📝 Évaluation Logique & ensembles (Seconde) avec corrigé
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NumiÉvaluation · Seconde📝 Logique & ensembles
Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.
Exercice 1/ 1 pt
La proposition suivante est-elle vraie ou fausse ? Le carré d'un nombre est toujours positif.
Coche la bonne réponse.
Exercice 2/ 1 pt
La proposition suivante est-elle vraie ou fausse ? 0 est à la fois positif et négatif.
Coche la bonne réponse.
Exercice 3/ 1 pt
La proposition « ℤ ⊂ ℕ » est :
Coche la bonne réponse.
Exercice 4/ 1 pt
Laquelle de ces propositions est vraie concernant A = {multiples de 3} ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 5/ 1,5 pt
La proposition « ∃ x ∈ ℝ, x^2 = -1 » est :
Coche la bonne réponse.
Exercice 6/ 1,5 pt
La proposition « ∀ x ∈ ℝ, x = x » est :
Coche la bonne réponse.
Exercice 7/ 1,5 pt
Donne un contre-exemple à la proposition : « ∀ x réel, x > 0 ⟹ 1/x > 1 ».
Coche la bonne réponse.
Exercice 8/ 2 pts
Pour prouver que « Si n^2 est pair alors n est pair » par l'absurde, on commence par :
Coche la bonne réponse.
Exercice 9/ 2 pts
On considère A : « x^2 = 4 » et B : « x = 2 ».
- a) Comment s'écrit la réciproque de « A ⟹ B » ?
- b) L'implication directe « x^2 = 4 ⟹ x = 2 » est-elle vraie ?
- c) Et la réciproque « x = 2 ⟹ x^2 = 4 » est-elle vraie ?
- d) Peut-on conclure à l'équivalence A ⟺ B ?
Exercice 10/ 2 pts
On dresse la table de vérité de « P ∧ Q » (ET) en testant les 4 combinaisons possibles de P et Q (V/F). Sur ces 4 lignes, combien rendent « P ∧ Q » VRAIE ?
Réponse :
Exercice 11/ 3 pts
On veut prouver : n^2 pair \Rightarrow n pair. On va utiliser la contraposée.
- a) Contraposée de « n^2 pair ⟹ n pair » est :
- b) Si n est impair : n = 2k+1. Calcule n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + ?
Réponse :
- c) n^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1. Donc n^2 est :
- d) La contraposée « n impair ⟹ n^2 impair » est prouvée. Qu'en déduit-on ?
Exercice 12/ 2,5 pts
On étudie la parité de l'expression n^2-n, avec par exemple n = 10.
- a) Quelle écriture de n^2-n aide à prouver sa parité pour tout entier ?
- b) Pour n=10, calcule n^2-n.
Réponse :
- c) Parmi deux entiers consécutifs n et n-1, que peut-on affirmer ?
- d) Que conclure sur n^2-n = n(n-1) ?
Corrigé et barème — Logique & ensembles (Seconde) · Sujet n°1
- 1. (1 pt) Vraie — x² ≥ 0 pour tout réel x.
- 2. (1 pt) Fausse — 0 est nul, ni strictement positif ni strictement négatif.
- 3. (1 pt) Fausse — Les entiers négatifs sont dans ℤ mais pas dans ℕ.
- 4. (1 pt) 12 ∈ A = {multiples de 3} — Le symbole ∈ signifie 'appartient à' et ∉ signifie 'n'appartient pas à'. Donc 12 ∈ A = {multiples de 3}.
- 5. (1,5 pt) Fausse — Le carré d'un réel est toujours ≥ 0, jamais -1.
- 6. (1,5 pt) Vraie — Toute quantité est égale à elle-même.
- 7. (1,5 pt) x = 2 — La proposition est fausse : Pour x=2 : 1/2 < 1.
- 8. (2 pts) On suppose la proposition fausse et on cherche une contradiction. — Raisonnement par l'absurde : On suppose que n est impair et on montre que n² serait impair — contradiction.
- 9. (2 pts) a) B ⟹ A ; b) L'implication est fausse ; c) La réciproque est vraie ; d) Non : au moins un des deux sens est faux — Réciproque de « A ⟹ B » : « B ⟹ A ». Ici réciproque vraie.
- 10. (2 pts) 1 — Les 4 lignes (P,Q) : (V,V), (V,F), (F,V), (F,F). « P ∧ Q » est vraie sur 1 d'entre elles.
- 11. (3 pts) a) n impair ⟹ n² impair ; b) 1 ; c) impair ; d) L'implication initiale « n^2 pair ⟹ n pair » est vraie — Contraposée : n impair ⟹ n^2 impair. Prouvée → implication originale vraie.
- 12. (2,5 pts) a) n^2-n = n(n-1), produit de deux entiers consécutifs ; b) 90 ; c) L'un des deux est nécessairement pair ; d) Il est pair pour tout entier n — n^2-n=n(n-1). Deux entiers consécutifs: l'un est pair → produit toujours pair.
Une évaluation Logique & ensembles Seconde toujours nouvelle
Ce contrôle est généré par le moteur Numi : chaque « Nouveau sujet » produit des exercices inédits de Logique & ensembles (Seconde, 15 – 16 ans), gradués du plus simple au plus exigeant, strictement conformes au programme officiel de l'Éducation nationale. Le barème sur 20 suit la difficulté des exercices ; le corrigé occupe la deuxième page.
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