📐 Exercices à imprimer — Produit scalaire (Première Spécialité)

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NumiFeuille d'exercices · Première Spécialité

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📐 Produit scalaire

Exercice 1★☆☆☆☆

Calcule la norme de \vec{u} = \binom{4}{2}.

Coche la bonne réponse.

A. \sqrt{20}
B. 6
C. 20
D. \sqrt{21}

Exercice 2★☆☆☆☆

Calcule \vec{u} \cdot \vec{v} avec \vec{u} = \binom{3}{-4} et \vec{v} = \binom{0}{2}.

Coche la bonne réponse.

A. -7
B. -8
C. -9
D. 6

Exercice 3★☆☆☆☆

\vec{u} = \binom{2}{4} et \vec{v} = \binom{-4}{2} sont-ils orthogonaux ?

Coche la bonne réponse.

A. On ne peut pas savoir
B. Oui, car ils ont la même direction
C. Non, car \vec{u} \cdot \vec{v} \neq 0
D. Oui, car \vec{u} \cdot \vec{v} = 0

Exercice 4★★☆☆☆

Dans le triangle ABC avec AB = 9, BC = 6, AC = 7. Calcule \cos(\hat{B}) (fraction irréductible).

Réponse :

Exercice 5★★☆☆☆

Calcule (k\vec{u}) \cdot \vec{v} avec k = 5, \vec{u} = \binom{3}{4}, \vec{v} = \binom{4}{4}.

Réponse :

Exercice 6★★☆☆☆

Pour quelle valeur de k les vecteurs \vec{u} = \binom{2}{3} et \vec{v} = \binom{k}{-2} sont-ils orthogonaux ?

Réponse :

Exercice 7★★★☆☆

On sait que \|\vec{u}\| = 7, \|\vec{v}\| = 6 et \vec{u} \cdot \vec{v} = 7. Calcule \|\vec{u} - \vec{v}\|^2.

Réponse :

Exercice 8★★★☆☆

Quelle est l'interprétation du produit scalaire \vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0 dans le triangle ABC ?

Coche la bonne réponse.

A. \vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0 si et seulement si C est l'angle droit
B. |\vec{AB}|^2 = |\vec{CA}|^2 + |\vec{CB}|^2 toujours
C. \vec{CA} \cdot \vec{CB} = |CA| \cdot |CB| si C est droit
D. \vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0 quand AB est droit

Exercice 9★★★☆☆

Quel est l'ensemble des points M vérifiant \vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0 (avec A et B deux points distincts) ?

Coche la bonne réponse.

A. Un point
B. Un segment
C. Une droite perpendiculaire à AB
D. Un cercle de diamètre [AB]

Exercice 10★★★★☆

Dans un repère orthonormé, A(-2, 2), B(1, 2) et C(1, 6). Prouve que le triangle ABC est rectangle en B.

a) Pour prouver que le triangle est rectangle en B, quelle condition faut-il vérifier ?
- A. Vérifier que \vec{BA} et \vec{BC} sont colinéaires
- B. Vérifier que \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 1
- C. Vérifier que \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0
- D. Vérifier que BA = BC
b) Calcule \vec{BA} \cdot \vec{BC}.
Réponse :
c) D'après la valeur trouvée, que peut-on conclure sur le triangle ABC ?
- A. Le triangle ABC est rectangle en B
- B. Le triangle ABC est isocèle en B
- C. On ne peut pas conclure sans mesurer les angles
- D. Le triangle ABC est équilatéral

Exercice 11★★★★☆

La droite d_1 a pour vecteur directeur \vec{d_1}\binom{3}{1} et d_2 a pour vecteur directeur \vec{d_2}\binom{-1}{3}. Montre qu'elles sont perpendiculaires.

a) Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs vérifient quelle condition ?
- A. Leur produit scalaire est nul
- B. Leur produit scalaire vaut 1
- C. Leurs coordonnées sont égales
- D. Leurs vecteurs directeurs sont colinéaires
b) Calcule \vec{d_1} \cdot \vec{d_2}.
Réponse :
c) D'après la valeur du produit scalaire, que peut-on conclure sur d_1 et d_2 ?
- A. Les droites sont parallèles
- B. Les droites sont confondues
- C. On ne peut pas conclure sans plus d'informations
- D. Les droites sont perpendiculaires

🏆 Défi★★★★★

Pour montrer que M est sur la médiatrice de [AB] en utilisant le produit scalaire, quelle est la démarche correcte ?

Coche la bonne réponse.

A. Montrer que M est à distance 1 de A
B. Montrer que M est le milieu de AB
C. Montrer que MA = MB, ce qui équivaut à \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} ... ou MA^2 - MB^2 = 0
D. Montrer que \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0}

Corrigé — Produit scalaire (Première Spécialité) · Feuille n°0

1. \sqrt{20} — |\vec{u}|^2 = 4^2 + 2^2 = 20, donc |\vec{u}| = \sqrt{20}.
2. -8 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 0 + -4 \times 2 = 0 + -8 = -8.
3. Oui, car \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times -4 + 4 \times 2 = -8 + 8 = 0 = 0. Donc oui.
4. 17/27 — \cos(\hat{B}) = \dfrac{9^2 + 6^2 - 7^2}{2 \times 9 \times 6} = \dfrac{68}{108} = 17/27.
5. 140 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 28, donc (k\vec{u}) \cdot \vec{v} = 5 \times 28 = 140.
6. 3 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot k + 3 \cdot (-2) = 0 \Rightarrow 2k = 6 \Rightarrow k = 3.
7. 71 — \|\vec{u}-\vec{v}\|^2 = 49 - 2 \times 7 + 36 = 49 - 14 + 36 = 71.
8. \vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0 si et seulement si C est l'angle droit — Le produit scalaire \vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0 signifie \vec{CA} \perp \vec{CB}, c'est-à-dire que le triangle ABC est rectangle en C.
9. Un cercle de diamètre [AB] — Par le théorème de Thalès, l'ensemble des points M tels que \angle AMB = 90° est le cercle de diamètre [AB] (cercle de Thalès).
10. a) Vérifier que \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0 ; b) 0 ; c) Le triangle ABC est rectangle en B — \vec{BA} = (-3, 0) et \vec{BC} = (0, 4). \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0 + 0 = 0. Donc \vec{BA} \perp \vec{BC} et le triangle est rectangle en B.
11. a) Leur produit scalaire est nul ; b) 0 ; c) Les droites sont perpendiculaires — \vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 3 \times (-1) + 1 \times 3 = -3 + 3 = 0. Le produit scalaire est nul, donc les droites sont perpendiculaires.
🏆 Montrer que MA = MB, ce qui équivaut à \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} ... ou MA^2 - MB^2 = 0 — M est sur la médiatrice de [AB] ⟺ MA = MB ⟺ MA^2 - MB^2 = 0. En développant avec le produit scalaire, on obtient une équation caractéristique.

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