📝 Évaluation Produit scalaire (Première Spécialité) avec corrigé
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NumiÉvaluation · Première Spécialité📝 Produit scalaire
Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.
Exercice 1/ 1 pt
Calcule \vec{u} \cdot \vec{v} avec \vec{u} = \binom{-4}{0} et \vec{v} = \binom{-2}{-3}.
Coche la bonne réponse.
Exercice 2/ 1 pt
Calcule la norme de \vec{u} = \binom{1}{3}.
Coche la bonne réponse.
Exercice 3/ 1 pt
Calcule \vec{u} \cdot \vec{v} avec \vec{u} = \binom{1}{-2} et \vec{v} = \binom{2}{-2}.
Coche la bonne réponse.
Exercice 4/ 1,5 pt
Pour quelle valeur de k les vecteurs \vec{u} = \binom{4}{4} et \vec{v} = \binom{k}{-4} sont-ils orthogonaux ?
Réponse :
Exercice 5/ 1,5 pt
Si \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 et \|\vec{u}\| \neq 0, \|\vec{v}\| \neq 0, quel est l'angle entre \vec{u} et \vec{v} ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 6/ 1,5 pt
Si \vec{u} \cdot \vec{v} = 7, que vaut (2\vec{u}) \cdot (2\vec{v}) ?
Réponse :
Exercice 7/ 2 pts
On sait que \|\vec{u}\| = 6, \|\vec{v}\| = 2 et \vec{u} \cdot \vec{v} = 8. Calcule \|\vec{u} - \vec{v}\|^2.
Réponse :
Exercice 8/ 2 pts
Calcule l'angle entre \vec{u} = \binom{2}{0} et \vec{v} = \binom{1}{0} (en degrés).
Réponse :
Exercice 9/ 2 pts
Dans un triangle ABC, a = 6, b = 9 et \widehat{C} = 60°. Calcule c^2 (loi d'Al-Kashi).
Réponse :
Exercice 10/ 2 pts
Dans le triangle ABC, AB = 8, AC = 6 et \widehat{A} = 60°. Calcule \vec{AB}\cdot\vec{AC}.
Réponse :
Exercice 11/ 2 pts
Comment caractériser la médiatrice de [AB] avec le produit scalaire ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 12/ 2,5 pts
Soit \vec{u}(-5, -5), \vec{v}(0, -5) et \vec{w}(5, 3). Détermine le réel t pour que \vec{u} + t\,\vec{v} soit orthogonal à \vec{w} (fraction irréductible).
Réponse :
Corrigé et barème — Produit scalaire (Première Spécialité) · Sujet n°1
- 1. (1 pt) 8 — \vec{u} \cdot \vec{v} = -4 \times (-2) + 0 \times (-3) = 8 + 0 = 8.
- 2. (1 pt) \sqrt{10} — |\vec{u}|^2 = 1^2 + 3^2 = 10, donc |\vec{u}| = \sqrt{10}.
- 3. (1 pt) 6 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 2 + (-2) \times (-2) = 2 + 4 = 6.
- 4. (1,5 pt) 4 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \cdot k + 4 \cdot (-4) = 0 \Rightarrow 4k = 16 \Rightarrow k = 4.
- 5. (1,5 pt) 90° — \cos(\theta) = 0 \Rightarrow \theta = 90°.
- 6. (1,5 pt) 28 — Par bilinéarité : (2\vec{u})\cdot(2\vec{v}) = 2\times2\times7 = 28.
- 7. (2 pts) 24 — \|\vec{u}-\vec{v}\|^2 = 36 - 2 \times 8 + 4 = 36 - 16 + 4 = 24.
- 8. (2 pts) 0 — \cos(\theta) = \frac{2}{2} \Rightarrow \theta = 0°.
- 9. (2 pts) 63 — c^2 = 36 + 81 - 2\times6\times9\times\dfrac{1}{2} = 36 + 81 - 54 = 63.
- 10. (2 pts) 24 — \vec{AB}\cdot\vec{AC} = 8 \times 6 \times \cos(60°) = 48 \times 1/2 = 24.
- 11. (2 pts) L'ensemble des points M tels que \overrightarrow{MA}^2 = \overrightarrow{MB}^2, i.e. MA = MB — La médiatrice est l'ensemble des M équidistants de A et B : MA = MB, soit \overrightarrow{MA}^2 = \overrightarrow{MB}^2. En développant, on obtient \overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 (où I est le milieu de [AB]). La condition \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0, elle, décrit le cercle de diamètre [AB].
- 12. (2,5 pts) -8/3 — (\vec{u} + t\,\vec{v})\cdot\vec{w} = \vec{u}\cdot\vec{w} + t\,(\vec{v}\cdot\vec{w}) = -40 - 15\,t. On veut ce produit nul : -40 - 15\,t = 0, donc t = \dfrac{-40}{15} = -8/3.
Une évaluation Produit scalaire Première Spécialité toujours nouvelle
Ce contrôle est généré par le moteur Numi : chaque « Nouveau sujet » produit des exercices inédits de Produit scalaire (Première Spécialité, Spécialité Maths), gradués du plus simple au plus exigeant, strictement conformes au programme officiel de l'Éducation nationale. Le barème sur 20 suit la difficulté des exercices ; le corrigé occupe la deuxième page.
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