📏 Exercices à imprimer — Géométrie & vecteurs (Première Spécialité)

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📏 Géométrie & vecteurs

Exercice 1★☆☆☆☆

Quelles sont les coordonnées de \vec{AB} avec A(2 ; 3) et B(-3 ; 3) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. (2 ; 3)
  • B. (5 ; 0)
  • C. (-5 ; 0)
  • D. (-4 ; 0)

Exercice 2★☆☆☆☆

Quelle est un vecteur normal à la droite d : 3x + 4y - 1 = 0 ?

Coche la bonne réponse.

  • A. (-4 ; 3)
  • B. (3 ; -4)
  • C. (4 ; -3)
  • D. (3 ; 4)

Exercice 3★☆☆☆☆

Quelles sont les coordonnées du milieu du segment [AB] avec A(-5 ; 5) et B(-2 ; 2) ?

Coche la bonne réponse.

  • A. (-2 ; 2)
  • B. (-7/2 ; 7/2)
  • C. (-3 ; 3)
  • D. (-7 ; 7)

Exercice 4★★☆☆☆

Les droites d_1 : y = 3x - 2 et d_2 : y = 3x + 1 sont :

Coche la bonne réponse.

  • A. sécantes
  • B. confondues
  • C. perpendiculaires
  • D. parallèles

Exercice 5★★☆☆☆

Quel est l'angle du vecteur \vec{u} = (0 ; 1) avec l'axe des abscisses ?

Coche la bonne réponse.

  • A. 90°
  • B. 45°
  • C. 0°
  • D. 180°

Exercice 6★★☆☆☆

Quelle est l'équation du cercle de centre C(0 ; -2) et de rayon r = 4 ?

Coche la bonne réponse.

  • A. x² + y² = 16
  • B. x² + (y - 2)² = 16
  • C. x² + (y + 2)² = 4
  • D. x² + (y + 2)² = 16

Exercice 7★★★☆☆

Calcule l'angle (en degrés) entre \vec{u}(1 ; 1) et \vec{v}(1 ; -1).

Réponse :

Exercice 8★★★☆☆

Calcule l'angle (en degrés) entre \vec{u}(1 ; 1) et \vec{v}(3 ; 3).

Réponse :

Exercice 9★★★☆☆

Calcule \vec{u} \cdot \vec{v} avec \vec{u}(-1 ; -3) et \vec{v}(4 ; 4).

Réponse :

Exercice 10★★★★☆

\vec{u} = (1 ; 0), \vec{v} = (0 ; 1).

  1. a) Quelle relation relie le produit scalaire à l'angle \theta entre \vec{u} et \vec{v} ?
    • A. \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta
    • B. \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta
    • C. \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|\cos\theta
  2. b) Calcule le produit scalaire \vec{u} \cdot \vec{v}.

    Réponse :

  3. c) Calcule \cos\theta.

    Réponse :

  4. d) Déduis-en l'angle \theta en degrés.

    Réponse :

Exercice 11★★★★☆

D : x +2y +4 = 0. M = (-1 ; -3).

  1. a) Calcule le numérateur N = |a\,x_M + b\,y_M + c| de la distance de M à D.

    Réponse :

  2. b) Donne le dénominateur \sqrt{a^2 + b^2} sous forme exacte.
    • A. 1+4
    • B. \sqrt{5}
    • C. 5
    • D. \sqrt{6}
  3. c) Donne la distance d(M, D) sous forme exacte.
    • A. \dfrac{3}{5}
    • B. \dfrac{3}{\sqrt{6}}
    • C. \dfrac{3}{\sqrt{5}}
    • D. 3\sqrt{5}
  4. d) Que peut-on en déduire sur la position de M par rapport à D ?
    • A. M n'appartient pas à D (sa distance à D est non nulle)
    • B. M est le milieu de D
    • C. M appartient à D
    • D. On ne peut pas conclure sans connaître la pente de D

🏆 Défi★★★★★

Thème : caractérisation du parallélogramme. Une seule de ces affirmations de géométrie repérée est EXACTE. Laquelle ?

Coche la bonne réponse.

  • A. Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires.
  • B. Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales ont la même longueur.
  • C. Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB = CD.
  • D. Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu.
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Corrigé — Géométrie & vecteurs (Première Spécialité) · Feuille n°0

  1. 1. (-5 ; 0) — \vec{AB} = B - A = (-3-2 ; 3-3) = (-5 ; 0).
  2. 2. (3 ; 4) — Pour ax + by + c = 0, un vecteur normal est (a ; b) = (3 ; 4).
  3. 3. (-7/2 ; 7/2) — Milieu = \left(\frac{-5 + -2}2 ; \frac{5 + 2}2\right) = (-7/2 ; 7/2).
  4. 4. parallèles — Même pente → droites parallèles (ou confondues si b1=b2).
  5. 5. 90° — arctan(y/x) pour le vecteur (0;1) donne 90°.
  6. 6. x² + (y + 2)² = 16 — Équation : (x - 0)^2 + (y - -2)^2 = 4^2 = 16.
  7. 7. 90 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 0, \|\vec{u}\| \approx 1.414, \|\vec{v}\| \approx 1.414, donc \cos\theta = 0.0 et \theta = 90°.
  8. 8. 0 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 6, \|\vec{u}\| \approx 1.414, \|\vec{v}\| \approx 4.243, donc \cos\theta = 1.0 et \theta = 0°.
  9. 9. -16 — \vec{u} \cdot \vec{v} = -1 \times 4 + -3 \times 4 = -4 + -12 = -16.
  10. 10. a) \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta ; b) 0 ; c) 0 ; d) 90 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 0, \|\vec{u}\| \approx 1.0, \|\vec{v}\| \approx 1.0, donc \cos\theta = 0 et \theta = 90°.
  11. 11. a) 3 ; b) \sqrt{5} ; c) \dfrac{3}{\sqrt{5}} ; d) M n'appartient pas à D (sa distance à D est non nulle) — d(M,D) = |1×-1+2×-3+4| / √(1+4) = 3/2.2361 ≈ 1.3416.
  12. 🏆 Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu. — Affirmation exacte : Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu. Les autres énoncés confondent une condition suffisante avec une condition nécessaire, ou transposent mal une formule.
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