📝 Évaluation Géométrie & vecteurs (Seconde) avec corrigé

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NumiÉvaluation · Seconde

Nom : Classe : Date :

📝 Géométrie & vecteurs — sujet A

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.

Exercice 1/ 1 pt

Soit la droite d'équation y = -x + 5. Quel est son coefficient directeur (pente) ?

Coche la bonne réponse.

A. 1
B. x
C. 5
D. -1

Exercice 2/ 1 pt

Pour calculer tan(A), on utilise :

Coche la bonne réponse.

A. côté adjacent / hypoténuse
B. côté opposé / hypoténuse
C. hypoténuse / côté opposé
D. côté opposé / côté adjacent

Exercice 3/ 1 pt

Le triangle SBD est rectangle en B. Pour chaque côté de l'angle droit, dis s'il est adjacent ou opposé à l'angle aigu indiqué.

Classe chaque élément dans la bonne colonne.

[BD] pour l'angle en S[SB] pour l'angle en S[SB] pour l'angle en D[BD] pour l'angle en D

Côté adjacent	Côté opposé

Exercice 4/ 1,5 pt

\vec{u}(2 ; -3) et \vec{v}(1 ; 4). Quelle est la coordonnée en y de \vec{u} + \vec{v} ?

Coche la bonne réponse.

A. 4
B. -12
C. 1
D. -7

Exercice 5/ 1,5 pt

On sait que \det(\vec{u}, \vec{v}) = 13 pour \vec{u}(2\,;\,3) et \vec{v}(-3\,;\,2). Que vaut \det(\vec{v}, \vec{u}) ?

Coche la bonne réponse.

A. -12
B. 0
C. -13
D. 13

Exercice 6/ 1,5 pt

Les droites d_1 : y = 3x - 1 et d_2 : y = 3x + 1 sont-elles …

Coche la bonne réponse.

A. Parallèles
B. Ni parallèles ni perpendiculaires
C. Perpendiculaires

Exercice 7/ 2 pts

Les vecteurs \vec{u}(2\,;\,2) et \vec{v}(1\,;\,2) sont-ils colinéaires ?

Coche la bonne réponse.

A. Oui, ils sont colinéaires
B. Non, ils ne sont pas colinéaires

Exercice 8/ 2 pts

Soit A(-2\,;\,2), B(0\,;\,-1), C(0\,;\,3) et D(-2\,;\,5). En étudiant le déterminant de \vec{AB} et \vec{CD}, que peut-on dire des droites (AB) et (CD) ?

Coche la bonne réponse.

A. Les droites sont parallèles
B. Les droites sont sécantes
C. Les droites sont perpendiculaires
D. On ne peut pas conclure sans les équations des droites

Exercice 9/ 2 pts

Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à l'angle A mesure 12 et l'hypoténuse mesure 13. Quelle est la valeur de cos(A) ?

Coche la bonne réponse.

A. 5/12
B. 12/13
C. 13/12
D. 5/13

Exercice 10/ 2 pts

\vec{u} = (3 ; 1), \vec{v} = (1 ; 3).

a) Comment calcule-t-on \vec{u} \cdot \vec{v} à partir des coordonnées ?
- A. x_u x_v + y_u y_v
- B. x_u y_v + y_u x_v
- C. x_u x_v - y_u y_v
b) Calcule \vec{u} \cdot \vec{v}.
Réponse :
c) Que peut-on en déduire sur \vec{u} et \vec{v} ?
- A. Ils ne sont pas orthogonaux
- B. Ils sont orthogonaux
- C. On ne peut pas conclure sans les normes

Exercice 11/ 2 pts

A(0 ; -1), B(1 ; -2), C(2 ; -4).

a) Comment prouver que A, B et C sont alignés ?
- A. Montrer que \vec{AB} et \vec{AC} sont colinéaires (déterminant nul)
- B. Montrer que AB = AC
- C. Montrer que \vec{AB} et \vec{AC} sont orthogonaux
b) Calcule le déterminant \vec{AB}_x \times \vec{AC}_y - \vec{AB}_y \times \vec{AC}_x.
Réponse :
c) Que peut-on conclure sur A, B, C ?
- A. Les points ne sont pas alignés
- B. Les points sont alignés
- C. On ne peut pas conclure avec le déterminant

Exercice 12/ 2,5 pts

Pour quelle valeur de k les vecteurs \vec{u}(k ; 4) et \vec{v}(2 ; 5) sont-ils colinéaires ?

Coche la bonne réponse.

