📝 Évaluation Logique & ensembles (Seconde) avec corrigé

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Nom : Classe : Date :

📝 Logique & ensembles — sujet A

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.

Exercice 1/ 1 pt

La proposition suivante est-elle vraie ou fausse ? Le carré d'un nombre est toujours positif.

Coche la bonne réponse.

  • A. On ne peut pas savoir
  • B. Fausse
  • C. Vraie

Exercice 2/ 1 pt

La proposition suivante est-elle vraie ou fausse ? 0 est à la fois positif et négatif.

Coche la bonne réponse.

  • A. Vraie
  • B. On ne peut pas savoir
  • C. Fausse

Exercice 3/ 1 pt

La proposition « ℤ ⊂ ℕ » est :

Coche la bonne réponse.

  • A. Fausse
  • B. Impossible à déterminer
  • C. Dépend du contexte
  • D. Vraie

Exercice 4/ 1 pt

Laquelle de ces propositions est vraie concernant A = {multiples de 3} ?

Coche la bonne réponse.

  • A. 12 ∈ A = {multiples de 3}
  • B. 12 = A = {multiples de 3}
  • C. 12 ∉ A = {multiples de 3}
  • D. 12 ⊂ A = {multiples de 3}

Exercice 5/ 1,5 pt

La proposition « ∃ x ∈ ℝ, x^2 = -1 » est :

Coche la bonne réponse.

  • A. Fausse
  • B. Cela dépend
  • C. Indéfinie
  • D. Vraie

Exercice 6/ 1,5 pt

La proposition « ∀ x ∈ ℝ, x = x » est :

Coche la bonne réponse.

  • A. Indéfinie
  • B. Parfois vraie
  • C. Fausse
  • D. Vraie

Exercice 7/ 1,5 pt

Donne un contre-exemple à la proposition : « ∀ x réel, x > 0 ⟹ 1/x > 1 ».

Coche la bonne réponse.

  • A. x = 0,1
  • B. x = 2
  • C. x = 0,5
  • D. x = 0,25

Exercice 8/ 2 pts

Pour prouver que « Si n^2 est pair alors n est pair » par l'absurde, on commence par :

Coche la bonne réponse.

  • A. On montre directement que la proposition est vraie.
  • B. On utilise la contraposée pour simplifier.
  • C. On cherche un contre-exemple.
  • D. On suppose la proposition fausse et on cherche une contradiction.

Exercice 9/ 2 pts

On considère A : « x^2 = 4 » et B : « x = 2 ».

  1. a) Comment s'écrit la réciproque de « A ⟹ B » ?
    • A. B ⟹ A
    • B. ¬B ⟹ ¬A
    • C. A ⟺ B
    • D. ¬A ⟹ ¬B
  2. b) L'implication directe « x^2 = 4 ⟹ x = 2 » est-elle vraie ?
    • A. L'implication est vraie
    • B. L'implication est fausse
    • C. Cela dépend de la valeur choisie
  3. c) Et la réciproque « x = 2 ⟹ x^2 = 4 » est-elle vraie ?
    • A. La réciproque est vraie
    • B. La réciproque est fausse
    • C. Cela dépend de la valeur choisie
  4. d) Peut-on conclure à l'équivalence A ⟺ B ?
    • A. Oui : les deux sens sont vrais, donc A ⟺ B
    • B. Non : au moins un des deux sens est faux
    • C. Non : une implication et sa réciproque ne sont jamais équivalentes

Exercice 10/ 2 pts

On dresse la table de vérité de « P ∧ Q » (ET) en testant les 4 combinaisons possibles de P et Q (V/F). Sur ces 4 lignes, combien rendent « P ∧ Q » VRAIE ?

Réponse :

Exercice 11/ 3 pts

On veut prouver : n^2 pair \Rightarrow n pair. On va utiliser la contraposée.

  1. a) Contraposée de « n^2 pair ⟹ n pair » est :
    • A. n impair ⟹ n² impair
    • B. n pair ⟹ n² pair
    • C. n² impair ⟹ n pair
    • D. n impair ⟹ n² pair
  2. b) Si n est impair : n = 2k+1. Calcule n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + ?

