave à convexe (la tangente traverse la courbe) — Un point d'inflexion est là où f'' s'annule EN changeant de signe. Ici f''(x) = 24x s'annule en x = 0 et change de signe, et f(0) = 0 : la courbe présente une inflexion en (0\,;0) (passage concave \to convexe).
- 11. (2 pts) a) Au point où f' s'annule (s'il est dans l'intervalle) ; b) 3/2 ; c) 1/2 ; d) Le point critique est dans l'intervalle : pour une convexe, il donne le minimum global — f''(x) = 4 > 0 : f est convexe. Son minimum est au point critique f'(x) = 4x - 6 = 0, soit x = 3/2, qui appartient à [0\,;3]. La valeur minimale y vaut f(3/2) = 1/2. Pour une convexe, un point critique intérieur est le minimum GLOBAL : inutile de comparer aux bornes.
- 12. (2,5 pts) 5 — On résout \left(\dfrac{3}{4}\right)^n \le \dfrac{1}{4}. En passant au \ln (et \ln r < 0 inverse le sens) : n \ge \dfrac{\ln(1/4)}{\ln(3/4)} \approx 4{,}82. Le plus petit entier convenable est n = 5.
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