🔄 Exercices à imprimer — Trigonométrie (Première Spécialité)
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NumiFeuille d'exercices · Première Spécialité🔄 Trigonométrie
Exercice 1★☆☆☆☆
Quelle propriété de parité vérifie la fonction cosinus ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 2★☆☆☆☆
Si \frac{\pi}{2} < x < \pi, quels sont les signes de \cos x et \sin x ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 3★☆☆☆☆
Si 0 < x < \frac{\pi}{2}, quels sont les signes de \cos x et \sin x ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 4★☆☆☆☆
Quelle est la valeur exacte de \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right) ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 5★☆☆☆☆
Quelle est la valeur exacte de \sin\!\left(0\right) ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 6★★☆☆☆
Quelle est la valeur de \cos\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 7★★☆☆☆
Quelle est la valeur de \sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) ?
Coche la bonne réponse.
Exercice 8★★☆☆☆
Calcule \sin\!\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right).
Coche la bonne réponse.
Exercice 9★★★☆☆
Calcule \cos\left(\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4}\right) à l'aide de la formule d'addition. (réponds par un entier)
Réponse :
Exercice 10★★★★☆
On utilise la relation fondamentale \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1.
- a) Calcule \sin^2(x) = \left(\dfrac{3}{5}\right)^2. (réponds par une fraction)
Réponse :
- b) En déduire \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x). (réponds par une fraction)
Réponse :
- c) Sans information sur le quadrant, que vaut \cos(x) ?
Exercice 11★★★★☆
\sin(x) = \sin(a) \Leftrightarrow x = a + 2k\pi ou x = \pi - a + 2k\pi. On garde les solutions de [0, 2\pi].
- a) Première solution évidente : quel x donne directement \sin(x) = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) ?
- b) Seconde solution dans [0, 2\pi] via x = \pi - a : que vaut \pi - \dfrac{\pi}{3} ?
🏆 Défi★★★★★
Combien l'équation \cos(2x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} admet-elle de solutions dans [0 \,;\, 2\pi[ ? (réponds par un entier)
Réponse :
Corrigé — Trigonométrie (Première Spécialité) · Feuille n°0
- 1. \cos(-x) = \cos(x) (fonction paire) — \cos est une fonction paire : \cos(-x) = \cos(x) pour tout x.
- 2. cos < 0 et sin > 0 — Pour x \in \frac{\pi}{2} < x < \pi (quadrant 2) : cos < 0 et sin > 0.
- 3. cos > 0 et sin > 0 — Pour x \in 0 < x < \frac{\pi}{2} (quadrant 1) : cos > 0 et sin > 0.
- 4. \frac{\sqrt{3}}{2} — \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}.
- 5. 0 — \sin\!\left(0\right) = 0.
- 6. 0 — \cos\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 et \sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1.
- 7. -1 — \cos\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 et \sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1.
- 8. \frac{\sqrt{2}}{2} — \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}.
- 9. 0 — \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0. Via la formule : \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0.
- 10. a) 9/25 ; b) 16/25 ; c) \pm \dfrac{4}{5} — \cos^2(x) = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}, donc \cos(x) = \pm \dfrac{4}{5}.
- 11. a) \dfrac{\pi}{3} ; b) \dfrac{2\pi}{3} — x = \dfrac{\pi}{3} ou x = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}.
- 🏆 4 — On pose \theta = 2x. Quand x décrit [0\,;\,2\pi[, \theta décrit [0\,;\,4\pi[, soit DEUX tours. Chaque solution en \theta donne un x. Une valeur de [-1\,;\,1[ non extrême donne 2 solutions par tour, donc 4 ; \pm 1 en donne 1 par tour, donc 2 ; hors de [-1\,;\,1], aucune. Ici : \mathbf{4} solutions.
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