    Réponse :

  3. c) n^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1. Donc n^2 est :
    • A. impair
    • B. pair
    • C. nul
  4. d) La contraposée « n impair ⟹ n^2 impair » est prouvée. Qu'en déduit-on ?
    • A. L'implication initiale « n^2 pair ⟹ n pair » est vraie
    • B. Seule la réciproque est démontrée
    • C. Il faut encore une preuve directe pour conclure
    • D. L'implication initiale est fausse

Exercice 12/ 2,5 pts

On étudie la parité de l'expression n^2-n, avec par exemple n = 10.

  1. a) Quelle écriture de n^2-n aide à prouver sa parité pour tout entier ?
    • A. n^2-n = n(n-1), produit de deux entiers consécutifs
    • B. n^2-n = n(n+1)
    • C. n^2-n est pair car n^2 est toujours pair
    • D. n^2-n = (n-1)^2
  2. b) Pour n=10, calcule n^2-n.

    Réponse :

  3. c) Parmi deux entiers consécutifs n et n-1, que peut-on affirmer ?
    • A. L'un des deux est nécessairement pair
    • B. Les deux sont toujours pairs
    • C. Les deux sont toujours impairs
    • D. Aucun n'est pair lorsque n est impair
  4. d) Que conclure sur n^2-n = n(n-1) ?
    • A. Il est pair pour tout entier n
    • B. Il est pair seulement quand n est pair
    • C. Il est pair seulement pour les valeurs testées
    • D. Il est impair lorsque n est impair
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Corrigé et barème — Logique & ensembles — sujet A (Seconde) · Sujet n°1

  1. 1. (1 pt) Vraie — x² ≥ 0 pour tout réel x.
  2. 2. (1 pt) Fausse — 0 est nul, ni strictement positif ni strictement négatif.
  3. 3. (1 pt) Fausse — Les entiers négatifs sont dans ℤ mais pas dans ℕ.
  4. 4. (1 pt) 12 ∈ A = {multiples de 3} — Le symbole ∈ signifie 'appartient à' et ∉ signifie 'n'appartient pas à'. Donc 12 ∈ A = {multiples de 3}.
  5. 5. (1,5 pt) Fausse — Le carré d'un réel est toujours ≥ 0, jamais -1.
  6. 6. (1,5 pt) Vraie — Toute quantité est égale à elle-même.
  7. 7. (1,5 pt) x = 2 — La proposition est fausse : Pour x=2 : 1/2 < 1.
  8. 8. (2 pts) On suppose la proposition fausse et on cherche une contradiction. — Raisonnement par l'absurde : On suppose que n est impair et on montre que n² serait impair — contradiction.
  9. 9. (2 pts) a) B ⟹ A ; b) L'implication est fausse ; c) La réciproque est vraie ; d) Non : au moins un des deux sens est faux — Réciproque de « A ⟹ B » : « B ⟹ A ». Ici réciproque vraie.
  10. 10. (2 pts) 1 — Les 4 lignes (P,Q) : (V,V), (V,F), (F,V), (F,F). « P ∧ Q » est vraie sur 1 d'entre elles.
  11. 11. (3 pts) a) n impair ⟹ n² impair ; b) 1 ; c) impair ; d) L'implication initiale « n^2 pair ⟹ n pair » est vraie — Contraposée : n impair ⟹ n^2 impair. Prouvée → implication originale vraie.
  12. 12. (2,5 pts) a) n^2-n = n(n-1), produit de deux entiers consécutifs ; b) 90 ; c) L'un des deux est nécessairement pair ; d) Il est pair pour tout entier n — n^2-n=n(n-1). Deux entiers consécutifs: l'un est pair → produit toujours pair.
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Nom : Classe : Date :

📝 Logique & ensembles — sujet B

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°2.

Exercice 1/ 1 pt

La proposition « ℕ ⊂ ℤ » est :

Coche la bonne réponse.

  • A. Fausse
  • B. Dépend du contexte
  • C. Vraie
  • D. Impossible à déterminer

Exercice 2/ 1 pt

Laquelle de ces propositions est vraie concernant B = {nombres pairs} ?

Coche la bonne réponse.

