📝 Évaluation Trigonométrie avancée (3ème) avec corrigé
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NumiÉvaluation · 3ème📝 Trigonométrie avancée
Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.
Exercice 1/ 1 pt
Quelle est la valeur exacte de \sin(60°) ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 2/ 1 pt
Le point P(2 ; 3) est translaté par le vecteur \vec{v}(3 ;\, 4). Quelles sont les coordonnées de l'image Q ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 3/ 1 pt
Le vecteur \overrightarrow{AB} représente une translation. Dans quel sens va-t-il ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 4/ 1,5 pt
Classe chaque expression selon la fonction trigonométrique qu'elle fait intervenir (dans un triangle rectangle).
Classe chaque élément dans la bonne colonne.
opp/hypadj/hyp\text{hyp} \times \sin(A)opp / sin(A)\text{hyp} \times \cos(A)adj / cos(A)
| Fait intervenir le sinus | Fait intervenir le cosinus |
|---|---|
Exercice 5/ 1,5 pt
Dans un triangle rectangle, \cos(\alpha) \approx 0,707. Quelle est la valeur de \alpha ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 6/ 1,5 pt
Calcule la norme du vecteur \vec{u}(5 ;\, 0) (valeur arrondie au centième).
Coche la bonne réponse.
Exercice 7/ 2 pts
Un triangle rectangle a une hypoténuse de 12 m. L'angle aigu vaut 30°. Quelle est la longueur du côté opposé à cet angle (arrondi à l'entier) ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 8/ 2 pts
Une échelle de 10 m fait un angle de 60° avec le sol. À quelle hauteur (en m, à 0,1 m près) parvient-elle sur le mur ? On modélise la situation par le croquis ci-dessous.
Coche la bonne réponse.
Exercice 9/ 2 pts
Sachant que \sin(\alpha) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} et que 0° < \alpha < 90°, calcule \cos(\alpha).
Coche la bonne réponse.
Exercice 10/ 2 pts
Dans un repère, A(1 ; -3) et B(2 ; 1). On veut les coordonnées du milieu M de [AB] en passant par le vecteur \overrightarrow{AB}.
- a) Quelle relation vectorielle caractérise le milieu M de [AB] ?
- b) Donne les coordonnées de \overrightarrow{AB} (format (x ; y)).
Réponse :
- c) Donne les coordonnées de \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB}.
Réponse :
- d) Déduis-en les coordonnées du milieu M de [AB].
Réponse :
Exercice 11/ 2 pts
Paul observe le sommet d'un bâtiment depuis un point O au sol, situé à une distance horizontale OA = 15 m du pied A du bâtiment. La visée vers le sommet S fait un angle d'élévation de 30° avec l'horizontale. Le triangle OAS est rectangle en A.
- a) Quelle relation permet de calculer la hauteur AS du bâtiment à partir de l'angle en O et de la distance OA ?
- b) Calcule la hauteur AS du bâtiment (en m, arrondie à 0,1).
Réponse : m
- c) Une nacelle de grue peut s'élever jusqu'à 6 m de haut. Peut-elle atteindre le sommet du bâtiment ?
Exercice 12/ 2,5 pts
Un géomètre mesure la largeur AT d'une rivière. L'arbre T est sur la rive opposée, juste en face de A, donc (AT) est perpendiculaire à la berge. Le géomètre marche le long de la berge jusqu'à B avec AB = 40 m, puis mesure l'angle \widehat{ABT} = 60°. Quelle est la largeur de la rivière (en m, à 0,1 m près) ?
Coche la bonne réponse.
Corrigé et barème — Trigonométrie avancée (3ème) · Sujet n°1
- 1. (1 pt) \dfrac{\sqrt{3}}{2} — \sin(60°) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
- 2. (1 pt) (5 ; 7) — Q = (x_P + v_x ;\, y_P + v_y) = (2+3 ;\, 3+4) = (5 ;\, 7).
- 3. (1 pt) De A vers B — \overrightarrow{AB} va du point A vers le point B.
- 4. (1,5 pt) Fait intervenir le sinus : opp/hyp, \text{hyp} \times \sin(A), opp / sin(A) — Fait intervenir le cosinus : adj/hyp, \text{hyp} \times \cos(A), adj / cos(A) — \sin(A) = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}} → sin. \cos(A) = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}} → cos. \text{hyp}\times\sin(A) = \text{opp} → sin. \frac{\text{opp}}{\sin(A)} = \text{hyp} → sin. \text{hyp}\times\cos(A) = \text{adj} → cos. \frac{\text{adj}}{\cos(A)} = \text{hyp} → cos.
- 5. (1,5 pt) 45° — À la calculatrice, \cos^{-1}(0,707) \approx 45°. Donc \alpha = 45°.
- 6. (1,5 pt) 5 — \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} \approx 5.
- 7. (2 pts) 6 — côté opposé = 12 × sin(30°) ≈ 12 × 0,5 ≈ 6 m.
- 8. (2 pts) 8,7 m — On modélise la situation : le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle. \sin(60°) = \frac{h}{10}. h = 10 \times \sin(60°) \approx 8,7 m.
- 9. (2 pts) \dfrac{1}{2} — \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1. \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(60°) = 1 - \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2. \cos(\alpha) = \dfrac{1}{2}.
- 10. (2 pts) a) \overrightarrow{AM} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB} ; b) (1 ; 4) ; c) (0,5 ; 2) ; d) (1,5 ; -1) — \overrightarrow{AB}=(1 ; 4), donc \tfrac12\overrightarrow{AB}=(0,5 ; 2). Milieu M=\left(\dfrac{x_A+x_B}{2} ; \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)=(1,5 ; -1).
- 11. (2 pts) a) AS = OA \times \tan(30°) ; b) 8,7 m ; c) Non, la nacelle ne monte pas assez haut — \tan(30°) = \dfrac{AS}{OA} donc AS = 15\times\tan(30°) \approx 8,7 m. La nacelle (6 m) n’atteint pas le sommet.
- 12. (2,5 pts) 69,3 m — Le triangle ABT est rectangle en A. Vu de B, AT est le côté opposé et AB le côté adjacent : \tan(60°)=\dfrac{AT}{AB}=\dfrac{AT}{40}, donc AT=40\times\tan(60°)\approx69,3 m.
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