📝 Évaluation Trigonométrie (Première Spécialité) avec corrigé

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NumiÉvaluation · Première Spécialité

Nom : Classe : Date :

📝 Trigonométrie

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.

Exercice 1/ 1 pt

Quelle propriété de parité vérifie la fonction cosinus ?

Coche la bonne réponse.

A. \cos(-x) = -\cos(x) (fonction impaire)
B. \cos(-x) = \cos(x) (fonction paire)
C. \cos(-x) = \sin(x)
D. \cos(-x) = 0

Exercice 2/ 1 pt

Comment est défini le cercle trigonométrique ?

Coche la bonne réponse.

A. Le cercle de centre O et de rayon 1
B. Le cercle de centre O et de rayon 2π
C. Le cercle passant par les points (1,1), (-1,1), etc.
D. Le cercle de centre (1, 0) et de rayon 1

Exercice 3/ 1 pt

Quelle est la relation de parité de la fonction \cos ?

Coche la bonne réponse.

A. \cos(-x) = 0
B. \cos(-x) = \cos(x) (cosinus est pair)
C. \cos(-x) = \sin(x)
D. \cos(-x) = -\cos(x) (cosinus est impair)

Exercice 4/ 1 pt

Quelle est la valeur exacte de \sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) ?

Coche la bonne réponse.

A. \frac{\sqrt{3}}{2}
B. \frac{1}{2}
C. \frac{\sqrt{2}}{2}
D. 0

Exercice 5/ 1 pt

Quelle est la valeur exacte de \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) ?

Coche la bonne réponse.

A. 1
B. 0
C. \frac{\sqrt{3}}{2}
D. \frac{\sqrt{2}}{2}

Exercice 6/ 1,5 pt

Quelle est la valeur exacte de \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) ?

Coche la bonne réponse.

A. 1
B. \dfrac{\sqrt{3}}{2}
C. \dfrac{\sqrt{2}}{2}
D. \dfrac{1}{2}

Exercice 7/ 1,5 pt

Pour x dans le troisième quadrant, quel est le signe de \sin(x) ?

Coche la bonne réponse.

A. \sin(x) = 0
B. \sin(x) est négatif
C. On ne peut pas savoir sans connaitre x
D. \sin(x) est positif

Exercice 8/ 1,5 pt

Quelle est la valeur de \sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) ?

Coche la bonne réponse.

A. 0
B. 1
C. -\frac{\sqrt{2}}{2}
D. -1

Exercice 9/ 2 pts

Calcule \cos\left(\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4}\right) à l'aide de la formule d'addition. (réponds par un entier)

Réponse :

Exercice 10/ 2,5 pts

On isole le cosinus, on reconnaît l'angle remarquable, puis on écrit toutes les solutions.

a) Isole le cosinus : 2\cos(x) + 1 = 0 \Rightarrow \cos(x) = ? (réponds par une fraction)
Réponse :
b) Quel angle remarquable de [0, \pi] vérifie \cos(a) = -\dfrac{1}{2} ?
- A. \dfrac{2\pi}{3}
- B. \dfrac{\pi}{3}
- C. \dfrac{5\pi}{6}
- D. \dfrac{3\pi}{4}
c) Donne l'ensemble des solutions sur \mathbb{R} (k \in \mathbb{Z}).
- A. x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi
- B. x = \dfrac{2\pi}{3} + k\pi
- C. x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi
- D. x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + k\pi

Exercice 11/ 2,5 pts

On utilise \sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a) avec a = \dfrac{\pi}{6} (donc 2a = \dfrac{\pi}{3}).

a) Quelle est la valeur de \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) ? (réponds par une fraction)
Réponse :
b) Quelle est la valeur de \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) ?
- A. \dfrac{\sqrt{3}}{2}
- B. \dfrac{1}{2}
- C. \dfrac{\sqrt{2}}{2}
- D. 1
c) En déduire \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 2 \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
- A. \dfrac{\sqrt{3}}{2}
- B. \dfrac{1}{2}
- C. 1
- D. \dfrac{\sqrt{2}}{2}

Exercice 12/ 3,5 pts

Combien l'équation \cos(x) = \dfrac{1}{2} admet-elle de solutions dans l'intervalle [0 \,;\, 2\pi[ ? (réponds par un entier)

Réponse :

Corrigé et barème — Trigonométrie (Première Spécialité) · Sujet n°1

1. (1 pt) \cos(-x) = \cos(x) (fonction paire) — \cos est une fonction paire : \cos(-x) = \cos(x) pour tout x.
2. (1 pt) Le cercle de centre O et de rayon 1 — Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O (origine) et de rayon 1.
3. (1 pt) \cos(-x) = \cos(x) (cosinus est pair) — Le cosinus est pair (\cos(-x) = \cos(x)), le sinus est impair (\sin(-x) = -\sin(x)).
4. (1 pt) \frac{1}{2} — \sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}.
5. (1 pt) 0 — \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0.
6. (1,5 pt) \dfrac{1}{2} — \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}.
7. (1,5 pt) \sin(x) est négatif — Dans le troisième quadrant, \sin(x) est négatif.
8. (1,5 pt) -1 — \cos\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 et \sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1.
9. (2 pts) 0 — \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0. Via la formule : \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0.
10. (2,5 pts) a) -1/2 ; b) \dfrac{2\pi}{3} ; c) x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi — 2\cos(x) + 1 = 0 \Rightarrow \cos(x) = -\frac{1}{2} = \cos\!\left(\frac{2\pi}{3}\right). Donc x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2k\pi.
11. (2,5 pts) a) 1/2 ; b) \dfrac{\sqrt{3}}{2} ; c) \dfrac{\sqrt{3}}{2} — \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 2 \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
12. (3,5 pts) 2 — Sur le cercle, \cos(x) = \dfrac{1}{2} revient à couper le cercle par la verticale x = k. Une valeur strictement comprise entre -1 et 1 donne 2 points ; \pm 1 donne 1 seul point (tangence) ; une valeur hors de [-1\,;\,1] n'en donne aucun. Ici : \mathbf{2} solutions.

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