  • A. 7 ⊂ B = {nombres pairs}
  • B. 7 ∉ B = {nombres pairs}
  • C. 7 ∈ B = {nombres pairs}
  • D. 7 = B = {nombres pairs}

Exercice 3/ 1 pt

Quel symbole convient ? -1 __ ℕ

Coche la bonne réponse.

  • A. ⊂
  • B. ∉
  • C. ∈
  • D. ⊄

Exercice 4/ 1 pt

Quelle est la négation de la proposition : « P ∧ Q (P et Q) » ?

Coche la bonne réponse.

  • A. P ∨ Q
  • B. ¬(P ∧ Q) = P
  • C. ¬P ∧ ¬Q
  • D. ¬P ∨ ¬Q (non-P ou non-Q)

Exercice 5/ 1,5 pt

Quelle est la négation de : « x > 0 et y > 0 » ?

Coche la bonne réponse.

  • A. x ≠ 0 et y ≠ 0
  • B. ∃ x > 0, f(x) ≤ 0
  • C. ∀ n ∈ ℕ, n n'est pas premier
  • D. x ≤ 0 ou y ≤ 0

Exercice 6/ 1,5 pt

La proposition « ∀ n ∈ ℤ, n^2 > 0 » est :

Coche la bonne réponse.

  • A. Fausse
  • B. Parfois vraie
  • C. Indéfinie
  • D. Vraie

Exercice 7/ 1,5 pt

Quelle est la négation de : ∀ x ∈ ℝ, x^2 \geq 0 ?

Coche la bonne réponse.

  • A. ∃ x ∈ ℝ tel que x² ≥ 0
  • B. ∃ x ∈ ℝ tel que x² < 0
  • C. ∀ x ∈ ℝ, x² ≤ 0
  • D. ∀ x ∈ ℝ, x² < 0

Exercice 8/ 2 pts

A = {2, 4, 6, 8}, B = {1, 4, 5, 6, 7}.

  1. a) Que contient l'intersection A \cap B ?
    • A. Les éléments présents dans A ET dans B
    • B. Les éléments présents dans A OU dans B
    • C. Tous les éléments de A et de B réunis
    • D. Les éléments de A absents de B
  2. b) Combien d'éléments compte A \cap B ?

    Réponse :

  3. c) Combien d'éléments compte A \cup B ?

    Réponse :

Exercice 9/ 2 pts

Une équivalence A ⟺ B se vérifie en testant les DEUX implications A ⟹ B et B ⟹ A.

  1. a) Pour établir l'équivalence A ⟺ B, que faut-il prouver ?
    • A. Les deux implications A ⟹ B ET B ⟹ A
    • B. Seulement le sens direct A ⟹ B
    • C. La contraposée de A ⟹ B suffit
    • D. Un exemple où A et B sont vrais en même temps
  2. b) Le sens direct « n est pair ⟹ n^2 est pair » est-il vrai ?
    • A. Le sens direct est vrai
    • B. Le sens direct est faux
    • C. Cela dépend de la valeur choisie
  3. c) Le sens réciproque « n^2 est pair ⟹ n est pair » est-il vrai ?
    • A. Le sens réciproque est vrai
    • B. Le sens réciproque est faux
    • C. Cela dépend de la valeur choisie
  4. d) Peut-on alors conclure que l'équivalence A ⟺ B est vraie ?
    • A. Oui : les deux implications sont vraies, donc A ⟺ B
    • B. Non : au moins un des deux sens est faux
    • C. Non : il faudrait aussi une preuve par l'absurde

Exercice 10/ 2 pts

On part de l'implication « x > 2 ⟹ x > 0 ». La contraposée s'écrit ¬B ⟹ ¬A.

  1. a) Quelle est la négation ¬B de « x > 0 » ?
    • A. x ≤ 0
    • B. x ≥ 0
    • C. x > 0
    • D. x < 2
  2. b) Quelle est la négation ¬A de « x > 2 » ?
    • A. x ≤ 2
    • B. x ≥ 2
    • C. x < 0
    • D. x > 2
  3. c) Que peut-on affirmer sur la contraposée ¬B ⟹ ¬A vis-à-vis de l'implication de départ ?
    • A. Elle lui est logiquement équivalente (même valeur de vérité)
    • B. C'est sa réciproque, sans lien de vérité garanti
    • C. Elle est toujours vraie, quelle que soit l'implication
    • D. On ne peut pas conclure sans un exemple numérique

Exercice 11/ 3 pts

On étudie la proposition \forall n \in \mathbb{N}, n^2 \geq 2n.

