📐 Exercices à imprimer — Trigonométrie avancée (3ème)
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NumiFeuille d'exercices · 3ème📐 Trigonométrie avancée
Exercice 1★☆☆☆☆
Quelle est la valeur exacte de \tan(60°) ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 2★☆☆☆☆
A(-2 ; -2) et B(4 ; -3). Quelles sont les coordonnées de \overrightarrow{AB} ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 3★☆☆☆☆
Quelle est la valeur de tan(0°) ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 4★★☆☆☆
Dans un triangle rectangle, l'angle vaut 30° et le côté adjacent mesure 7 cm. Quelle est la longueur de l'hypoténuse (arrondie à 0,1) ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 5★★☆☆☆
Donne les coordonnées du vecteur opposé à \vec{u}(-4 ;\, 2).
Coche la bonne réponse.
Exercice 6★★☆☆☆
Remet dans l'ordre les étapes pour trouver l'image A' du point A(2\,;\,3) par la translation de vecteur \vec{u}(5\,;\,-1).
Numérote de 1 à 4 pour ranger dans le bon ordre.
- Identifier les coordonnées de A : x_A = 2, y_A = 3
- Lire les composantes du vecteur : \Delta x = 5, \Delta y = -1
- Additionner : x' = 2 + 5 = 7, y' = 3 + (-1) = 2
- Conclure : A'(7 ; 2)
Exercice 7★★★☆☆
Quel angle a pour arccos la valeur 1/2 ? Autrement dit, calcule arccos(1/2).
Coche la bonne réponse.
Exercice 8★★★☆☆
Une échelle de 8 m fait un angle de 30° avec le sol. À quelle hauteur (en m, à 0,1 m près) parvient-elle sur le mur ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 9★★★☆☆
Sachant que \sin(\alpha) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} et que 0° < \alpha < 90°, calcule \cos(\alpha).
Coche la bonne réponse.
Exercice 10★★★★☆
Dans un triangle rectangle en B, \angle A = 30° et AB = 10 cm. Remet dans l'ordre les étapes pour calculer BC.
Numérote de 1 à 4 pour ranger dans le bon ordre.
- Identifier le triangle rectangle en B, avec \angle A = 30° et AB (adjacent à A) = 10 cm
- BC est le côté opposé à \angle A → utiliser \tan : \tan(A) = BC/AB
- \tan(30°) = BC/10
- BC = 10 \times \tan(30°) \approx 10 \times 0{,}577 \approx 5{,}77 cm
Exercice 11★★★★☆
Triangle rectangle ABC, angle droit en C. Les deux côtés de l'angle droit valent AC = 5 cm (adjacent à \widehat{A}) et BC = 12 cm (opposé à \widehat{A}). M est le milieu de l'hypoténuse [AB].
- a) Aucun angle n'est donné : quel outil permet de calculer l'hypoténuse AB à partir des deux côtés de l'angle droit ?
- b) Calcule l'hypoténuse AB (en cm).
Réponse : cm
- c) Calcule l'angle \widehat{A} à partir de \tan(\widehat{A})=\dfrac{BC}{AC} (en degrés, à 0,1°).
- d) Le milieu M de [AB] se projette sur la droite (AC). Sa hauteur au-dessus de (AC) vaut \dfrac{AB}{2}\times\sin(\widehat{A}). Calcule cette hauteur (en cm, à 0,01).
🏆 Défi★★★★★
Une rampe d'accès rectiligne franchit une marche de hauteur 5 m. L'espace disponible au sol (longueur horizontale, à la base de la rampe) est de 12 m. Quelle sera la longueur de la rampe elle-même (en m, valeur exacte) ?
Réponse :
Corrigé — Trigonométrie avancée (3ème) · Feuille n°0
- 1. \sqrt{3} — \tan(60°) = \sqrt{3}.
- 2. (6 ; -1) — \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A ;\, y_B - y_A) = (4--2 ;\, -3--2) = (6 ;\, -1).
- 3. 0 — tan(0°) = 0. Valeur à mémoriser.
- 4. 8.1 — \cos(30°) = \frac{adj}{hyp} → hyp = \frac{7}{\cos(30°)} \approx \frac{7}{0.866} \approx 8.1 cm.
- 5. (4 ; -2) — -\vec{u} = (4 ;\, -2) (on change les signes des deux coordonnées).
- 6. Identifier les coordonnées de A : x_A = 2, y_A = 3 → Lire les composantes du vecteur : \Delta x = 5, \Delta y = -1 → Additionner : x' = 2 + 5 = 7, y' = 3 + (-1) = 2 → Conclure : A'(7 ; 2) — L'image A' d'un point A(x\,;\,y) par la translation \vec{u}(a\,;\,b) est A'(x+a\,;\,y+b).
- 7. 60° — On cherche l'angle dont le cosinus vaut 1/2 : arccos(1/2) = 60° (valeur remarquable à mémoriser).
- 8. 4 m — \sin(30°) = \frac{h}{8}. h = 8 \times \sin(30°) \approx 4.0 m.
- 9. \dfrac{1}{2} — \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1. \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(60°) = 1 - \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2. \cos(\alpha) = \dfrac{1}{2}.
- 10. Identifier le triangle rectangle en B, avec \angle A = 30° et AB (adjacent à A) = 10 cm → BC est le côté opposé à \angle A → utiliser \tan : \tan(A) = BC/AB → \tan(30°) = BC/10 → BC = 10 \times \tan(30°) \approx 10 \times 0{,}577 \approx 5{,}77 cm — \tan(30°) = \text{opp}/\text{adj} = BC/AB. BC = 10 \times \tan(30°) \approx 5{,}77 cm.
- 11. a) Le théorème de Pythagore ; b) 13 cm ; c) 67.4 ; d) 6 — AB=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13 cm. \widehat{A}=\arctan(12/5)\approx67.4°. Hauteur de M =(13/2)\sin(67.4°)\approx6 cm.
- 🏆 13 — La rampe est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont la hauteur (5 m) et la longueur au sol (12 m). L'angle étant inconnu, on utilise Pythagore : \text{rampe}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13 m. On pourrait ensuite trouver l'angle d'inclinaison par \sin(\alpha)=5/13.
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