A. 6
B. 8/5
C. 2
D. 8

Corrigé et barème — Géométrie & vecteurs — sujet A (Seconde) · Sujet n°1

1. (1 pt) -1 — L'équation est de la forme y = ax + b, avec a = -1 (pente) et b = 5 (ordonnée à l'origine).
2. (1 pt) côté opposé / côté adjacent — SOH : sin = Opp/Hyp. CAH : cos = Adj/Hyp. TOA : tan = Opp/Adj. → côté opposé / côté adjacent.
3. (1 pt) Côté adjacent : [SB] pour l'angle en S, [BD] pour l'angle en D — Côté opposé : [BD] pour l'angle en S, [SB] pour l'angle en D — Le côté adjacent à un angle aigu est le côté de l'angle droit qui touche cet angle ; le côté opposé est celui qui lui fait face. Ainsi [SB] est adjacent à l'angle en S mais opposé à l'angle en D, et [BD] est adjacent à l'angle en D mais opposé à l'angle en S. L'hypoténuse [SD], face à l'angle droit, n'est ni l'un ni l'autre.
4. (1,5 pt) 1 — \vec{u}+\vec{v} = (2+1 ; -3+4) = (3 ; 1). Coordonnée en y = 1.
5. (1,5 pt) -13 — Échanger les deux vecteurs échange les deux produits croisés : le déterminant change de signe. Donc \det(\vec{v}, \vec{u}) = -13.
6. (1,5 pt) Parallèles — Même pente a=3 mais ordonnées différentes : les droites sont parallèles.
7. (2 pts) Non, ils ne sont pas colinéaires — Déterminant = 2\times2 - 2\times1 = 4 - 2 = 2 \neq 0 : les vecteurs ne sont pas colinéaires.
8. (2 pts) Les droites sont sécantes — \vec{AB}(2\,;\,-3) et \vec{CD}(-2\,;\,2), donc \det = 2 \times 2 - (-3) \times (-2) = -2. Déterminant non nul : les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, les droites se coupent.
9. (2 pts) 12/13 — cos(A) = côté adjacent / hypoténuse = 12/13.
10. (2 pts) a) x_u x_v + y_u y_v ; b) 6 ; c) Ils ne sont pas orthogonaux — \vec{u}\cdot\vec{v} = (3)\times(1) + (1)\times(3) = 3 + 3 = 6. Non orthogonaux.
11. (2 pts) a) Montrer que \vec{AB} et \vec{AC} sont colinéaires (déterminant nul) ; b) -1 ; c) Les points ne sont pas alignés — Déterminant = -1. \neq 0 : \vec{AB} et \vec{AC} ne sont pas colinéaires, donc A, B, C ne sont pas alignés.
12. (2,5 pts) 8/5 — Colinéaires ↔ déterminant = k\times5 - 4\times2 = 0 → k = \frac{4\times2}{5} = 8/5.

NumiÉvaluation · Seconde

Nom : Classe : Date :

📝 Géométrie & vecteurs — sujet B

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°2.

Exercice 1/ 1 pt

Soit la droite d'équation y = -2x - 4. Quel est son coefficient directeur (pente) ?

Coche la bonne réponse.

A. -2
B. -4
C. 2
D. x

Exercice 2/ 1 pt

Pour calculer sin(A), on utilise :

Coche la bonne réponse.

A. côté opposé / côté adjacent
B. côté adjacent / hypoténuse
C. côté opposé / hypoténuse
D. hypoténuse / côté opposé

Exercice 3/ 1 pt

Quel vecteur a une composante en x positive et une composante en y positive ?

Coche la bonne réponse.

A. (−;+)
B. (−;−)
C. (+;−)
D. (+;+)

Exercice 4/ 1,5 pt

On sait que \det(\vec{u}, \vec{v}) = 2 pour \vec{u}(-2\,;\,4) et \vec{v}(-2\,;\,3). Que vaut \det(\vec{v}, \vec{u}) ?

Coche la bonne réponse.

A. 0
B. -1
C. 2
D. -2

Exercice 5/ 1,5 pt

Calcule le déterminant des vecteurs \vec{u}(-4\,;\,-3) et \vec{v}(-4\,;\,-3).

Réponse :

Exercice 6/ 1,5 pt

Calcule le déterminant des vecteurs \vec{u}(-3\,;\,-4) et \vec{v}(-2\,;\,4).

Réponse :

Exercice 7/ 2 pts

Les vecteurs \vec{u}(2\,;\,-4) et \vec{v}(-2\,;\,4) sont-ils colinéaires ?

Coche la bonne réponse.

A. Non, ils ne sont pas colinéaires
B. Oui, ils sont colinéaires

Exercice 8/ 2 pts

Les vecteurs \vec{u}(4\,;\,3) et \vec{v}(3\,;\,1) sont-ils colinéaires ?

Coche la bonne réponse.

A. Non, ils ne sont pas colinéaires
B. Oui, ils sont colinéaires

Exercice 9/ 2 pts

Soit A(2\,;\,2), B(0\,;\,4), C(1\,;\,3) et D(-3\,;\,7). En étudiant le déterminant de \vec{AB} et \vec{CD}, que peut-on dire des droites (AB) et (CD) ?

Coche la bonne réponse.