  1. a) Pour montrer qu'une proposition « ∀ » est fausse, que suffit-il de trouver ?
    • A. un contre-exemple
    • B. un exemple qui marche
    • C. deux exemples
    • D. une démonstration
  2. b) Donne un entier n \geq 1 tel que n^2 < 2n (contre-exemple).

    Réponse :

  3. c) La proposition \forall n \in \mathbb{N}, n^2 \geq 2n est donc :
    • A. vraie
    • B. fausse
    • C. indécidable sans information supplémentaire

Exercice 12/ 2,5 pts

Une équivalence P⟺Q se démontre en prouvant P⟹Q ET Q⟹P.

  1. a) Combien de sens faut-il démontrer pour une équivalence ?

    Réponse :

  2. b) Sens direct (⟹) : n pair ⟹ n^2 pair. Si n = 2k, alors n^2 = 4k^2 = 2(2k^2). n^2 est :
    • A. pair
    • B. impair
    • C. nul
  3. c) Réciproque (⟸) : n^2 pair ⟹ n pair. On utilise la :
    • A. contraposée
    • B. absurde
    • C. récurrence
  4. d) Les deux sens sont prouvés. Que peut-on conclure ?
    • A. L'équivalence « n pair ⟺ n^2 pair » est établie
    • B. Seul le sens direct est réellement prouvé
    • C. Il manque encore la réciproque
    • D. On ne peut pas conclure une équivalence ainsi
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Corrigé et barème — Logique & ensembles — sujet B (Seconde) · Sujet n°2

  1. 1. (1 pt) Vraie — Les entiers naturels sont des entiers relatifs.
  2. 2. (1 pt) 7 ∉ B = {nombres pairs} — Le symbole ∈ signifie 'appartient à' et ∉ signifie 'n'appartient pas à'. Donc 7 ∉ B = {nombres pairs}.
  3. 3. (1 pt) ∉ — -1 n'appartient pas à ℕ.
  4. 4. (1 pt) ¬P ∨ ¬Q (non-P ou non-Q) — Négation de « P ∧ Q (P et Q) » est « ¬P ∨ ¬Q (non-P ou non-Q) ».
  5. 5. (1,5 pt) x ≤ 0 ou y ≤ 0 — La négation est : x ≤ 0 ou y ≤ 0.
  6. 6. (1,5 pt) Fausse — Pour n=0, n²=0, qui n'est pas > 0.
  7. 7. (1,5 pt) ∃ x ∈ ℝ tel que x² < 0 — La négation de ∀ devient ∃, et ≥ devient <.
  8. 8. (2 pts) a) Les éléments présents dans A ET dans B ; b) 2 ; c) 7 — A∩B = {4, 6} (2 éléments). A∪B = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8} (7 éléments).
  9. 9. (2 pts) a) Les deux implications A ⟹ B ET B ⟹ A ; b) Le sens direct est vrai ; c) Le sens réciproque est vrai ; d) Oui : les deux implications sont vraies, donc A ⟺ B — Les deux sens sont vrais (réciproque par contraposée) : équivalence.
  10. 10. (2 pts) a) x ≤ 0 ; b) x ≤ 2 ; c) Elle lui est logiquement équivalente (même valeur de vérité) — Contraposée de « x > 2 ⟹ x > 0 » : « x ≤ 0 ⟹ x ≤ 2 ». Une implication et sa contraposée sont équivalentes.
  11. 11. (3 pts) a) un contre-exemple ; b) 1 ; c) fausse — Contre-exemple n = 1 : 1² = 1 < 2 = 2×1. La proposition ∀ est fausse.
  12. 12. (2,5 pts) a) 2 ; b) pair ; c) contraposée ; d) L'équivalence « n pair ⟺ n^2 pair » est établie — n pair ⟺ n^2 pair. Sens direct : n=2k \to n^2=4k^2 pair. Réciproque par contraposée.
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Une évaluation Logique & ensembles Seconde toujours nouvelle

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