📐 Exercices à imprimer — Produit scalaire (Première Spécialité)

Exercice 1★☆☆☆☆

Calcule \vec{u} \cdot \vec{v} avec \vec{u}(4, 3) et \vec{v}(1, 3).

Coche la bonne réponse.

• A. 11
• B. 15
• C. 13

Exercice 2★☆☆☆☆

Calcule \vec{u} \cdot \vec{v} avec \vec{u} = \binom{-2}{0} et \vec{v} = \binom{3}{2}.

Coche la bonne réponse.

• A. -6
• B. -7
• C. -5
• D. -4

Exercice 3★☆☆☆☆

Quelle est la condition pour que \vec{u} et \vec{v} soient orthogonaux ?

Coche la bonne réponse.

• A. \vec{u} = -\vec{v}
• B. \vec{u} \cdot \vec{v} = 0
• C. \vec{u} \cdot \vec{v} = 1
• D. \|\vec{u}\| = \|\vec{v}\|

Exercice 4★★☆☆☆

Dans le triangle ABC avec AB = 7, BC = 3, AC = 5. Calcule \cos(\hat{B}) (fraction irréductible).

Réponse :

Exercice 5★★☆☆☆

Calcule \|\vec{u}\|^2 pour \vec{u}(5, 6) en utilisant \vec{u} \cdot \vec{u}.

Coche la bonne réponse.

• A. \|\vec{u}\|^2 = 61
• B. \|\vec{u}\|^2 = 121
• C. \|\vec{u}\|^2 = 30
• D. \|\vec{u}\|^2 = 65

Exercice 6★★☆☆☆

Si \vec{u} \cdot \vec{v} = 8, que vaut (3\vec{u}) \cdot (4\vec{v}) ?

Réponse :

Exercice 7★★★☆☆

Quel est l'ensemble des points M vérifiant \vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0 (avec A et B deux points distincts) ?

Coche la bonne réponse.

• A. Un segment
• B. Un cercle de diamètre [AB]
• C. Un point
• D. Une droite perpendiculaire à (AB)

Exercice 8★★★☆☆

Quelle est l'interprétation du produit scalaire \vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0 dans le triangle ABC ?

Coche la bonne réponse.

• A. \vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0 si et seulement si C est l'angle droit
• B. \vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0 quand AB est droit
• C. |\vec{AB}|^2 = |\vec{CA}|^2 + |\vec{CB}|^2 toujours
• D. \vec{CA} \cdot \vec{CB} = |CA| \cdot |CB| si C est droit

Exercice 9★★★☆☆

Calcule l'angle entre \vec{u} = \binom{2}{0} et \vec{v} = \binom{1}{0} (en degrés).

Réponse :

Exercice 10★★★★☆

Dans un repère orthonormé, A(-3, 2), B(-1, 2) et C(-1, 5). Prouve que le triangle ABC est rectangle en B.

1. a) Pour prouver que le triangle est rectangle en B, quelle condition faut-il vérifier ?
   • A. Vérifier que \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 1
   • B. Vérifier que \vec{BA} et \vec{BC} sont colinéaires
   • C. Vérifier que BA = BC
   • D. Vérifier que \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0
2. b) Calcule \vec{BA} \cdot \vec{BC}.

   Réponse :

3. c) D'après la valeur trouvée, que peut-on conclure sur le triangle ABC ?
   • A. Le triangle ABC est équilatéral
   • B. Le triangle ABC est isocèle en B
   • C. Le triangle ABC est rectangle en B
   • D. On ne peut pas conclure sans mesurer les angles

Exercice 11★★★★☆

Dans le triangle ABC avec AB = 7, CA = 5, CB = 8, calcule l'angle \widehat{C} par Al-Kashi (en degrés).

Réponse :

🏆 Défi★★★★★

Pour calculer \vec{u} \cdot \vec{v} quand on connaît seulement les coordonnées \vec{u}(5, 0) et \vec{v}(-4, -1), quelle expression peut-on RÉELLEMENT évaluer ?

Coche la bonne réponse.

• A. x_u x_v + y_u y_v
• B. \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos(\theta)
• C. \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)
• D. x_u y_v + y_u x_v