📝 Évaluation Géométrie & vecteurs (Première Spécialité) avec corrigé

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NumiÉvaluation · Première Spécialité

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📝 Géométrie & vecteurs

Note :/ 20

Durée conseillée : 45 min. Le barème est indiqué pour chaque exercice. Sujet n°1.

Exercice 1/ 1 pt

Quelles sont les coordonnées de \vec{AB} avec A(-1 ; 1) et B(-1 ; -2) ?

Coche la bonne réponse.

A. (0 ; -3)
B. (-1 ; 1)
C. (1 ; -3)
D. (0 ; 3)

Exercice 2/ 1 pt

Quelles sont les coordonnées du milieu du segment [AB] avec A(-5 ; -5) et B(0 ; 2) ?

Coche la bonne réponse.

A. (-5/2 ; -3/2)
B. (0 ; 2)
C. (-5 ; -3)
D. (-5 ; -7)

Exercice 3/ 1 pt

La droite a pour équation y = 3x -3. Le point (-2 ; -9) appartient-il à cette droite ?

Coche la bonne réponse.

A. Non, (-2 ; -7) est sur la droite
B. Non, (-2 ; -9) n'est pas sur la droite
C. Il n'y a pas assez d'information
D. Oui, (-2 ; -9) est sur la droite

Exercice 4/ 1,5 pt

Calcule la norme du vecteur \vec{u} = (-6 ; 8).

Réponse :

Exercice 5/ 1,5 pt

Vecteur \vec{u} + \vec{v} avec \vec{u}(3 ; 3) et \vec{v}(-2 ; -1) :

Coche la bonne réponse.

A. (-2 ; -1)
B. (1 ; 2)
C. (2 ; 2)
D. (3 ; 3)

Exercice 6/ 1,5 pt

Calcule la distance AB avec A(2 ; -1) et B(5 ; 3).

Réponse :

Exercice 7/ 2 pts

Calcule l'angle (en degrés) entre \vec{u}(1 ; 0) et \vec{v}(0 ; 1).

Réponse :

Exercice 8/ 2 pts

Calcule \vec{u} \cdot \vec{v} avec \vec{u}(0 ; -4) et \vec{v}(-2 ; -1).

Réponse :

Exercice 9/ 2 pts

Calcule \vec{u} \cdot \vec{v} avec \vec{u}(3 ; 0) et \vec{v}(-4 ; 1).

Réponse :

Exercice 10/ 2 pts

A = (3 ; 0), B = (5 ; -2). Forme y = ax + b.

a) Comment calcule-t-on la pente a de la droite passant par A et B ?
- A. a = \dfrac{y_B + y_A}{x_B + x_A}
- B. a = \dfrac{x_B - x_A}{y_B - y_A}
- C. a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}
b) Calcule la pente a de la droite (AB).
Réponse :
c) Calcule l'ordonnée à l'origine b = y_A - a\,x_A.
Réponse :
d) Quelle est alors l'équation de la droite (AB) ?
- A. y = -x - 3
- B. y = x + 3
- C. y = -x + 3
- D. y = 0 + 3

Exercice 11/ 2 pts

Calcule la distance AB entre A(0 ; 1) et B(-5 ; 13).

Réponse :

Exercice 12/ 2,5 pts

Pour tout réel m, on considère la droite D_m : y = m\,x - m + 2. Toutes ces droites passent par un même point, indépendant de m. Donne l'ordonnée du point fixe par lequel passent toutes ces droites.

Réponse :

Corrigé et barème — Géométrie & vecteurs (Première Spécialité) · Sujet n°1

1. (1 pt) (0 ; -3) — \vec{AB} = B - A = (-1-(-1) ; -2-1) = (0 ; -3).
2. (1 pt) (-5/2 ; -3/2) — Milieu = \left(\frac{-5 + 0}2 ; \frac{-5 + 2}2\right) = (-5/2 ; -3/2).
3. (1 pt) Oui, (-2 ; -9) est sur la droite — On vérifie : y = 3 \times (-2) -3 = -9. Oui, (-2 ; -9) appartient à la droite.
4. (1,5 pt) 10 — ||\vec{u}|| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10.
5. (1,5 pt) (1 ; 2) — \vec{u} + \vec{v} = (3+(-2) ; 3+(-1)) = (1 ; 2).
6. (1,5 pt) 5 — AB = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{25} = 5.
7. (2 pts) 90 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 0, \|\vec{u}\| \approx 1, \|\vec{v}\| \approx 1, donc \cos\theta = 0 et \theta = 90°.
8. (2 pts) 4 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \times (-2) + (-4) \times (-1) = 0 + 4 = 4.
9. (2 pts) -12 — \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times (-4) + 0 \times 1 = -12 + 0 = -12.
10. (2 pts) a) a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} ; b) -1 ; c) 3 ; d) y = -x + 3 — a = \dfrac{-2-0}{5-3} = -1, b = 0 - (-1)\times3 = 3, et B vérifie l'équation : y_B - (a x_B + b) = 0.
11. (2 pts) 13 — AB = \sqrt{(-5-0)^2 + (13-1)^2} = \sqrt{169} = 13.
12. (2,5 pts) 2 — On regroupe selon m : y = m\,x - m + 2 \iff m\,(x - 1) + (2 - y) = 0. Ce point est fixe (indépendant de m) uniquement si le facteur de m ET le reste s'annulent : x = 1 et y = 2. Le point fixe est (1 ; 2).

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