A. Les droites sont parallèles
B. Les droites sont sécantes
C. Les droites sont perpendiculaires
D. On ne peut pas conclure sans les équations des droites

Exercice 10/ 2 pts

A(-1 ; -2), B(-4 ; -5) et C(-7 ; -6) dans un repère.

a) Quel calcul permet de trancher l'alignement de trois points A, B, C ?
- A. Le déterminant de \vec{AB} et \vec{AC}
- B. La somme des longueurs AB + AC
- C. Le déterminant de \vec{AB} et de \vec{BA}
- D. La différence des abscisses de B et de C
b) Calcule le déterminant de \vec{AB} et \vec{AC}.
Réponse :
c) Que peut-on en conclure sur les points A, B et C ?
- A. Les trois points forment un vrai triangle
- B. Les trois points sont alignés
- C. On ne peut pas conclure : le déterminant ne dit rien de l'alignement

Exercice 11/ 2 pts

A(0 ; 0), B(2 ; 0), C(2 ; 4).

a) Comment prouver que l'angle en B est droit ?
- A. Montrer que \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0
- B. Montrer que \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 1
- C. Montrer que \vec{BA} et \vec{BC} sont colinéaires
b) Calcule le produit scalaire \vec{BA} \cdot \vec{BC}.
Réponse :
c) Que peut-on conclure pour le triangle ABC ?
- A. Il est rectangle en B
- B. Il n'est pas rectangle en B
- C. On ne peut pas conclure avec le produit scalaire

Exercice 12/ 2,5 pts

Pour quelle valeur de k les vecteurs \vec{u}(k ; 2) et \vec{v}(1 ; 4) sont-ils colinéaires ?

Coche la bonne réponse.

A. 3
B. 1/2
C. 2
D. 1

Corrigé et barème — Géométrie & vecteurs — sujet B (Seconde) · Sujet n°2

1. (1 pt) -2 — L'équation est de la forme y = ax + b, avec a = -2 (pente) et b = -4 (ordonnée à l'origine).
2. (1 pt) côté opposé / hypoténuse — SOH : sin = Opp/Hyp. CAH : cos = Adj/Hyp. TOA : tan = Opp/Adj. → côté opposé / hypoténuse.
3. (1 pt) (+;+) — La composante x indique la direction horizontale (+→droite, -→gauche) et y la verticale (+→haut, -→bas). Réponse : (+;+).
4. (1,5 pt) -2 — Échanger les deux vecteurs échange les deux produits croisés : le déterminant change de signe. Donc \det(\vec{v}, \vec{u}) = -2.
5. (1,5 pt) 0 — \det(\vec{u}, \vec{v}) = x_u y_v - y_u x_v = (-4) \times (-3) - (-3) \times (-4) = 12 - (12) = 0.
6. (1,5 pt) -20 — \det(\vec{u}, \vec{v}) = x_u y_v - y_u x_v = (-3) \times 4 - (-4) \times (-2) = -12 - (8) = -20.
7. (2 pts) Oui, ils sont colinéaires — Déterminant = 2\times4 - (-4)\times(-2) = 8 - (8) = 0 : les vecteurs sont colinéaires.
8. (2 pts) Non, ils ne sont pas colinéaires — Déterminant = 4\times1 - 3\times3 = 4 - 9 = -5 \neq 0 : les vecteurs ne sont pas colinéaires.
9. (2 pts) Les droites sont parallèles — \vec{AB}(-2\,;\,2) et \vec{CD}(-4\,;\,4), donc \det = (-2) \times 4 - 2 \times (-4) = 0. Déterminant nul : les vecteurs directeurs sont colinéaires, les droites sont parallèles.
10. (2 pts) a) Le déterminant de \vec{AB} et \vec{AC} ; b) -6 ; c) Les trois points forment un vrai triangle — \vec{AB}(-3\,;\,-3) et \vec{AC}(-6\,;\,-4), donc \det = (-3) \times (-4) - (-3) \times (-6) = -6. Non nul : les points ne sont pas alignés, ils forment un triangle.
11. (2 pts) a) Montrer que \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0 ; b) 0 ; c) Il est rectangle en B — \vec{BA} \cdot \vec{BC} = -2\times0 + 0\times4 = 0. = 0 → rectangle en B.
12. (2,5 pts) 1/2 — Colinéaires ↔ déterminant = k\times4 - 2\times1 = 0 → k = \frac{2\times1}{4} = 1/2.

Une évaluation Géométrie & vecteurs Seconde toujours nouvelle

Ce contrôle est généré par le moteur Numi : chaque « Nouveau sujet » produit des exercices inédits de Géométrie & vecteurs (Seconde, 15 – 16 ans), gradués du plus simple au plus exigeant, strictement conformes au programme officiel de l'Éducation nationale. Le barème sur 20 suit la difficulté des exercices ; le corrigé occupe la deuxième page.

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