📝 Évaluation Géométrie & vecteurs (Première Spécialité) avec corrigé

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Numi, la mascotteÉvaluation · Première Spécialité
Nom : Classe : Date :

📝 Géométrie & vecteurs — sujet A

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.

Exercice 1/ 1 pt

Quelles sont les coordonnées de \vec{AB} avec A(-1 ; 1) et B(-1 ; -2) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. (0 ; -3)
  • B. (-1 ; 1)
  • C. (1 ; -3)
  • D. (0 ; 3)

Exercice 2/ 1 pt

Quelles sont les coordonnées du milieu du segment [AB] avec A(-5 ; -5) et B(0 ; 2) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. (-5/2 ; -3/2)
  • B. (0 ; 2)
  • C. (-5 ; -3)
  • D. (-5 ; -7)

Exercice 3/ 1 pt

La droite a pour équation y = 3x -3. Le point (-2 ; -9) appartient-il à cette droite ?

Coche la bonne réponse.

  • A. Non, (-2 ; -7) est sur la droite
  • B. Non, (-2 ; -9) n'est pas sur la droite
  • C. Il n'y a pas assez d'information
  • D. Oui, (-2 ; -9) est sur la droite

Exercice 4/ 1,5 pt

Calcule la norme du vecteur \vec{u} = (-6 ; 8).

Réponse :

Exercice 5/ 1,5 pt

Vecteur \vec{u} + \vec{v} avec \vec{u}(3 ; 3) et \vec{v}(-2 ; -1) :

Coche la bonne réponse.

  • A. (-2 ; -1)
  • B. (1 ; 2)
  • C. (2 ; 2)
  • D. (3 ; 3)

Exercice 6/ 1,5 pt

Calcule la distance AB avec A(2 ; -1) et B(5 ; 3).

Figure de l'exercice

Réponse :

Exercice 7/ 2 pts

Calcule l'angle (en degrés) entre \vec{u}(1 ; 0) et \vec{v}(0 ; 1).

Réponse :

Exercice 8/ 2 pts

Calcule \vec{u} \cdot \vec{v} avec \vec{u}(0 ; -4) et \vec{v}(-2 ; -1).

Réponse :

Exercice 9/ 2 pts

Calcule \vec{u} \cdot \vec{v} avec \vec{u}(3 ; 0) et \vec{v}(-4 ; 1).

Réponse :

Exercice 10/ 2 pts

A = (3 ; 0), B = (5 ; -2). Forme y = ax + b.

  1. a) Comment calcule-t-on la pente a de la droite passant par A et B ?
    • A. a = \dfrac{y_B + y_A}{x_B + x_A}
    • B. a = \dfrac{x_B - x_A}{y_B - y_A}
    • C. a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}
  2. b) Calcule la pente a de la droite (AB).

    Réponse :

  3. c) Calcule l'ordonnée à l'origine b = y_A - a\,x_A.

    Réponse :

  4. d) Quelle est alors l'équation de la droite (AB) ?
    • A. y = -x - 3
    • B. y = x + 3
    • C. y = -x + 3
    • D. y = 0 + 3

Exercice 11/ 2 pts

Calcule la distance AB entre A(0 ; 1) et B(-5 ; 13).

Réponse :

Exercice 12/ 2,5 pts

Pour tout réel m, on considère la droite D_m : y = m\,x - m + 2. Toutes ces droites passent par un même point, indépendant de m. Donne l'ordonnée du point fixe par lequel passent toutes ces droites.

Réponse :

Évaluation générée par numimaths.fr — conforme au programme officiel. Le corrigé et le barème sont page suivante.

Corrigé et barème — Géométrie & vecteurs — sujet A (Première Spécialité) · Sujet n°1

