🧠 Exercices à imprimer — Logique & ensembles (Seconde)

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NumiFeuille d'exercices · Seconde

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🧠 Logique & ensembles

Exercice 1★☆☆☆☆

Classe ces symboles : **Logique** ou **Ensembles** ?

Classe chaque élément dans la bonne colonne.

⊂ (inclus dans)∪ (union)⟹ (implique)∃ (il existe)

Logique	Ensembles

Exercice 2★☆☆☆☆

Quelle est la **négation** de la proposition : « a = b » ?

Coche la bonne réponse.

A. a > b
B. a + b = 0
C. a < b
D. a ≠ b

Exercice 3★☆☆☆☆

La proposition « ℚ ⊂ ℤ » est :

Coche la bonne réponse.

A. Fausse
B. Vraie
C. Dépend du contexte
D. Impossible à déterminer

Exercice 4★☆☆☆☆

Laquelle de ces propositions est **vraie** concernant B = {nombres pairs} ?

Coche la bonne réponse.

A. 7 ∉ B = {nombres pairs}
B. 7 ∈ B = {nombres pairs}
C. 7 ⊂ B = {nombres pairs}
D. 7 = B = {nombres pairs}

Exercice 5★★☆☆☆

Quelle est la négation de : « ∃ n ∈ ℕ, n est premier » ?

Coche la bonne réponse.

A. x ≤ 0 ou y ≤ 0
B. x ≠ 0 et y ≠ 0
C. ∀ n ∈ ℕ, n n'est pas premier
D. ∃ x > 0, f(x) ≤ 0

Exercice 6★★☆☆☆

La proposition « ∃ x ∈ ℝ, x^2 = -1 » est :

Coche la bonne réponse.

A. Cela dépend
B. Vraie
C. Indéfinie
D. Fausse

Exercice 7★★☆☆☆

Quelle est la négation de : « ∀ x > 0, f(x) > 0 » ?

Coche la bonne réponse.

A. ∃ x > 0, f(x) ≤ 0
B. ∀ n ∈ ℕ, n n'est pas premier
C. x ≠ 0 et y ≠ 0
D. x ≤ 0 ou y ≤ 0

Exercice 8★★★☆☆

On dresse la table de vérité de « **¬P ∨ Q** » (non-P OU Q) en testant les **4** combinaisons possibles de P et Q (V/F). Sur ces 4 lignes, combien rendent « **¬P ∨ Q** » VRAIE ?

Réponse :

Exercice 9★★★☆☆

Associe chaque implication à sa **contraposée**.

Relie chaque élément de gauche à celui qui correspond à droite.

x > 0 ⟹ x² > 0 •
a = b ⟹ a² = b² •
P ⟹ Q •
n divisible par 6 ⟹ n pair •

• n impair ⟹ n non divisible par 6
• ¬Q ⟹ ¬P
• a² ≠ b² ⟹ a ≠ b
• x² ≤ 0 ⟹ x ≤ 0

Exercice 10★★★☆☆

On part de l'implication « x > 2 ⟹ x > 0 ». La contraposée s'écrit ¬B ⟹ ¬A.

a) Quelle est la négation ¬B de « x > 0 » ?
- A. x ≤ 0
- B. x ≥ 0
- C. x > 0
- D. x < 2
b) Quelle est la négation ¬A de « x > 2 » ?
- A. x ≤ 2
- B. x ≥ 2
- C. x < 0
- D. x > 2
c) Que peut-on affirmer sur la contraposée ¬B ⟹ ¬A vis-à-vis de l'implication de départ ?
- A. Elle lui est logiquement équivalente (même valeur de vérité)
- B. C'est sa réciproque, sans lien de vérité garanti
- C. Elle est toujours vraie, quelle que soit l'implication
- D. On ne peut pas conclure sans un exemple numérique

Exercice 11★★★★☆

|A| = 4, |B| = 3, |C| = 2.

a) Comment calcule-t-on le cardinal du produit cartésien A \times B ?
- A. |A| \times |B|
- B. |A| + |B|
- C. |A|^{|B|}
- D. |A| - |B|
b) Calcule le cardinal |A \times B|.
Réponse :
c) Calcule le cardinal |A \times B \times C|.
Réponse :
d) On ajoute un ensemble D avec |D| = 1. Que devient |A \times B \times C \times D| ?
- A. Il reste identique
- B. Il est multiplié par 0
- C. Il double
- D. Il augmente de 1

Exercice 12★★★★☆

A = [5;9], B = [11;14].

a) A ∩ B = ? (valeurs communes aux 2 intervalles)
- A. ∅
- B. [5;9]
- C. [11;14]
- D. [5;14]
b) A ∪ B = ? (valeurs dans au moins un intervalle)
- A. [5;9]∪[11;14]
- B. [5;9]
- C. [11;14]
- D. ∅
c) Que peut-on dire des intervalles A et B ?
- A. Ils ont des valeurs communes (intersection non vide)
- B. Ils sont disjoints (aucune valeur commune)
- C. On ne peut pas conclure sans les bornes exactes

Corrigé — Logique & ensembles (Seconde) · Feuille n°0

1. Logique : ⟹ (implique), ∃ (il existe) — Ensembles : ⊂ (inclus dans), ∪ (union) — Logique : ∀, ∃, ⟹, ⟺. Ensembles : ∈, ⊂, ∩, ∪.
2. a ≠ b — Négation de « a = b » est « a ≠ b ».
3. Fausse — 1/3 ∈ ℚ mais 1/3 ∉ ℤ.
4. 7 ∉ B = {nombres pairs} — Le symbole ∈ signifie 'appartient à' et ∉ signifie 'n'appartient pas à'. Donc 7 ∉ B = {nombres pairs}.
5. ∀ n ∈ ℕ, n n'est pas premier — La négation est : ∀ n ∈ ℕ, n n'est pas premier.
6. Fausse — Le carré d'un réel est toujours ≥ 0, jamais -1.
7. ∃ x > 0, f(x) ≤ 0 — La négation est : ∃ x > 0, f(x) ≤ 0.
8. 3 — Les 4 lignes (P,Q) : (V,V), (V,F), (F,V), (F,F). « ¬P ∨ Q » est vraie sur 3 d'entre elles.
9. x > 0 ⟹ x² > 0 → x² ≤ 0 ⟹ x ≤ 0 ; a = b ⟹ a² = b² → a² ≠ b² ⟹ a ≠ b ; P ⟹ Q → ¬Q ⟹ ¬P ; n divisible par 6 ⟹ n pair → n impair ⟹ n non divisible par 6 — x > 0 ⟹ x² > 0 → contraposée x² ≤ 0 ⟹ x ≤ 0 | a = b ⟹ a² = b² → contraposée a² ≠ b² ⟹ a ≠ b | P ⟹ Q → contraposée ¬Q ⟹ ¬P | n divisible par 6 ⟹ n pair → contraposée n impair ⟹ n non divisible par 6
10. a) x ≤ 0 ; b) x ≤ 2 ; c) Elle lui est logiquement équivalente (même valeur de vérité) — Contraposée de « x > 2 ⟹ x > 0 » : « x ≤ 0 ⟹ x ≤ 2 ». Une implication et sa contraposée sont équivalentes.
11. a) |A| \times |B| ; b) 12 ; c) 24 ; d) Il reste identique — |A\times B|=|A|\times|B|=12 et |A\times B\times C|=24. Multiplier par un ensemble de cardinal 1 ne change pas le total.
12. a) ∅ ; b) [5;9]∪[11;14] ; c) Ils sont disjoints (aucune valeur commune) — A∩B=∅. A∪B=[5;9]∪[11;14].

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