📝 Évaluation Produit scalaire (Première Spécialité) avec corrigé
Un contrôle noté sur 20, avec barème, exercices gradués conformes au programme officiel et corrigé en page 2. Imprime-le ou enregistre-le en PDF — et génère un nouveau sujet à volonté.
👩🏫 Pour la classe
Sujets A et B ci-dessous : exercices différents, même notion et même barème — un sujet par rangée pour limiter la copie.
Pas envie d'imprimer ? Fais ces exercices en ligne
Correction instantanée, difficulté qui s'adapte — gratuit, sans inscription pour commencer.
NumiÉvaluation · Première Spécialité📝 Produit scalaire — sujet A
Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.
Exercice 1/ 1 pt
Calcule \vec{u} \cdot \vec{v} avec \vec{u} = \binom{-4}{0} et \vec{v} = \binom{-2}{-3}.
Coche la bonne réponse.
Exercice 2/ 1 pt
Calcule la norme de \vec{u} = \binom{1}{3}.
Coche la bonne réponse.
Exercice 3/ 1 pt
Calcule \vec{u} \cdot \vec{v} avec \vec{u} = \binom{1}{-2} et \vec{v} = \binom{2}{-2}.
Coche la bonne réponse.
Exercice 4/ 1,5 pt
Pour quelle valeur de k les vecteurs \vec{u} = \binom{4}{4} et \vec{v} = \binom{k}{-4} sont-ils orthogonaux ?
Réponse :
Exercice 5/ 1,5 pt
Si \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 et \|\vec{u}\| \neq 0, \|\vec{v}\| \neq 0, quel est l'angle entre \vec{u} et \vec{v} ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 6/ 1,5 pt
Si \vec{u} \cdot \vec{v} = 7, que vaut (2\vec{u}) \cdot (2\vec{v}) ?
Réponse :
Exercice 7/ 2 pts
On sait que \|\vec{u}\| = 6, \|\vec{v}\| = 2 et \vec{u} \cdot \vec{v} = 8. Calcule \|\vec{u} - \vec{v}\|^2.
Réponse :
Exercice 8/ 2 pts
Calcule l'angle entre \vec{u} = \binom{2}{0} et \vec{v} = \binom{1}{0} (en degrés).
Réponse :
Exercice 9/ 2 pts
Dans un triangle ABC, a = 6, b = 9 et \widehat{C} = 60°. Calcule c^2 (loi d'Al-Kashi).
Réponse :
Exercice 10/ 2 pts
Dans le triangle ABC, AB = 8, AC = 6 et \widehat{A} = 60°. Calcule \vec{AB}\cdot\vec{AC}.
Réponse :
Exercice 11/ 2 pts
Comment caractériser la médiatrice de [AB] avec le produit scalaire ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 12/ 2,5 pts
Soit \vec{u}(-5, -5), \vec{v}(0, -5) et \vec{w}(5, 3). Détermine le réel t pour que \vec{u} + t\,\vec{v} soit orthogonal à \vec{w} (fraction irréductible).
Réponse :
Corrigé et barème — Produit scalaire — sujet A (Première Spécialité) · Sujet n°1
- 1. (1 pt) 8 — \vec{u} \cdot \vec{v} = -4 \times (-2) + 0 \times (-3) = 8 + 0 = 8.
- 2. (1 pt) \sqrt{10} — |\vec{u}|^2 = 1^2 + 3^2 = 10, donc |\vec{u}| = \sqrt{10}.
- 3. (1 pt) 6 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 2 + (-2) \times (-2) = 2 + 4 = 6.
- 4. (1,5 pt) 4 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \cdot k + 4 \cdot (-4) = 0 \Rightarrow 4k = 16 \Rightarrow k = 4.
- 5. (1,5 pt) 90° — \cos(\theta) = 0 \Rightarrow \theta = 90°.
- 6. (1,5 pt) 28 — Par bilinéarité : (2\vec{u})\cdot(2\vec{v}) = 2\times2\times7 = 28.
- 7. (2 pts) 24 — \|\vec{u}-\vec{v}\|^2 = 36 - 2 \times 8 + 4 = 36 - 16 + 4 = 24.
- 8. (2 pts) 0 — \cos(\theta) = \frac{2}{2} \Rightarrow \theta = 0°.
- 9. (2 pts) 63 — c^2 = 36 + 81 - 2\times6\times9\times\dfrac{1}{2} = 36 + 81 - 54 = 63.
- 10. (2 pts) 24 — \vec{AB}\cdot\vec{AC} = 8 \times 6 \times \cos(60°) = 48 \times 1/2 = 24.
- 11. (2 pts) L'ensemble des points M tels que \overrightarrow{MA}^2 = \overrightarrow{MB}^2, i.e. MA = MB — La médiatrice est l'ensemble des M équidistants de A et B : MA = MB, soit \overrightarrow{MA}^2 = \overrightarrow{MB}^2. En développant, on obtient \overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 (où I est le milieu de [AB]). La condition \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0, elle, décrit le cercle de diamètre [AB].