  1. 1. (1 pt) (0 ; -3) — \vec{AB} = B - A = (-1-(-1) ; -2-1) = (0 ; -3).
  2. 2. (1 pt) (-5/2 ; -3/2) — Milieu = \left(\frac{-5 + 0}2 ; \frac{-5 + 2}2\right) = (-5/2 ; -3/2).
  3. 3. (1 pt) Oui, (-2 ; -9) est sur la droite — On vérifie : y = 3 \times (-2) -3 = -9. Oui, (-2 ; -9) appartient à la droite.
  4. 4. (1,5 pt) 10 — ||\vec{u}|| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10.
  5. 5. (1,5 pt) (1 ; 2) — \vec{u} + \vec{v} = (3+(-2) ; 3+(-1)) = (1 ; 2).
  6. 6. (1,5 pt) 5 — AB = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{25} = 5.
  7. 7. (2 pts) 90 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 0, \|\vec{u}\| \approx 1, \|\vec{v}\| \approx 1, donc \cos\theta = 0 et \theta = 90°.
  8. 8. (2 pts) 4 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \times (-2) + (-4) \times (-1) = 0 + 4 = 4.
  9. 9. (2 pts) -12 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times (-4) + 0 \times 1 = -12 + 0 = -12.
  10. 10. (2 pts) a) a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} ; b) -1 ; c) 3 ; d) y = -x + 3 — a = \dfrac{-2-0}{5-3} = -1, b = 0 - (-1)\times3 = 3, et B vérifie l'équation : y_B - (a x_B + b) = 0.
  11. 11. (2 pts) 13 — AB = \sqrt{(-5-0)^2 + (13-1)^2} = \sqrt{169} = 13.
  12. 12. (2,5 pts) 2 — On regroupe selon m : y = m\,x - m + 2 \iff m\,(x - 1) + (2 - y) = 0. Ce point est fixe (indépendant de m) uniquement si le facteur de m ET le reste s'annulent : x = 1 et y = 2. Le point fixe est (1 ; 2).
Pour retravailler les erreurs : ce chapitre se rejoue en ligne sur numimaths.fr, avec correction instantanée et difficulté adaptée.
Numi, la mascotteÉvaluation · Première Spécialité
Nom : Classe : Date :

📝 Géométrie & vecteurs — sujet B

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°2.

Exercice 1/ 1 pt

\vec{u}(3 ; 2) et \vec{v}(9 ; 6). Sont-ils colinéaires ?

Coche la bonne réponse.

  • A. Non, ils ne sont pas colinéaires
  • B. Oui, ils sont colinéaires

Exercice 2/ 1 pt

Calcule la norme de \vec{u}(3 ; 3).

Coche la bonne réponse.

  • A. 6
  • B. 17,98
  • C. 5,24
  • D. 4,24

Exercice 3/ 1 pt

Si \vec{u} = (1 ; 1) et \vec{v} = (2 ; 4), quelles sont les coordonnées de \vec{u} + \vec{v} ?

Coche la bonne réponse.

  • A. (2 ; 4)
  • B. (-1 ; -3)
  • C. (4 ; 5)
  • D. (3 ; 5)

Exercice 4/ 1,5 pt

Calcule le déterminant de \vec{u}(3 ; -2) et \vec{v}(1 ; 2).

Réponse :

Exercice 5/ 1,5 pt

Calcule le déterminant de \vec{u}(-3 ; 1) et \vec{v}(-4 ; 1).

Réponse :

Exercice 6/ 1,5 pt

Quelle est l'équation de la droite passant par A(2 ; -3) et B(3 ; -4) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. y = -x - 1
  • B. y = 0 - 1
  • C. y = -x
  • D. x = 2

Exercice 7/ 2 pts

\vec{u}(-3 ; 3) et \vec{v}(4 ; t). Quelle valeur de t rend \vec{u} et \vec{v} orthogonaux ?

Réponse :

Exercice 8/ 2 pts

Calcule l'angle (en degrés) entre \vec{u}(3 ; 4) et \vec{v}(4 ; -3).

Réponse :

Exercice 9/ 2 pts

Calcule \vec{u} \cdot \vec{v} avec \vec{u}(-3 ; 1) et \vec{v}(-3 ; -3).

Réponse :

Exercice 10/ 2 pts

\vec{u} = (1 ; 1), \vec{v} = (2 ; 2).

  1. a) Quelle relation relie le produit scalaire à l'angle \theta entre \vec{u} et \vec{v} ?
    • A. \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta
    • B. \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|\cos\theta
    • C. \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta
  2. b) Calcule le produit scalaire \vec{u} \cdot \vec{v}.

    Réponse :

  3. c) Calcule \cos\theta.

    Réponse :

  4. d) Déduis-en l'angle \theta en degrés.

    Réponse :

Exercice 11/ 2 pts

\vec{u} = (2 ; 3), \vec{v} = (4 ; t), avec t inconnu.

