📐 Exercices à imprimer — Produit scalaire (Première Spécialité)

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📐 Produit scalaire

Exercice 1★☆☆☆☆

Quelle est la formule géométrique du produit scalaire \vec{u} \cdot \vec{v} ?

Figure de l'exercice

Coche la bonne réponse.

  • A. |\vec{u}| + |\vec{v}|
  • B. |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \sin(\theta)
  • C. |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\theta)
  • D. |\vec{u}| \cdot |\vec{v}|

Exercice 2★☆☆☆☆

Calcule \vec{u} \cdot \vec{v} avec \vec{u} = \binom{-3}{1} et \vec{v} = \binom{4}{4}.

Coche la bonne réponse.

  • A. -7
  • B. -9
  • C. -6
  • D. -8

Exercice 3★☆☆☆☆

Calcule \|\vec{u}\| avec \vec{u}(6, 8).

Coche la bonne réponse.

  • A. 9
  • B. 11
  • C. 10
  • D. 14

Exercice 4★★☆☆☆

Pour quelle valeur de k les vecteurs \vec{u} = \binom{2}{3} et \vec{v} = \binom{k}{-2} sont-ils orthogonaux ?

Réponse :

Exercice 5★★☆☆☆

Calcule \|\vec{u}\|^2 pour \vec{u}(5, 6) en utilisant \vec{u} \cdot \vec{u}.

Coche la bonne réponse.

  • A. \|\vec{u}\|^2 = 61
  • B. \|\vec{u}\|^2 = 121
  • C. \|\vec{u}\|^2 = 30
  • D. \|\vec{u}\|^2 = 65

Exercice 6★★☆☆☆

Dans le triangle ABC avec AB = 8, BC = 5, AC = 6. Calcule \cos(\hat{B}) (fraction irréductible).

Figure de l'exercice

Réponse :

Exercice 7★★★☆☆

Quel est l'ensemble des points M vérifiant \vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0 (avec A et B deux points distincts) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. Un segment
  • B. Un cercle de diamètre [AB]
  • C. Un point
  • D. Une droite perpendiculaire à AB

Exercice 8★★★☆☆

Quelle est l'interprétation du produit scalaire \vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0 dans le triangle ABC ?

Coche la bonne réponse.

  • A. \vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0 si et seulement si C est l'angle droit
  • B. \vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0 quand AB est droit
  • C. |\vec{AB}|^2 = |\vec{CA}|^2 + |\vec{CB}|^2 toujours
  • D. \vec{CA} \cdot \vec{CB} = |CA| \cdot |CB| si C est droit

Exercice 9★★★☆☆

Calcule l'angle entre \vec{u} = \binom{2}{0} et \vec{v} = \binom{1}{0} (en degrés).

Réponse :

Exercice 10★★★★☆

Si [AB] est un diamètre d'un cercle, comment caractériser les points M du cercle par le produit scalaire ?

Coche la bonne réponse.

  • A. \|\overrightarrow{MA}\| = \|\overrightarrow{MB}\|
  • B. \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0}
  • C. \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0
  • D. \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 1

Exercice 11★★★★☆

Dans un repère orthonormé, A(-3, 2), B(-1, 2) et C(-1, 5). Prouve que le triangle ABC est rectangle en B.

  1. a) Pour prouver que le triangle est rectangle en B, quelle condition faut-il vérifier ?
    • A. Vérifier que \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0
    • B. Vérifier que BA = BC
    • C. Vérifier que \vec{BA} et \vec{BC} sont colinéaires
    • D. Vérifier que \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 1
  2. b) Calcule \vec{BA} \cdot \vec{BC}.

    Réponse :

  3. c) D'après la valeur trouvée, que peut-on conclure sur le triangle ABC ?
    • A. On ne peut pas conclure sans mesurer les angles
    • B. Le triangle ABC est équilatéral
    • C. Le triangle ABC est isocèle en B
    • D. Le triangle ABC est rectangle en B

🏆 Défi★★★★★

Soit A(-1, 2), B(1, 2) et M_0(1, 4). On considère les lignes de niveau \vec{MA} \cdot \vec{MB} = k. Pour quelle valeur de k la ligne de niveau passe-t-elle par M_0 ?

Réponse :

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Corrigé — Produit scalaire (Première Spécialité) · Feuille n°0

  1. 1. |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\theta) — \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\theta) où \theta est l'angle entre \vec{u} et \vec{v}.
  2. 2. -8 — \vec{u} \cdot \vec{v} = -3 \times 4 + 1 \times 4 = -12 + 4 = -8.
  3. 3. 10 — \|\vec{u}\| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10.
  4. 4. 3 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot k + 3 \cdot (-2) = 0 \Rightarrow 2k = 6 \Rightarrow k = 3.
  5. 5. \|\vec{u}\|^2 = 61 — \|\vec{u}\|^2 = 5^2 + 6^2 = 61.
  6. 6. 53/80 — \cos(\hat{B}) = \dfrac{8^2 + 5^2 - 6^2}{2 \times 8 \times 5} = \dfrac{53}{80} = 53/80.
  7. 7. Un cercle de diamètre [AB] — Par le théorème de Thalès, l'ensemble des points M tels que \angle AMB = 90° est le cercle de diamètre [AB] (cercle de Thalès).
  8. 8. \vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0 si et seulement si C est l'angle droit — Le produit scalaire \vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0 signifie \vec{CA} \perp \vec{CB}, c'est-à-dire que le triangle ABC est rectangle en C.
  9. 9. 0 — \cos(\theta) = \frac{2}{2.0} \Rightarrow \theta = 0°.
  10. 10. \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 — M est sur le cercle de diamètre [AB] ⟺ \widehat{AMB} = 90° ⟺ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0.
  11. 11. a) Vérifier que \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0 ; b) 0 ; c) Le triangle ABC est rectangle en B — \vec{BA} = (-2, 0) et \vec{BC} = (0, 3). \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0 + 0 = 0. Donc \vec{BA} \perp \vec{BC} et le triangle est rectangle en B.
  12. 🏆 4 — M_0 est sur la ligne de niveau ssi k = \vec{M_0A}\cdot\vec{M_0B}. \vec{M_0A} = (-2, -2) et \vec{M_0B} = (0, -2), donc k = (-2)(0) + (-2)(-2) = 4.
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