- 12. (2,5 pts) -8/3 — (\vec{u} + t\,\vec{v})\cdot\vec{w} = \vec{u}\cdot\vec{w} + t\,(\vec{v}\cdot\vec{w}) = -40 - 15\,t. On veut ce produit nul : -40 - 15\,t = 0, donc t = \dfrac{-40}{15} = -8/3.
NumiÉvaluation · Première Spécialité📝 Produit scalaire — sujet B
Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°2.
Exercice 1/ 1 pt
Calcule \vec{u} \cdot \vec{v} avec \vec{u} = \binom{-2}{3} et \vec{v} = \binom{-2}{2}.
Coche la bonne réponse.
Exercice 2/ 1 pt
Quelle est la condition pour que \vec{u} et \vec{v} soient orthogonaux ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 3/ 1 pt
Quelle est la formule d'Al-Kashi (loi des cosinus) pour le côté c du triangle ABC ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 4/ 1,5 pt
Si \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 et \|\vec{u}\| \neq 0, \|\vec{v}\| \neq 0, quel est l'angle entre \vec{u} et \vec{v} ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 5/ 1,5 pt
Calcule (k\vec{u}) \cdot \vec{v} avec k = 4, \vec{u} = \binom{2}{2}, \vec{v} = \binom{2}{3}.
Réponse :
Exercice 6/ 1,5 pt
Calcule \|\vec{u}\|^2 pour \vec{u}(2, 6) en utilisant \vec{u} \cdot \vec{u}.
Coche la bonne réponse.
Exercice 7/ 2 pts
Quel est l'ensemble des points M vérifiant \vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0 (avec A et B deux points distincts) ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 8/ 2 pts
Dans un triangle ABC, a = 3, b = 9 et \widehat{C} = 60°. Calcule c^2 (loi d'Al-Kashi).
Réponse :
Exercice 9/ 2 pts
Quelle est l'interprétation du produit scalaire \vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0 dans le triangle ABC ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 10/ 2 pts
Comment caractériser la médiatrice de [AB] avec le produit scalaire ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 11/ 2 pts
Dans le triangle ABC avec AB = 7, CA = 5, CB = 8, calcule l'angle \widehat{C} par Al-Kashi (en degrés).
Réponse :
Exercice 12/ 2,5 pts
Pour montrer que M est sur la médiatrice de [AB] en utilisant le produit scalaire, quelle est la démarche correcte ?
Coche la bonne réponse.
Corrigé et barème — Produit scalaire — sujet B (Première Spécialité) · Sujet n°2
- 1. (1 pt) 10 — \vec{u} \cdot \vec{v} = -2 \times (-2) + 3 \times 2 = 4 + 6 = 10.
- 2. (1 pt) \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 — \vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0.
- 3. (1 pt) c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) — c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) (avec C l'angle opposé à c).
- 4. (1,5 pt) 90° — \cos(\theta) = 0 \Rightarrow \theta = 90°.
- 5. (1,5 pt) 40 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 10, donc (k\vec{u}) \cdot \vec{v} = 4 \times 10 = 40.
- 6. (1,5 pt) \|\vec{u}\|^2 = 40 — \|\vec{u}\|^2 = 2^2 + 6^2 = 40.
- 7. (2 pts) Un cercle de diamètre [AB] — Par le théorème de Thalès, l'ensemble des points M tels que \widehat{AMB} = 90° est le cercle de diamètre [AB] (cercle de Thalès).
- 8. (2 pts) 63 — c^2 = 9 + 81 - 2\times3\times9\times\dfrac{1}{2} = 9 + 81 - 27 = 63.
- 9. (2 pts) \vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0 si et seulement si C est l'angle droit — Le produit scalaire \vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0 signifie \vec{CA} \perp \vec{CB}, c'est-à-dire que le triangle ABC est rectangle en C.
- 10. (2 pts) L'ensemble des points M tels que \overrightarrow{MA}^2 = \overrightarrow{MB}^2, i.e. MA = MB — La médiatrice est l'ensemble des M équidistants de A et B : MA = MB, soit \overrightarrow{MA}^2 = \overrightarrow{MB}^2. En développant, on obtient \overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 (où I est le milieu de [AB]). La condition \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0, elle, décrit le cercle de diamètre [AB].
- 11. (2 pts) 60 — \cos(C) = \dfrac{25 + 64 - 49}{80} = \dfrac{40}{80} = 1/2 \Rightarrow \widehat{C} = 60°.
- 12. (2,5 pts) Montrer que MA = MB, ce qui équivaut à \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} ... ou MA^2 - MB^2 = 0 — M est sur la médiatrice de [AB] ⟺ MA = MB ⟺ MA^2 - MB^2 = 0. En développant avec le produit scalaire, on obtient une équation caractéristique.
Une évaluation Produit scalaire Première Spécialité toujours nouvelle
Ce contrôle est généré par le moteur Numi : chaque « Nouveau sujet » produit des exercices inédits de Produit scalaire (Première Spécialité, Spécialité Maths), gradués du plus simple au plus exigeant, strictement conformes au programme officiel de l'Éducation nationale. Le barème sur 20 suit la difficulté des exercices ; le corrigé occupe la deuxième page.
Feuille d'exercices Produit scalaire à imprimer →Exercices Produit scalaire en ligne →