  1. a) Quelle condition sur t traduit la colinéarité de \vec{u} et \vec{v} ?
    • A. at - bc = 0 (déterminant nul)
    • B. ac + bt = 0
    • C. at + bc = 0
  2. b) Calcule le produit bc (coordonnée b de \vec{u} par coordonnée c de \vec{v}).

    Réponse :

  3. c) Quelle valeur de t rend \vec{u} et \vec{v} colinéaires ?

    Réponse :

  4. d) Avec t = 7, que peut-on dire de \vec{u} et \vec{v} ?
    • A. Ils sont colinéaires.
    • B. Ils sont orthogonaux.
    • C. Ils ne sont ni colinéaires ni orthogonaux.

Exercice 12/ 2,5 pts

Soit le cercle \mathcal{C} de centre \Omega(1 ; 1) et de rayon r = 5. Le point M(k ; 5), où k est un entier, appartient à \mathcal{C}. Parmi les deux valeurs entières possibles de k, donne la plus petite.

Figure de l'exercice

Réponse :

Évaluation générée par numimaths.fr — conforme au programme officiel. Le corrigé et le barème sont page suivante.

Corrigé et barème — Géométrie & vecteurs — sujet B (Première Spécialité) · Sujet n°2

  1. 1. (1 pt) Oui, ils sont colinéaires — Déterminant : 3 \times 6 - 2 \times 9 = 0 → colinéaires.
  2. 2. (1 pt) 4,24 — \|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 4{,}24.
  3. 3. (1 pt) (3 ; 5) — \vec{u} + \vec{v} = (1 + 2 ; 1 + 4) = (3 ; 5).
  4. 4. (1,5 pt) 8 — \det(\vec{u}, \vec{v}) = x_u y_v - y_u x_v = 3\times2 - (-2)\times1 = 6 - (-2) = 8.
  5. 5. (1,5 pt) 1 — \det(\vec{u}, \vec{v}) = x_u y_v - y_u x_v = -3\times1 - 1\times(-4) = -3 - (-4) = 1.
  6. 6. (1,5 pt) y = -x - 1 — Pente a = (y2-y1)/(x2-x1) = -1. Ordonnée à l'origine : b = y1 - a×x1 = -1. Donc y = -x - 1.
  7. 7. (2 pts) 4 — \vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow -3 \times 4 + 3\,t = 0, soit t = \dfrac{12}{3} = 4.
  8. 8. (2 pts) 90 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 0, \|\vec{u}\| \approx 5, \|\vec{v}\| \approx 5, donc \cos\theta = 0 et \theta = 90°.
  9. 9. (2 pts) 6 — \vec{u} \cdot \vec{v} = -3 \times (-3) + 1 \times (-3) = 9 + (-3) = 6.
  10. 10. (2 pts) a) \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta ; b) 4 ; c) 1 ; d) 0 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 4, \|\vec{u}\| \approx 1{,}414, \|\vec{v}\| \approx 2{,}828, donc \cos\theta = 1 et \theta = 0°.
  11. 11. (2 pts) a) at - bc = 0 (déterminant nul) ; b) 12 ; c) 6 ; d) Ils ne sont ni colinéaires ni orthogonaux. — Colinéaires ↔ at-bc=0 → t=6. Déterminant= 0 ✓.
  12. 12. (2,5 pts) -2 — « M sur le cercle » signifie \Omega M = r, donc (x_M - x_\Omega)^2 + (y_M - y_\Omega)^2 = r^2. (k - 1)^2 + 16 = 25, soit (k - 1)^2 = 25 - 16 = 9, donc k - 1 = \pm 3 et k \in \{-2 ; 4\}. La valeur demandée est k = -2.
Pour retravailler les erreurs : ce chapitre se rejoue en ligne sur numimaths.fr, avec correction instantanée et difficulté adaptée.

Une évaluation Géométrie & vecteurs Première Spécialité toujours nouvelle

Ce contrôle est généré par le moteur Numi : chaque « Nouveau sujet » produit des exercices inédits de Géométrie & vecteurs (Première Spécialité, Spécialité Maths), gradués du plus simple au plus exigeant, strictement conformes au programme officiel de l'Éducation nationale. Le barème sur 20 suit la difficulté des exercices ; le corrigé occupe la deuxième page.

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