🧠 Exercices à imprimer — Logique & ensembles (Seconde)

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NumiFeuille d'exercices · Seconde

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🧠 Logique & ensembles

Exercice 1★☆☆☆☆

Quel symbole convient ? 10 __ {1, 4, 9, 16, 25}

Coche la bonne réponse.

A. ⊂
B. ∈
C. ⊄
D. ∉

Exercice 2★☆☆☆☆

Quelle est la **négation** de la proposition : « f est croissante » ?

Coche la bonne réponse.

A. f est décroissante
B. f est constante
C. f est affine
D. f n'est pas croissante

Exercice 3★☆☆☆☆

Quelle est la **négation** de la proposition : « a = b » ?

Coche la bonne réponse.

A. a + b = 0
B. a < b
C. a > b
D. a ≠ b

Exercice 4★☆☆☆☆

La proposition « {1,2} ⊂ {1,2,3,4} » est :

Coche la bonne réponse.

A. Vraie
B. Fausse
C. Impossible à déterminer
D. Dépend du contexte

Exercice 5★★☆☆☆

La proposition « ∀ n ∈ ℕ, n^2 ≥ 0 » est :

Coche la bonne réponse.

A. Vraie
B. Fausse
C. Indéfinie
D. Parfois vraie

Exercice 6★★☆☆☆

La proposition « ∃ n entier, n + 3 = 10 » est :

Coche la bonne réponse.

A. Vraie
B. Fausse
C. Indéfinie
D. Cela dépend

Exercice 7★★☆☆☆

Quelle est la négation de : « ∃ n ∈ ℕ, n est premier » ?

Coche la bonne réponse.

A. x ≤ 0 ou y ≤ 0
B. ∀ n ∈ ℕ, n n'est pas premier
C. ∃ x > 0, f(x) ≤ 0
D. x ≠ 0 et y ≠ 0

Exercice 8★★★☆☆

Pour prouver que « Si n^2 est pair alors n est pair » par l'absurde, on commence par :

Coche la bonne réponse.

A. On cherche un contre-exemple.
B. On suppose la proposition fausse et on cherche une contradiction.
C. On utilise la contraposée pour simplifier.
D. On montre directement que la proposition est vraie.

Exercice 9★★★☆☆

A = {1, 6, 9, 10}, B = {3, 4, 6, 8, 9}.

a) Que contient l'intersection A \cap B ?
- A. Les éléments présents dans A ET dans B
- B. Les éléments présents dans A OU dans B
- C. Tous les éléments de A et de B réunis
- D. Les éléments de A absents de B
b) Combien d'éléments compte A \cap B ?
Réponse :
c) Combien d'éléments compte A \cup B ?
Réponse :

Exercice 10★★★☆☆

Pour prouver que « Il existe une infinité de nombres premiers » par l'absurde, on commence par :

Coche la bonne réponse.

A. On montre directement que la proposition est vraie.
B. On utilise la contraposée pour simplifier.
C. On suppose la proposition fausse et on cherche une contradiction.
D. On cherche un contre-exemple.

Exercice 11★★★★☆

|A| = 4, |B| = 6, |C| = 3.

a) Comment calcule-t-on le cardinal du produit cartésien A \times B ?
- A. |A| \times |B|
- B. |A| + |B|
- C. |A|^{|B|}
- D. |A| - |B|
b) Calcule le cardinal |A \times B|.
Réponse :
c) Calcule le cardinal |A \times B \times C|.
Réponse :
d) On ajoute un ensemble D avec |D| = 1. Que devient |A \times B \times C \times D| ?
- A. Il reste identique
- B. Il est multiplié par 0
- C. Il double
- D. Il augmente de 1

Exercice 12★★★★☆

On veut prouver : n^2 pair \Rightarrow n pair. On va utiliser la contraposée.

a) Contraposée de « n^2 pair ⟹ n pair » est :
- A. n impair ⟹ n² impair
- B. n pair ⟹ n² pair
- C. n² impair ⟹ n pair
- D. n impair ⟹ n² pair
b) Si n est impair : n = 2k+1. Calcule n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + ?
Réponse :
c) n^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1. Donc n^2 est :
- A. impair
- B. pair
- C. nul
d) La contraposée « n impair ⟹ n^2 impair » est prouvée. Qu'en déduit-on ?
- A. L'implication initiale « n^2 pair ⟹ n pair » est vraie
- B. Seule la réciproque est démontrée
- C. Il faut encore une preuve directe pour conclure
- D. L'implication initiale est fausse

Corrigé — Logique & ensembles (Seconde) · Feuille n°0

1. ∉ — 10 n'appartient pas à {1, 4, 9, 16, 25}.
2. f n'est pas croissante — Négation de « f est croissante » est « f n'est pas croissante ».
3. a ≠ b — Négation de « a = b » est « a ≠ b ».
4. Vraie — Tous les éléments de {1,2} sont dans {1,2,3,4}.
5. Vraie — Le carré d'un réel est toujours positif ou nul.
6. Vraie — Pour n = 7 : 7 + 3 = 10. ✓
7. ∀ n ∈ ℕ, n n'est pas premier — La négation est : ∀ n ∈ ℕ, n n'est pas premier.
8. On suppose la proposition fausse et on cherche une contradiction. — Raisonnement par l'absurde : On suppose que n est impair et on montre que n² serait impair — contradiction.
9. a) Les éléments présents dans A ET dans B ; b) 2 ; c) 7 — A∩B = {6, 9} (2 éléments). A∪B = {1, 3, 4, 6, 8, 9, 10} (7 éléments).
10. On suppose la proposition fausse et on cherche une contradiction. — Raisonnement par l'absurde : On suppose qu'il n'en existe qu'un nombre fini, puis on construit un nouveau nombre premier.
11. a) |A| \times |B| ; b) 24 ; c) 72 ; d) Il reste identique — |A\times B|=|A|\times|B|=24 et |A\times B\times C|=72. Multiplier par un ensemble de cardinal 1 ne change pas le total.
12. a) n impair ⟹ n² impair ; b) 1 ; c) impair ; d) L'implication initiale « n^2 pair ⟹ n pair » est vraie — Contraposée : n impair ⟹ n^2 impair. Prouvée → implication originale vraie.

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